Anneau des entiers de Q(√5)

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En mathématiques, l'anneau des entiers de Q(5) est l'ensemble des nombres réels de la forme a + b(1+5)/2, où a, b sont deux entiers relatifs, muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication. C’est le plus petit ensemble de nombres qui contienne à la fois les entiers ordinaires et le nombre d'or φ = (1+5)/2, et qui soit stable par addition et multiplication. On le note ici Z[φ].

En théorie algébrique des nombres, on le définit simplement comme l'anneau OQ(5) des entiers du corps quadratique réel Q(5). Cet anneau est euclidien. Il possède en particulier des propriétés arithmétiques analogues à celles des nombres entiers usuels : il est possible d’y définir une division euclidienne, de calculer le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres, d’y démontrer le lemme d'Euclide et l'identité de Bézout. Une version du théorème fondamental de l'arithmétique, garantissant l'existence et l'unicité de la décomposition de tout nombre en un produit de facteurs premiers, y est aussi valide. Une différence importante, cependant, est qu’il n’existe dans Z que deux éléments inversibles, 1 et –1, mais qu’il en existe une infinité dans Z[φ].

Cet anneau est souvent utilisé comme un des exemples privilégiés pour illustrer concrètement la théorie plus avancée des entiers dans les corps de nombres. Son arithmétique permet aussi de justifier plusieurs propriétés mathématiques du nombre d'or, et d’étudier certaines équations diophantiennes classiques, comme x5 + y5 = z5, liée au dernier théorème de Fermat dans le cas de degré égal à 5 ou x2 – 5y2 = 1, un cas particulier de l'équation de Pell-Fermat.

Notations[modifier | modifier le code]

Dans cet article, on utilise des lettres grecques pour désigner des éléments de Z[φ], et on réserve les lettres latines pour désigner les entiers relatifs ou les nombres rationnels. La lettre ε est utilisée pour décrire une unité, c'est-à-dire un élément inversible de Z[φ].

Un élément α de Z[φ][1], par définition, est donc un nombre (réel) qui peut s’écrire α = a + bφ, pour deux entiers relatifs a et b. Cette écriture est unique, et l'on appellera à l’occasion a et b les coordonnées de α. On peut représenter ces nombres géométriquement de plusieurs façons, par exemple en représentant α par un point de coordonnées (a, b) dans un plan muni d’un repère.

Structure[modifier | modifier le code]

Dans cette section sont expliquées les opérations (addition, multiplication…) sur les nombres α = a + bφ, et les structures fournies par ces opérations. La démarche suivie est analogue à celle utilisée dans le cas des entiers de Gauss, qui sont des nombres de la forme a + bi, où i est un nombre complexe solution de l’équation x2 + 1 = 0, une équation quadratique. Ici φ est solution d’une autre équation quadratique, x2x – 1 = 0. Le polynôme X2X – 1 est appelé le polynôme minimal de φ.

Structure d'anneau[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Entier quadratique.

De φ2 = φ + 1, on déduit que :

(a+b\varphi)(c+d\varphi)=ac+(ad+bc)\varphi+cd\varphi^2=(ac+bd)+(ad+bc+bd)\varphi.

En tant que sous-anneau de ℝ, l'anneau Z[φ] est commutatif, intègre et totalement ordonné (donc de caractéristique nulle).

Une remarque sur Z[5][modifier | modifier le code]

On aurait pu imaginer (pour mieux imiter les entiers de Gauss, par exemple) d’étudier les nombres, apparemment plus simples, de la forme u + v5, avec u et v des entiers. Ils forment l’ensemble noté Z[5], qui est aussi un sous-anneau du corps des nombres réels (le nombre 5 est solution de l’équation quadratique x2 – 5 = 0 et les mêmes raisonnements s’appliquent). Ce sous-anneau est inclus dans Z[φ] : en effet,

u+v\sqrt5=(u-v)+(2v)\varphi.

Cette inclusion de Z[5] dans Z[φ] est stricte car d'après la formule ci-dessus, les seuls éléments a + bφ de Z[φ] qui appartiennent au sous-anneau Z[5] sont ceux pour lesquels l'entier b est pair.

En fait, si les propriétés algébriques des deux ensembles sont analogues (ce sont des anneaux pour les mêmes opérations), Z[5] est trop petit, comme on le verra, pour y faire confortablement de l’arithmétique. Comprendre quels étaient les bons ensembles de nombres à prendre en compte est une des difficultés rencontrées par les mathématiciens du xixe siècle.

Suite de Fibonacci[modifier | modifier le code]

La « suite » (Fn) (indexée par ℤ) des entiers de Fibonacci, définie par

F_0=0,\quad F_1=1\quad{\rm et}\quad\forall n\in\Z\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,

vérifie :

\forall n\in\Z\quad\varphi^n=F_{n-1}+F_n\varphi.

Le corps Q(5)[modifier | modifier le code]

L'ensemble des réels de la forme a + bφ avec a et b rationnels ou, ce qui revient au même, de la forme u + v5 avec u et v rationnels, est — de même que Z[φ] et Z[5] étaient des sous-anneaux — une Q-sous-algèbre de ℝ. Puisque 5 est irrationnel, l'écriture d'un élément de cet ensemble sous la forme u + v5 avec u et v rationnels est unique, ou encore : ce nombre n'est nul que si u = v = 0. Autrement dit : (1, 5) est une base de ce Q-sous-espace vectoriel, et de même pour (1, φ). (Ceci généralise — donc justifie — l'unicité précédemment admise dans le cas de coordonnées entières.)

Cet ensemble est de plus stable par inverses car si u et v sont rationnels et non tous deux nuls alors u2 – 5v2 est un rationnel non nul et 1/(u + v5) = (u – v5)/(u2 – 5v2). Par conséquent, c'est non seulement un sous-anneau mais un sous-corps de ℝ. On le note Q(5).

Comme Q(5) est le plus petit sous-corps de ℝ contenant Q et 5 (ou Q et φ), il s'identifie au corps des fractions de Z[5] et de Z[φ]. On peut se demander comment, inversement, récupérer ces anneaux directement à partir de Q(5). C’est la notion d'entier algébrique d'un corps de nombres[2] qui le permet — au moins pour Z[φ], qui va donc apparaître comme plus naturellement attaché à Q(5).

Définition — Les entiers de Q(5) sont les éléments de ce corps dont le polynôme minimal sur Q est à coefficients dans Z.

Comme Q(5) est un corps quadratique, tous ses éléments sont algébriques de degré 1 ou 2 : si α = u + v5 alors (α – u)2 – 5v2 = 0. L'élément α est entier si et seulement si les rationnels 2u et u2 – 5v2 sont des entiers (relatifs). On en déduit (voir « Entier quadratique ») :

Théorème — L'anneau des entiers de Q(5) est Z[φ].

L'anneau Z[φ] est donc intégralement clos, si bien que Z[5], qui a même corps des fractions mais est strictement plus petit, ne l'est pas. Par conséquent, Z[5] n'est pas un anneau à PGCD (et a fortiori pas factoriel), contrairement à Z[φ] qui — voir plus bas — est même euclidien. En fait, Z[5] ne vérifie même pas le lemme d'Euclide, c'est-à-dire qu'il possède des éléments irréductibles non premiers[3]. Par exemple, 2 est irréductible dans Z[5] (et même dans Z[φ] : cf. § « Détermination des éléments irréductibles de Z[φ] » plus bas). Cependant, dans Z[5], 2 n'est pas premier : il divise le produit (1 + 5)(1 – 5) = –22 mais ne divise aucun des deux facteurs. Ce problème disparaît dans Z[φ], qui contient (1 + 5)/2 = φ et (1 – 5)/2 = 1 – φ. La définition des entiers, qui autorise ici le dénominateur 2, est donc ce qui leur garantit les meilleures propriétés. Plusieurs auteurs se penchèrent sur ces problèmes au cours du xixe siècle, mais c'est Richard Dedekind qui donna une présentation complète de la notion d'entier algébrique, dans les suppléments à son édition des cours de Dirichlet, en 1871[4].

La Q-base (1, φ) de Q(5) est entière, c’est-à-dire qu'elle engendre l’anneau de ses entiers directement par combinaisons linéaires à coefficients dans Z. Le discriminant se calcule alors comme le carré du déterminant de la matrice :

\begin{pmatrix}  1 & \frac{1+\sqrt5}2\\  1 & \frac{1-\sqrt5}2\end{pmatrix},

soit (–5)2 = 5. C’est le plus petit discriminant d’un corps quadratique réel[5].

Deux outils importants[modifier | modifier le code]

Deux des outils pour l'étude de l'anneau Z[φ] sont constitués de fonctions. Une de ces fonctions imite la conjugaison complexe pour les entiers de Gauss, l’autre fait office de mesure pour la taille d’un élément de Z[φ].

Application conjuguée[modifier | modifier le code]

La conjugaison complexe transforme i en –i, c’est-à-dire l’une des racines du polynôme X2 + 1 en l’autre. Elle laisse stable l'anneau des entiers de Gauss et sa restriction est un encore un endomorphisme d'anneau, c'est-à-dire respectant les deux lois internes et le neutre multiplicatif.

De la même façon, à part l'application identité, l'unique endomorphisme du corps Q(5) est la conjugaison σ dans Q(5) (fixant tout rationnel et intervertissant 5 et son opposé). Il laisse stable Z[φ], en intervertissant φ et son élément conjugué φ' = (1 – 5)/2 = –1/φ = 1 – φ. Par restriction, on obtient ainsi un endomorphisme de l'anneau Z[φ]. De plus, σ est involutif donc bijectif. En résumé :

Théorème et définition — L'application σ, de Z[φ] dans lui-même, définie par
\forall a, b \in\Z\quad\sigma(a + b\varphi) = a + b\varphi',
est un automorphisme d'anneau, appelé « application conjuguée »[réf. nécessaire].

C'est d'ailleurs, à part l'identité, le seul endomorphisme de l'anneau Z[φ], puisqu'un tel endomorphisme est nécessairement injectif (il envoie tout élément non nul de l'anneau sur un élément conjugué donc également non nul) donc s'étend en un endomorphisme du corps des fractions Q(5).

Norme[modifier | modifier le code]

Une fois encore, la situation est un peu analogue à celle des nombres complexes. Pour ceux-ci, l'application module est très utile : à un nombre, elle associe la racine carrée du produit de lui-même et de son conjugué. Comme, dans le cas qui nous intéresse, le produit correspondant n’est pas toujours positif, on évite en général de prendre la racine carrée et l'on définit plutôt :

Définition — La norme d'un élément de Q(5) est le produit de ce nombre par son image par la conjugaison σ, c'est-à-dire que pour tous rationnels u, v, a, b,

\text{si }\alpha=u+v\sqrt5=a+b\varphi,\quad N(\alpha)=\alpha\sigma(\alpha)=u^2-5v^2=a^2+ab-b^2.

Par exemple, la norme de 5 est égale à –5 et la norme de φ est égale à –1.

La norme possède deux propriétés clés (cf. articles détaillés) :

Théorème — N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)\quad{\rm et}\quad\forall\alpha\in\Z[\varphi]\quad N(\alpha)\in\Z.

La première, traduite dans la base (1, φ), donne une formule extravagante :

(a^2+ab-b^2)(c^2+cd-d^2)=(ac+bd)^2+(ac+bd)(ad+bc+bd)-(ad+bc+bd)^2

mais dans la base (1, 5), on retrouve le cas n = 5 de l'identité de Brahmagupta :

(u^2-5v^2)(r^2-5s^2)=(ur+5vs)^2-5(us+vr)^2.
Les éléments de Z[φ] sont représentés par des points du maillage, ceux situés sur les branches gauche et droite sont de norme 1, ceux situés sur les branches haut et bas sont de norme –1.

Le module d’un nombre complexe donne un sens à une idée intuitive de taille. Cet aspect, associé cette fois à la norme, interviendra dans le cas de Z[φ] pour définir une division euclidienne. Mais dans la représentation des nombres complexes dans le plan, le module est aussi un bon outil pour mettre en valeur certaines propriétés géométriquement et correspond à l’idée de distance. À l'image de la situation complexe, la norme ressemble aussi à une distance. Dans le cas des nombres complexes, ou des entiers de Gauss, l’ensemble des points de distance égale à 1 (resp. inférieure ou égale à 1) de l’origine est un cercle (resp. un disque) de rayon 1 centré à l’origine. Dans le cas de Z[φ], la figure correspondante est délimitée par des branches d'hyperboles. La figure de droite illustre ce phénomène. Les éléments de Z[φ] sont représentés ici sur un plan muni d'un repère de centre 0 et de base (1, φ). On les représente grâce à leurs coordonnées (qui sont donc toujours ici des entiers relatifs). Les éléments de norme 1 sont ceux dont les coordonnées vérifient a2 + ab – b2 = 1, soit l’une des hyperboles, l’autre correspond aux éléments de norme –1.

Division euclidienne[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Anneau euclidien.

Existence[modifier | modifier le code]

Dans la base (1, φ), approximation d'un point à coordonnées rationnelles par un point à coordonnées entières, à 1 près pour le stathme v(x + yφ) = ⎸x2 + xy – y2⎸.

La norme permet de définir une division euclidienne. Cette norme n'est pas toujours positive. Le stathme v, c’est-à-dire la fonction permettant d’évaluer le reste de la division — de même que la valeur absolue dans le cas des entiers relatifs — ne doit prendre que des valeurs positives. Pour cette raison, on le choisit égal la valeur absolue de la norme. On montre alors que 5 fait partie, comme –1, des 21 valeurs de d pour lesquelles l'anneau des entiers de Q(d) est euclidien pour v :

Soit α et β deux éléments de Z[φ], β étant non nul, alors il existe au moins un couple (θ, ρ) d'éléments de Z[φ] tel que :

\alpha=\beta\theta+\rho\quad{\rm avec}\quad|N(\rho)|<|N(\beta)|.

Pour le prouver, il suffit de vérifier le critère général suivant (cf. fin du § « Définitions » de l'article sur anneaux euclidiens) : pour tout élément ζ de Q(5), il existe au moins un élément θ de Z[φ] tel que |N(ζ – θ)| < 1.


Ceci montre qu'il existe une division euclidienne dans l'anneau Z[φ]. Elle possède un aspect un peu déroutant, au sens où il n’y a pas d’unicité stricte, comme dans le cas usuel. Le nombre des possibilités est en effet lié au groupe des unités. Cette situation n’est en fait pas très différente de celle des entiers relatifs où la division euclidienne n’est définie qu’au signe près, c’est-à-dire à une unité près.

Conséquences[modifier | modifier le code]

Comme l’anneau est euclidien pour la norme, l'identité de Bézout s'y applique ainsi que le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique. Les démonstrations sont très proches de celles de l'arithmétique usuelle.

Voici, par exemple, celle du lemme d'Euclide[7]. Il s’agit de prouver que si α, β et γ sont trois éléments de Z[φ] tels que α divise le produit βγ et tel que α et β soient premiers entre eux, alors α divise γ. On peut utiliser l'identité de Bézout : comme α et β sont premiers entre eux, il existe deux éléments ρ et θ de Z[φ] tels que αρ + βθ = 1. En multipliant membre à membre par γ, on obtient αργ + βθγ = γ. Comme βγ est un multiple de α, il existe un élément δ de Z[φ] tel que βγ soit égal à αδ. En remplaçant βγ par αδ, on obtient α(ργ + θδ) = γ, ce qui démontre la proposition.

Cette démonstration est, à la modification près sur la définition du terme d'entier (ici, comme expliqué plus haut, un élément de Z[φ]), exactement la même que celle du cas des entiers relatifs.

Groupe des unités[modifier | modifier le code]

Article général Pour un article plus général, voir Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques.

Les unités d'un anneau commutatif comme Z[φ] sont ses éléments inversibles pour la multiplication, dit autrement les diviseurs de 1. L'anneau Z ne possède que deux unités –1 et 1. Par contre un anneau d'entiers d'un corps quadratique réel, comme Z[φ], possède toujours une infinité d'unités[8] (dont –1 et 1), ce qui se vérifie facilement dans le cas particulier envisagé ici[9]. Les unités ne sont pas traitables avec les outils classiques de l'arithmétique, les notions fondamentales, la définition de nombre premier ou irréductible, la décomposition en facteurs irréductibles sont données au produit par une unité près, d'où l'utilité de décrire celles-ci.

Le produit de deux unités est une unité, l'inverse d'une unité est une unité, c'est-à-dire que les unités est forment un groupe (commutatif) pour la multiplication. On remarque également que l'opposé d'une unité est une unité[10].

Puissance du nombre d'or[modifier | modifier le code]

Un exemple d'unité distincte de –1 et 1 est donné par φ. En effet soit son conjugué φ' = (1 – 5)/2, alors

φ φ' = –1

donc φ est inversible, d'inverse φ−1 = –φ'.

Par conséquent, toutes les puissances du nombre d'or, ainsi que leurs opposés, sont des inversibles.

Les φn et –φn, nZ, sont des unités de Z[φ].

Ce sont en fait toutes les unités de l'anneau Z[φ] comme on le vérifie en utilisant conjugué et norme[11].

Norme[modifier | modifier le code]

Le nombre d'or φ a pour norme –1, et donc ses puissances et leurs opposés ont pour norme ±1. En fait, la norme permet en général de caractériser les unités d'un anneau d'entiers quadratiques :

Le groupe des unités de Z[φ] est composé des éléments de norme égale à ±1[10].

En effet, si ε ∈ Z[φ] est de norme égal à ±1, alors soit son conjugué σ(ε), soit l'opposé de celui-ci –σ(ε), est l'inverse de ε, ce qui montre que ε est bien une unité. Réciproquement si ε est une unité, alors :

N(\epsilon)N(\epsilon^{-1})=N(\epsilon\epsilon^{-1})=N(1)=1.

La norme de ε est un entier relatif inversible, il n'en existe que deux, 1 et –1, ce qui montre la réciproque.

Déterminer le groupe des unités revient donc à résoudre l'équation suivante sur les entiers relatifs :

x^2 + xy - y^2 = \pm 1.

Cette équation diophantienne (deux en fait, une pour 1 l'autre pour –1) intervient souvent dans l'étude de l'anneau Z[φ]. La résoudre équivaut, en posant u = 2x + y et v = y, à trouver les solutions de l'équation de Pell-Fermat[12]

u^2 - 5v^2 = \pm 4.

Caractérisation des unités[modifier | modifier le code]

Soit ε une unité de Z[φ], alors, il existe un entier relatif n tel que ε = φn ou ε = -φn.

Une démonstration de ce résultat repose sur les points suivants[13]

  • ε est une unité si et seulement si -ε est une unité, il suffit donc d'étudier le cas ε > 0.
  • Soit ε > 0, comme la suite géométriquen) indexée sur Z est croissante positive, de limite nulle en –∞ et non bornée en +∞, il existe un entier relatif n tel que φn ≤ ε < φn+1, donc 1 ≤ εφn < φ. Comme ε est une unité si et seulement si εφn est une unité, il suffit d'étudier le cas 1 ≤ ε < φ.
  • 1 < ε < φ n'est pas possible, ceci se démontre en utilisant la norme et le conjugué de ε.

Facteurs irréductibles et nombres premiers[modifier | modifier le code]

Les nombres premiers, ou irréductibles, jouent un rôle essentiel dans l’arithmétique de Z[3] et il en est de même dans Z[φ].

  • Un élément π de l'anneau Z[φ], qui n’est pas une unité, est dit irréductible dans Z[φ] quand il n’existe pas de décomposition de π en deux éléments de Z[φ] qui ne sont pas des unités. Autrement dit, π est irréductible si, lorsque π = αβ, avec α et β dans Z[φ], alors α ou β est une unité.

Comme dans Z, tout élément de Z[φ] se décompose en facteurs irréductibles, et ce de manière à peu près unique. Le « à peu près » vient des unités : dans Z, 6 possède plusieurs décompositions en facteurs premiers, 2 × 3, mais aussi –2 × –3 par exemple. De même, dans Z[φ], les facteurs irréductibles ne sont fixés qu’à multiplication près par une unité ; on appelle « associés » deux entiers de Z[φ] se déduisant l’un de l’autre par multiplication par une unité[14].

Détermination des éléments irréductibles de Z[φ][modifier | modifier le code]

Un entier de Z[φ] dont la norme est égale, en valeur absolue, à un nombre premier p de Z, est irréductible. En effet, s’il ne l’est pas, il s’écrit αβ, α et β n’étant pas des unités. On a |N(α)N(β)| = p, et ni |N(α)|, ni |N(β)| ne vaut 1, ce qui est impossible.

Un exemple de cette situation est 3 + 2φ. Il vérifie en effet l'égalité :

N(3+2\varphi)=3^2+3\times2-2^2=11.

Inversement, on voit qu’un nombre premier de Z qui est la valeur absolue d’une telle norme n’est plus irréductible dans Z[φ]. En effet, on a |N(π)| = p = |πσ(π)|, où σ(π) est le conjugué de π, donc p se décompose en deux facteurs π et σ(π) (à une unité près) dans Z[φ]. Par exemple, 11 = (3 + 2φ)(3 + 2φ’) (où φ’ est le conjugué (1 – 5)/2 de φ).

Un autre exemple est donné par 5. Puisque |N(5)| = 5, c’est-à-dire un nombre premier, 5 est irréductible. L’entier 5 se décompose bien dans Z[φ] en deux facteurs, mais cette fois ils sont égaux (à une unité près). On a en fait 5 = (5)2 = (2φ – 1)2, 2φ – 1 étant d’ailleurs opposé à son conjugué.

Par ailleurs, il existe des éléments irréductibles de Z[φ] dont la valeur absolue de la norme n’est pas un nombre premier. Par exemple, 2 a pour norme 4 qui n'est pas premier ; pourtant 2 est irréductible dans Z[φ]. Sinon, on aurait 2 = αβ, et en prenant les normes, |N(α)| = |N(β)| = 2, puisqu’aucun des facteurs n’est une unité. Au signe près, on aurait donc des entiers a et b tels que N(α) = a2b2 + ab = 2. Ces entiers doivent être de même parité sinon a2b2 + ab serait impair. S’ils sont tous deux pairs, a2b2 + ab est divisible par 4, donc ne peut être égal à 2. S’ils sont impairs, a2b2 est pair et ab impair : leur somme ne peut être égale à 2. On voit donc ici un élément irréductible de Z rester irréductible dans Z[φ], et sa norme est alors le carré d’un nombre premier.

Ces cas décrivent en fait toutes les situations possibles. On a le théorème[15] :

  • Les éléments irréductibles de Z[φ] sont (1) le nombre 5 ; (2) les nombres premiers de Z de la forme 5n + 2 ou 5n – 2 ; (3) les deux facteurs irréductibles (et conjugués) a + bφ des nombres premiers de Z de la forme 5n + 1 ou 5n – 1, ainsi que leurs associés.

Les différents comportements des nombres premiers de Z, quand on les considère comme éléments de Z[φ], se retrouvent pour tous les corps quadratiques :

  • Un nombre premier p dans l'ensemble des entiers naturels est dit inerte dans Z[φ] lorsqu’il est irréductible dans Z[φ]. C’est le cas ici de 2, et plus généralement des nombres premiers de la forme 5n + 2 ou 5n – 2.
  • Un nombre premier p dans l'ensemble des entiers naturels est dit décomposé dans Z[φ] lorsqu’il se décompose comme le produit de deux éléments de Z[φ] distincts non inversibles. C’est le cas de 11, et plus généralement des nombres premiers de la forme 5n + 1 ou 5n – 1.
  • Un nombre premier p dans l'ensemble des entiers naturels est dit ramifié dans Z[φ] lorsqu’il peut s’écrire comme le carré d’un élément non inversible de Z[φ]. C’est le cas de 5.

Petit théorème de Fermat[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Petit théorème de Fermat.

Un analogue du petit théorème de Fermat est valide dans l’anneau Z[φ][18] :

  • Soient π un élément irréductible de Z[φ] et α un élément de Z[φ] qui n'est pas un multiple de π. Alors α|N(π)|–1 – 1 est divisible par π.
    En utilisant le langage des congruences, ceci revient à  :
\alpha^{|N(\pi)|-1}\equiv1\mod \pi.

La caractérisation des éléments irréductibles donnée plus haut permet de préciser un peu ces énoncés :

  • Si π divise le nombre premier p, de la forme 5n + 1 ou 5n – 1, alors
    \alpha^{p-1} \equiv 1 \mod \pi
    et si α n’est ni un multiple de π, ni un multiple de son conjugué σ(π), alors on a même :
    \alpha^{p-1} \equiv 1 \mod p\;.
  • Si π divise le nombre premier q, de la forme 5n + 3 ou 5n – 3, alors
\alpha^{q+1}\equiv N(\alpha)\mod q.

Applications : suite de Fibonacci et nombres de Mersenne[modifier | modifier le code]

Le petit théorème de Fermat dans Z[φ] permet d'établir ce qu’on appelle la « loi d'apparition des nombres premiers au sein de la suite Fibonacci[19] » : tout nombre premier divise un des termes de la suite de Fibonacci. Plus précisément :

  • si p est un nombre premier de la forme 5n + 1 ou 5n – 1 (donc un nombre qui se décompose dans Z[φ]), alors p divise Fp–1 (et Fp–2 – 1) ;
  • si q est un nombre premier de la forme 5n + 2 ou 5n – 2 (donc un nombre qui reste irréductible dans Z[φ]), alors q divise Fq+1 (et Fq + 1).

En effet, par le petit théorème de Fermat dans Z[φ], p divise φp–1 – 1 = Fp–2 + Fp–1φ – 1 et q divise φq+1 + 1 = Fq + Fq+1φ + 1.

On peut tester le résultat numériquement. Par exemple, F11–1 = 5 × 11 (et F11–2 – 1 = 3 × 11), F17+1 = 2 584 = 152 × 17 (et F17 + 1 = 1 598 = 94 × 17).

Un autre usage du petit théorème de Fermat dans Z[φ] est de fournir une condition nécessaire et suffisante pour que certains nombres de Mersenne soient premiers. Plus précisément, si p = 4n + 3 est un nombre premier, le nombre de Mersenne M = 2p – 1 est premier si et seulement si rp–1 ≡ 0 (modulo M), où la suite (rm) est définie par récurrence : r1 = 3 et rm+1 = rm2 – 2.

La démonstration[20] repose sur le fait que la suite (rm) s’exprime en fonction de φ, rm = φ2m + σ(φ)2m. Le critère de primalité fourni par ce résultat est celui utilisé par Édouard Lucas pour prouver que le nombre de Mersenne 2127 – 1 est premier.

Équation de Pell-Fermat[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Équation de Pell-Fermat.

Équation[modifier | modifier le code]

L'objectif est de résoudre en nombres entiers l'équation suivante :

(1)\quad x^2 -5 y^2 = d \quad\text{avec}\quad d\quad\text{entier non nul}.

On remarque que si (x, y) est une solution, alors (±x, ±y) l’est aussi, on cherche donc uniquement les solutions positives.

Un changement de variable ramène à une autre équation :

x = u + \frac v2,\; y = \frac v2 \quad\text{alors}\quad (2)\quad u^2 + uv - v^2 = d.

On reconnaît que les solutions de l'équation (2) fournissent les coordonnées d’éléments u + vφ de Z[φ] de norme égale à d, et réciproquement. Une solution (u, v) de (2) fournit une solution de (1) lorsque v est pair. La connaissance des unités et des nombres irréductibles de Z[φ] va permettre d’obtenir ces solutions.

  • S'il existe un élément de Z[φ] de norme égale à d en valeur absolue, alors il existe aussi un tel élément de la forme u + 2vφ, avec u et v des entiers relatifs ordinaires. Le couple (u - v, v) est alors une solution de l'équation (1) pour le paramètre ±d.

Soit en effet a+ bφ un élément de Z[φ] de norme égale à d en valeur absolue. Si b est pair, la proposition est bien vérifiée. Sinon, supposons d’abord que a est impair : en multipliant par l’unité φ (de norme –1) le nombre a+ bφ, on obtient un nombre de norme égale toujours à d en valeur absolue, et égal à b + (a + b)φ ; a + b est pair, ce qui permet de conclure. Si a est impair, c’est la multiplication par l’unité φ2 = 1 + φ qui permet de conclure.

Cas d = ±1[modifier | modifier le code]

Résoudre l'équation (2) dans le cas où le paramètre est égal à ±1 provient directement de la connaissance du groupe des unités de Z[φ] . Toutes les unités sont connues, elles sont de la forme ±φnn est un entier relatif et la norme est (–1)n. Enfin, la suite de Fibonacci donne les coordonnées des puissances de φ. Il faut néanmoins déterminer dans quels cas le coefficient de φ dans l’écriture de ces unités est pair. Or PGCD(Fn, 2) = PGCD(Fn, F3) = FPGCD(n, 3) donc Fn est pair si et seulement si n est multiple de 3. Les ensembles Sd des solutions de l'équation (1) pour d = ±1 sont par conséquent :

S_1=\{\pm(F_{6k-1}+F_{6k}/2,F_{6k}/2)\mid k\in\Z\}\text{ et }S_{-1}=\{\pm(F_{6k+2}+F_{6k+3}/2,F_{6k+3}/2)\mid k\in\Z\}.

Multiplicativité des solutions[modifier | modifier le code]

Si x2 – 5y2 = d et si x’ 2 – 5y’ 2 = d’, alors les deux nombres X = xx’ + 5yy’ et Y = x’y +xy’ vérifient l’équation X2 – 5Y2 = dd’.

La preuve[21] résulte de l’identité

(xx+5yy')^2-5(x'y+xy')^2=(x^2-5y^2)(x'^2-5y'^2).

Cette identité permet de fabriquer des solutions pour un paramètre d donné à partir des solutions obtenues pour 1, –1 et les facteurs premiers de d. Toutes les solutions sont obtenues ainsi.

Cas d = ±pp est un nombre premier[modifier | modifier le code]

L'analyse des éléments irréductibles de Z[φ] permet de résoudre la question.

Si p est congru à 2 ou à –2 modulo 5, alors l'équation (1) n'admet pas de solution pour le paramètre ±p.

En effet, il n'existe aucune norme dans Z[φ] égale à ±p dans ce cas.

Si p est congru à 1 ou à –1 modulo 5, alors l'équation (1) admet une infinité de solutions pour les deux paramètres p et –p.

Si p est congru à 1 ou à –1, il existe un nombre irréductible π de Z[φ] ayant pour norme p. Quitte à multiplier π par φ ou φ2, il est possible de construire une solution (a, b) de l'équation (2) telle que b soit pair. Multiplier cette solution par les éléments de S1 d'un côté et par S–1 de l'autre fournit une infinité de solutions pour chacun des deux paramètres p et –p.

Cas général[modifier | modifier le code]

Le cas général s'en déduit facilement.

Si dans la décomposition en facteurs premiers de d apparaît un facteur premier congru à 2 ou à –2 modulo 5 avec un exposant impair, alors l'équation (1) n'a pas de solution.

En effet, la norme d'un élément irréductible correspondant à ce type de facteur est nécessairement un carré, comme on l'a vu.

Si dans la décomposition en facteurs premiers de d n'apparaît aucun facteur premier congru à 2 ou à –2 modulo 5 avec un exposant impair, alors l'équation (1) admet une solution pour les deux paramètres d et –d.

Sous cette hypothèse, les différents facteurs premiers de d, ou leurs carrés dans le cas de facteurs de la forme 5n + 2 ou 5n – 2, correspondent bien à des normes d'éléments de Z[φ]. En appliquant la propriété de multiplicativité, on fabrique par multiplication des éléments de la norme cherchée (le signe étant ajusté à partir des solutions trouvées lorsque d = 1 ou d = –1).

Dernier théorème de Fermat pour l'exposant 5[modifier | modifier le code]

Pour l'exposant 5, le dernier théorème de Fermat énonce qu'il n'existe pas de triplet d'entiers non nuls (x, y, z) tel que x5 + y5 = z5. Une étude de la parité montre que si l'équation a une solution, un des x, y, z est pair ; une étude de la divisibilité par 5 montre que l'un des x, y, z est divisible par 5. On doit donc distinguer deux cas, selon que le même x, y ou z est divisible par 2 et 5 (donc par 10) ou non.

En juillet 1825, Gustav Lejeune Dirichlet, alors à Paris, présenta devant l'Académie des sciences une preuve du théorème, dans le cas où l'un des x, y, z était divisible par 10. Adrien-Marie Legendre, rapporteur du mémoire de Dirichlet à l'Académie, compléta la démonstration quelques mois plus tard. Dirichlet en donna finalement une nouvelle version, en suivant les principes de sa propre preuve, en novembre 1825[22] ,[23]. C'est dans cette preuve du théorème de Fermat que Dirichlet utilise les propriétés des nombres de Z[φ].

Le principe de la preuve est le suivant[24] :

On s'intéresse d'abord au premier cas et on raisonne par l'absurde : on suppose donc qu'il existe des entiers u, v, w, non nuls, deux à deux premiers entre eux, tels que u5 + v5 = w5, et de plus que 10 divise w. On va montrer une contradiction.

En posant u + v = 10r et u – v = 2q, avec r et q entiers, q non divisible par 5, on voit que l'expression q4 + 2 × 52rq2 + 53r4 est une puissance cinquième. En réordonnant, cette expression peut s'écrire sous la forme P2 – 5Q2, pour des P et Q entiers, Q divisible par 5.

Admettons alors que si une expression de la forme P2 – 5Q2, pour des P et Q entiers, Q divisible par 5, est une puissance cinquième, on puisse trouver A et B tels que P + Q5 = (A + B5)5. Ceci est précisément le point de la preuve où l'on utilise les propriétés des éléments de Z[φ].

On montre alors que Aet B sont tels que A4 + 10AB2 + 5B4 est une puissance cinquième. On peut donc réappliquer le même argument et on fabrique alors de nouveaux entiers A' et B', plus petits que A et B, vérifiant la même propriété. En réitérant l'argument, on obtient ainsi une suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs vérifiant cette propriété, ce qui est impossible (c'est l'argument dit de « descente infinie »). On a donc une contradiction, ce qu'on voulait.

Pour traiter l'autre cas, dans lequel 5 divise l'un des u, v, w de l'équation de Fermat, et 2 divise un autre des u, v, w, on pose u + v = 5r et u – v = q. Des transformations algébriques analogues aux précédentes aboutissent au fait qu'une certaine expression (P/2)2 – 5(Q/2)2, pour des P et Q entiers, est une puissance cinquième. On exprime alors (P/2) + (Q/2)5 comme ((A/2) + (B/2)5)5, avec A et B entiers. La preuve s'achève ensuite comme dans le cas précédent.

Des preuves analogues permet d'ailleurs de montrer que d'autres équations du cinquième degré, proches de celles de Fermat, sont aussi impossibles.

Reste à établir ce qui est le ressort de la démonstration  : si a et b sont deux entiers relatifs différents de zéro, premiers entre eux, de parités différentes, tel que 5 divise b et a2 – 5b2 soit une puissance cinquième, alors il existe deux entiers différents de zéro c et d premiers entre eux, de parités différentes, tels que 5 ne divise pas c et

a+b\sqrt5=(c+d\sqrt5)^5.

Comme on l'a vu à l'occasion de l'étude de l'équation de Pell-Fermat, a2 – 5b2 est une norme d'un élément de Z[φ]. Le résultat à établir est donc que si la norme d'un élément de Z[φ] est une puissance cinquième, c'est aussi vrai de l'élément lui-même, sous certaines conditions de parité et divisibilité sur les coefficients du nombre. Ceci résulte directement de l'étude des unités et des éléments irréductibles de Z[φ].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Le terme entier de Dirichlet, utilisé sur le blog de (en)Larry Freeman, Fermat's Last Theorem, Dirichlet Integers, 3 novembre 2005, n'est pas standard, comme il le dit lui-même. En général, les nombres de Z[φ] n’ont pas de nom particulier.
  2. Cf. par exemple Hardy et Wright 1968, p. 205 (5e éd.).
  3. a et b Dans un anneau commutatif général, les différentes propriétés des nombres premiers de Z ne sont pas toujours vérifiées en même temps. On doit ainsi en général distinguer entre élément irréductible, un élément qui ne peut être factorisé, et élément premier, qui, s’il divise un produit de deux éléments de l’anneau, divise toujours l’un de ces éléments. Dans un anneau euclidien comme Z ou Z[φ], en revanche, ces notions coïncident.
  4. Ellison 1978, p. 200-203.
  5. Cohn 1980, p. 271.
  6. Pour une méthode aussi élémentaire mais qui s'applique également à huit autres corps quadratiques réels, voir (en) Władysław Narkiewicz (de), Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer,‎ 2004, 3e éd. (ISBN 978-3-540-21902-6, lire en ligne), p. 117.
  7. Cohn 1980, p. 104-105.
  8. C'est une conséquence du fait que l'équation de Pell-Fermat x2ay2 = 1 pour a sans facteur carré, possède une infinité de solutions, voir Stark 1978, p. 274-275.
  9. Hardy and Wright 1968, p. 209 et 221 (4th ed.), § 14.4 et § 15.4.
  10. a et b Par exemple Hardy and Wright 1968, p. 208 (4th ed.), § 14.4, pour l'anneau des entiers d'un corps quadratique en général.
  11. Hardy and Wright 1968, p. 221 (4th ed.), § 15.4.
  12. Hardy and Wright 1968, p. 221-222 (4th ed.), § 15.4.
  13. Hardy and Wright 1968, p. 221 (4th ed.), § 15.4, la démonstration est détaillée pour montrer un résultat équivalent sur Q(2) § 14.6, 4th ed. p. 209.
  14. Pour garantir l’unicité (à l’ordre près des termes) dans Z, il faut imposer par exemple que les facteurs irréductibles soient choisis positifs (c’est-à-dire fixer un choix parmi les deux associés possibles d’un nombre premier, p et –p). On peut faire de même pour les nombres irréductibles de Z[φ].
  15. Théorème 257, section 15.4, Hardy et Wright 2007, p. 284.
  16. Hardy et Wright 2007, p. 279-280, 284.
  17. no 123, Gauss 1807, p. 88-90.
  18. Hardy et Wright 2007, p. 284-286.
  19. Hardy et Wright 2007, p. 286.
  20. Hardy et Wright 2007, p. 286-288.
  21. Guinot 1996, p. 196.
  22. Edwards 1977, p. 66 et 70.
  23. Ribenboim 2000, p. 45.
  24. Edwards 1977, p. 65-73.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]