Espace de Bergman

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En analyse complexe, une branche des mathématiques, un espace de Bergman, nommé d'après Stefan Bergman, est un espace fonctionnel de fonctions holomorphes dans un domaine D du plan complexe qui ont un comportement suffisamment bon à la frontière pour qu'elles soient absolument intégrables. Plus précisément, A^p(D) est l'espace des fonctions holomorphes dans D telles que la p-norme

\|f\|_p = \left(\int_D |f(x+iy)|^p\,dx\,dy\right)^{1/p} < \infty.

Donc A^p(D) est le sous-espace des fonctions holomorphes qui sont dans l'espace Lp(D). Les espaces de Bergman sont des espaces de Banach, ce qui est une conséquence de l'estimation, valide sur les sous-ensembles compacts K de D:

 (1) \quad  \sup_{z\in K} |f(z)| \le C_K\|f\|_{L^p(D)}.

Donc la convergence d'une suite de fonctions holomorphes dans Lp(D) implique alors la convergence sur tout compact, et ainsi la fonction limite est aussi holomorphe.

Si p = 2, alors A^p(D) est un espace de Hilbert à noyau reproduisant, dont le noyau est donné par le noyau de Bergman.

Références[modifier | modifier le code]


Source[modifier | modifier le code]