Entortillement

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En mathématiques, l'entortillement est une caractéristique d'une courbe fermée sans point double dans l'espace \mathbf{R}^3. On peut aussi utiliser le terme vrille. Comme son nom l'indique, ce nombre décrit à quel point la courbe est entortillée, c'est-à-dire le degré de complexité de son chemin dans l'espace.

Formule générale[modifier | modifier le code]

L'entortillement d'une courbe de longueur L et dont les points sont repérés par \mathbf{r}(s), avec s variant de 0 à L et \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(L) s'obtient par la formule

 \mathrm{Ent}=\frac{1}{4\pi}\int_0^L \mathrm{d}s \; \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s) \cdot
          \int_0^L \mathrm{d}s'\; \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s') \times
                   \frac{\mathbf{r}(s')-\mathbf{r}(s)}{\|\mathbf{r}(s')-\mathbf{r}(s)\|^3}. 
    \qquad(1)

Cas d'une courbe aplatie[modifier | modifier le code]

L'entortillement décrit la déformation de la courbe par rapport au cercle ou au nœud obtenu en aplatissant la courbe. Ainsi un cercle plat a pour entortillement zéro. Une courbe plate est représentée par un diagramme de lien, où à chaque croisement le brin passant dessous est coupé juste autour du brin passant dessus pour garder en mémoire les positions relatives, comme sur le dessin ci-dessous. On choisit arbitrairement une orientation, c'est-à-dire un sens de parcours du diagramme obtenu (ce choix ne change pas les résultats). À partir de cette orientation on obtient l'entortillement d'une courbe aplatie, qui est un nombre entier, à l'aide de son diagramme. L'entortillement est calculé en ajoutant, pour chaque croisement, +1 ou -1 selon la règle

Knot-crossing-plus.png Knot-crossing-minus.png
+1 -1

Le résultat est indépendant de l'orientation choisie pour la courbe. C'est le résultat qu'on obtient en calculant la formule (1) lorsque la courbe est aplatie.

Autre formule[modifier | modifier le code]

La définition de l'entortillement d'un lien permet d'exprimer une formule équivalente à la formule (1). On note \hat u un vecteur unitaire de \mathbf{R}^3 et on projette la courbe parallèlement à cette direction sur un plan. On calcule alors l'entortillement directionnel \mathrm{ent}(\hat u) en procédant comme au paragraphe précédent avec le diagramme obtenu. L'entortillement de la courbe tridimensionelle est la moyenne selon toutes les directions de l'espace de l'entortillement directionnel[1].


\mathrm{Ent}=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb S^2}\mathrm{ent}(\hat u)\,\mathrm d\hat u\qquad(2)

Lien avec la théorie des nœuds[modifier | modifier le code]

Ce nombre est invariant par deux des trois mouvements de Reidemeister, utilisés en théorie des nœuds : on parle de l'entortillement d'un diagramme de nœud. Le diagramme du nœud de trèfle (droit) ci-dessous a pour entortillement +3 :

Nœud de trèfle droit

L'entortillement d'un ruban, ajouté à sa torsade, est un nombre entier appelé enlacement.

Références[modifier | modifier le code]

  1. F. B. Fuller, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 68 815-819 (1971)