Espace collectivement normal

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, un espace topologique X est dit collectivement normal[1] s'il vérifie la propriété de séparation suivante, strictement plus forte que la normalité[2] et plus faible que la paracompacité :

X est séparé[3] et pour toute famille discrète[4] (Fi)iI de fermés de X, il existe une famille (Ui)iI d'ouverts disjoints[5] telle que pour tout i, FiUi.

Tout sous-espace Fσ — en particulier tout fermé — d'un espace collectivement normal est collectivement normal.

Tout espace monotonement normal — en particulier tout espace métrisable — est (héréditairement) collectivement normal. Un espace collectivement normal n'est pas nécessairement dénombrablement paracompact[6]. Cependant, un théorème de Robert Lee Moore établit que tout espace de Moore (en) collectivement normal est métrisable.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions] p. IX.106, ex. 24.
  2. (en) R. H. Bing, « Metrization of topological spaces », Canad. J. Math., vol. 3,‎ 1951, p. 175-186 (lire en ligne), Theorem 14.
  3. Compte tenu de la suite de la définition, il revient au même d'imposer seulement la condition T1 : cf. Espace collectivement séparé (en).
  4. Une famille (Fi)iI de parties de X est dite discrète si tout point de X possède un voisinage qui rencontre au plus un Fi (Bourbaki, op. cit.).
  5. La famille (Ui)iI peut alors même être choisie discrète elle aussi : (en) Jun-iti Nagata, Modern General Topology, Elsevier,‎ 1985, 3e éd. (ISBN 978-0-08093379-5, lire en ligne), p. 209.
  6. Nagata 1985, p. 214.