Espace localement annelé

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Le concept d'espace localement annelé est commun à différents domaines de géométrie, mais est plus utilisé en géométrie algébrique et en géométrie analytique complexe.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace localement annelé est un espace topologique X muni d'un faisceau d'anneaux commutatifs OX, appelé faisceau structural, tel qu'en tout point, l'anneau des germes de OX soit un anneau local.

Si A est un anneau (commutatif unitaire), un espace localement annelé dont le faisceau structural est un faisceau de A-algèbres est appelé un espace localement annelé sur A.

Exemples

Un sous-espace ouvert de X est une partie ouverte U munie du faisceau d'anneaux O_X|_U. Le couple (U, O_X|_U) est un espace localement annelé.

Corps résiduel[modifier | modifier le code]

Soit x un point de X. Soit m_x l'idéal maximal de l'anneau local O_{X,x}. Le quotient k(x):=O_{X,x}/m_x est le corps résiduel de X en x . Si U est un voisinage ouvert de x, alors U et X ont le même corps résiduel en x.

Par exemple, Si X est une variété algébrique, alors x appartient à un voisinage ouvert affine \mathrm{Spm} A. Le point x correspond à un idéal maximal M de A, et le corps résiduel k(x) est égal à A/M.

Pour les variétés complexes (resp. différentielles), les corps résiduels sont tous égaux à ℂ (resp. ℝ).

Morphismes[modifier | modifier le code]

Un morphisme entre deux espaces localement annelés (X, OX) et (Y, OY) est la donnée d'une application continue f : XY et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux f# : OY → f*OX tel que pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x)OX, x induit par f# soit un morphisme d'anneaux locaux (c'est-à-dire qu'il envoie l'idéal maximal de l'anneau source dans l'idéal maximal de l'anneau but). Quand il n'y a pas d'ambiguïté possible, on note souvent le morphisme (f, f^{\#}) par f.

Un exemple trivial de morphisme est l'identité d'un espace dans lui-même. On peut naturellement composer deux morphismes (X, O_X) \to (Y, O_Y) , (Y, O_Y) \to (Z, O_Z) pour obtenir un morphisme (X, O_X) \to (Z, O_Z) . Un isomorphisme est un morphisme f : (X, O_X) \to (Y, O_Y) qui admet un morphisme inverse, c'est-à-dire dont la composition (à gauche ou à droite) avec f est égale à l'identité.

Un morphisme (f, f#) : (X, OX) → (Y, OY) est une immersion si f est une immersion au sens topologique (c'est-à-dire que f induit un homéomorphisme de X sur son image), et si pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x)OX, x est surjectif.

Exemple Soit x un point de X. Alors l'espace topologique \{x\} muni du faisceau constant k(x) est un espace localement annelé, et on a un morphisme ({x}, k(x)) \to (X, O_X) qui est l'inclusion canonique \{ x \} \to X au niveau du point x. C'est une immersion.

Espace tangent[modifier | modifier le code]

Soit x un point de X. Soit m_x l'idéal maximal de l'anneau local O_{X,x}. Alors le quotient m_x/m_x^2=m_x\otimes_{O_{X,x}}k(x) est un espace vectoriel sur k(x). Son dual s'appelle l'espace tangent de Zariski de X en x. C'est surtout en géométrie algébrique qu'on utilise cette approche. Cependant, dans le cas des variétés différentielles et variétés analytiques complexes, cette notion coïncide avec la définition standard.

Référence[modifier | modifier le code]

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Chapitre 0, § 4