Ensemble rectifiable

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En mathématiques, un ensemble rectifiable est une généralisation pluridimensionnelle de courbe rectifiable. Ce sont les objets différentiels de la théorie géométrique de la mesure, fondée par Herbert Federer.

Définitions[modifier | modifier le code]

Une partie A de \R^n est m-rectifiable s'il existe une famille dénombrable d'applications f_i:\R^m\to\R^n de classe \mathcal C^1 telle que

\mathcal H^m \left(A \setminus \bigcup_i f_i(\R^m) \right) =  0~,

\mathcal H^m est la mesure de Hausdorff de dimension m.

A est purement non m-rectifiable si pour toute application f:\R^m\to\R^n de classe \mathcal C^1,

\mathcal H^m \left(A \cap f(\R^m) \right) =  0~.

On obtient des définitions équivalentes en remplaçant \mathcal C^1 par application lipschitzienne.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Les parties rectifiables sont une généralisation, du point de vue de la théorie de la mesure, des sous-variétés. Par exemple, on peut définir la notion de sous-espace (de dimension m) presque tangent en un point de A, et montrer que A est m-rectifiable si et seulement si, en \mathcal H^m-presque chacun de ses points, elle admet un tel sous-espace presque tangent.
  • Toute partie de \mathcal H^m-mesure finie est réunion d'une partie m-rectifiable et d'une partie purement non m-rectifiable (dont l'intersection est nécessairement \mathcal H^m-négligeable).
  • Théorème de projection de Besicovitch-Federer : si une partie A, de \mathcal H^m-mesure finie, est purement non m-rectifiable, alors pour presque tout sous-espace P de dimension m, le projeté orthogonal de A sur P est \mathcal H^m-négligeable.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) T.C. O'Neil, « Geometric measure theory », dans Encyclopedia of Mathematics, Springer online (lire en ligne)