Espace d'Eilenberg-MacLane

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En mathématiques, un espace d'Eilenberg-MacLane[1] est un type particulier d'espace topologique qui joue un rôle de composant élémentaire en théorie de l'homotopie. Ces espaces sont importants dans de nombreux contextes en topologie algébrique, permettant entre autres de construire des espaces, de calculer des groupes d'homotopie de sphères et de définir des opérations cohomologiques (en). Ils portent le nom de Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane, qui les ont introduits à la fin des années 1940[2],[3].

Définition[modifier | modifier le code]

Soient G un groupe et n un entier strictement positif. Un espace connexe X est appelé un espace d'Eilenberg-MacLane de type K(G, n) si son ne groupe d'homotopie πn(X) est isomorphe à G et si tous ses autres groupes d'homotopie sont triviaux. Si n > 1, G doit être abélien. Moyennant quoi, il existe toujours un CW-complexe de type K(G, n). Il est unique à homotopie faible d'équivalence près, c'est pourquoi tout espace de ce type est simplement noté K(G, n).

Exemples[modifier | modifier le code]

D'autres exemples s'en déduisent en utilisant la propriété élémentaire : K(G, n) × K(H, n) = K(G × H, n).

On peut construire un K(G, n) un étage après l'autre, en tant que CW complexe, en commençant par un bouquet de n-sphères, une par générateur du groupe G, puis en recollant des cellules de proche en proche, en chaque dimension, pour tuer l'homotopie excédentaire.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les groupes cohomologie d'un K(G, 1) coïncident avec ceux du groupe G[6].

Pour tout groupe abélien G, les K(G, n) sont des espaces de (en) représentation pour la cohomologie singulière à coefficients dans G[6]. En effet, via

H^n(K(G,n);G)=\mathrm{Hom}(H_n(K(G,n);\Z),G)=\mathrm{Hom}(\pi_n(K(G,n)),G)=\mathrm{Hom}(G,G),

l'élément uHn(K(G, n);G) correspondant à l'identité de G fournit par fonctorialité, pour tout CW-complexe X, une bijection naturelle ff*u, de l'ensemble [X, K(G, n)] des classes d'homotopie d'applications continues de X dans K(G, n) dans le ne groupe de cohomologie singulière Hn(X;G) de X.

Une autre version de ce résultat[7] établit une bijection avec le ne groupe de cohomologie de Čech pour X paracompact et G dénombrable, ou pour X paracompact et compactement engendré et G arbitraire. Un résultat ultérieur[8] établit une bijection avec le ne groupe de cohomologie « numerable » de Čech pour X et G (abélien) arbitraires.

Tout CW-complexe possède une tour de Postnikov, c'est-à-dire qu'il est faiblement homotopiquement équivalent à la limite projective d'une suite de fibrations dont les fibres sont des espaces d'Eilenberg-MacLane.

Une méthode due à Jean-Pierre Serre permet, en théorie, de calculer les groupes d'homotopie de n'importe quel espace à l'aide d'une suite spectrale pour de telles fibrations.

Les groupes de cohomologie des espaces d'Eilenberg-MacLane peuvent servir à classifier toutes les opérations cohomologiques.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Eilenberg–MacLane space » (voir la liste des auteurs)

  1. Mac Lane ayant (co-)signé ses premières publications « MacLane » (sans espace), en particulier celles concernant cette notion, l'usage est de typographier ainsi son nom dans ce contexte.
  2. (en) S. Eilenberg et S. MacLane, « Relations between homology and homotopy groups of spaces », Ann. Math., vol. 46,‎ 1945, p. 480-509, lien Math Reviews
  3. (en) S. Eilenberg et S. MacLane, « Relations between homology and homotopy groups of spaces. II », Ann. Math., vol. 51,‎ 1950, p. 514-533
  4. (en) C. D. Papakyriakopoulos (de), « On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots », PNAS, vol. 43, no 1,‎ 1957, p. 169-172 (liens PubMed? et DOI?)
  5. (en) C. D. Papakyriakopoulos, « On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots », Ann. Math., vol. 66, no 1,‎ 1957, p. 1-26 (lien DOI?)
  6. a et b (en) Yuli B. Rudyak, « Eilenberg-MacLane space », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
  7. (en) Peter J. Huber, « Homotopical cohomology and Čech cohomology », Math. Ann., vol. 144,‎ 1961, p. 73-76
  8. (en) Kiiti Morita (de), « Čech cohomology and covering dimension for topological spaces », Fund. Math., vol. 87,‎ 1975, p. 31-52

Article connexe[modifier | modifier le code]

Espaces de Moore (en), l'analogue des espaces d'Eilenberg-MacLane en homologie