Espace vectoriel conjugué

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La conjugaison d'espaces vectoriels complexes permet d'obtenir de nouveaux espaces vectoriels en modifiant la définition du produit par les scalaires.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit (E,+,\cdot) un espace vectoriel sur le corps complexe \C. On appelle espace vectoriel conjugué de (E,+,\cdot), l'ensemble E muni de la même opération d'addition + et du produit par les scalaires \star défini par :

\star : (\lambda,u) \in \C \times E \mapsto \lambda \star u = \overline{\lambda} \cdot u

\overline{\lambda} désigne le conjugué du nombre complexe \lambda.

Le triplet (E,+,\star) est également un espace vectoriel complexe, appelé conjugué de (E,+,\cdot) et de même dimension sur \C.

Notation[modifier | modifier le code]

Comme il est usuel par abus de notation de désigner une structure mathématique par l'ensemble sous-jacent, si l'on retient la notation E comme raccourci de (E,+,\cdot), il est pratique de désigner par \overline E l'espace vectoriel (E,+,\star). On se convaincra sans mal que \overline{\overline{E}} = E.

On peut par ailleurs définir l'opération formelle de conjugaison qui associe à v \in E l'élément \overline v \in \overline E (en fait le même objet, mais envisagé comme membre d'un espace vectoriel différent). Par un abus supplémentaire de notation l'opération de produit par les scalaires dans \overline E peut alors également être notée avec le symbole "\cdot" (la nature des vecteurs indiquent alors l'opération à considérer). On a ainsi :

  • \forall (\lambda,v) \in \C \times E, \overline{\lambda \cdot v} = \overline \lambda \cdot \overline v
  • \forall v \in E, \overline{\overline v} = v

L'opération de conjugaison de E dans \overline E est l'exemple canonique d'application antilinéaire.

Application linéaire conjuguée[modifier | modifier le code]

Toute application linéaire f:V→W induit une application linéaire conjuguée f:VW, définie par la formule :

\overline f (\overline v) = \overline{\,f(v)\,}.

De plus, la conjuguée de l'identité de V est l'identité de V, et quelles que soient les applications linéaires f et g composables, on a :

\overline f\circ\overline g=\overline{f\circ g}.

Ainsi, la conjugaison (V↦V,f↦f) est un foncteur covariant, de la catégorie des espaces vectoriels complexes dans elle-même.

Si V et W sont de dimensions finies et si f est représentée par une matrice A dans un couple de bases \scriptstyle(\mathcal B,\mathcal C) de (V,W), alors f est représentée, dans les bases \scriptstyle(\overline{\mathcal B},\overline{\mathcal C}), par la matrice conjuguée A.

Produit hermitien[modifier | modifier le code]

Un produit hermitien sur E, défini comme forme sesquilinéaire sur E, c'est-à-dire antilinéaire à gauche et linéaire à droite (ou inversement suivant les auteurs), peut également etre défini comme une forme bilinéaire sur \overline E \times E.

Si  E est un espace de Hilbert, alors \overline E est canoniquement isomorphe à E' le dual topologique de E. Autrement dit pour tout \phi \in E', il existe un unique \overline u \in \overline E tel que :

(\bar u| v) = \langle \phi, v \rangle = \phi(v)

(\cdot| \cdot) désigne le produit hermitien de  E et \langle \cdot, \cdot \rangle le crochet de dualité.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Représentation conjuguée