Ensemble infini

En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. Plus précisément un ensemble E est infini si, pour aucun entier naturel n, il n'existe de bijection de { 0,1, … , n - 1 } (les entiers naturels strictement inférieurs à n) dans cet ensemble E.

Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini. On montre que l'ensemble N des entiers naturels est infini au sens de cette définition (voir l'article ensemble fini), et donc tout ensemble dénombrable est infini. On en déduit que tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini.

Définitions

En théorie des ensemble, l'axiome de l'infini permet de construire l'ensemble des entiers naturels, qui est alors un ensemble infini. Avec les seuls autres axiomes de ZFC on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis.

On montre, en utilisant l'axiome du choix dénombrable, que tout ensemble infini contient un ensemble dénombrable. Dedekind avait proposé (dans son mémoire (de) Was sind und was sollen die Zahlen ?, ce que sont les nombres et à quoi servent-ils ?) une autre définition d'ensemble infini : un ensemble E est infini s'il est équipotent à une de ses parties propres. Un ensemble dénombrable, et donc tout ensemble contenant un ensemble dénombrable est infini au sens de Dedekind. Réciproquement tout ensemble infini au sens de Dedekind contient un ensemble dénombrable. Il est donc infini au sens ci-dessus, et les définitions sont équivalentes en présence de l'axiome du choix dénombrable. Dans la théorie de Zermelo-Fraenkel (sans axiome du choix), on ne peut exclure l'existence d'ensemble infinis qui ne le sont pas au sens de Dedekind. L'existence de tels ensembles, prise comme axiome, est malgré tout plus faible que l'axiome du choix dénombrable. Pour plus de détails, voir l'article Ensemble infini au sens de Dedekind (en).

Arithmétique cardinale et axiome du choix

En présence de l'axiome du choix l'arithmétique des cardinaux infinis se simplifie notablement. En particulier :

• la réunion disjointe de deux ensembles dont l'un est infini est équipotente à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est infini :

λ + μ = sup(λ,μ) ;

• le produit cartésien de deux ensembles dont l'un est infini et l'autre non vide est équipotent à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est non nul et l'autre infini :

λ • μ = sup(λ,μ) ;

en particulier tout ensemble infini est équipotent à son produit cartésien, c'est-à-dire que si λ est infini :

λ² = λ.

Ce dernier résultat a pour conséquence les deux précédents par le théorème de Cantor-Bernstein. Il suffit de remarquer que, si λ ≥ μ, λ + μ (réunion disjointe) s'injecte dans λ•2, et λ • μ s'injecte dans λ • λ.

Pour le démontrer, on identifie le cardinal infini λ à un aleph (tout ensemble infini étant bien ordonnable par l'axiome du choix, est équipotent à un ordinal). Clairement λ s'injecte dans λ². Supposons qu'il existe un cardinal λ tel que λ ≠ λ², et appelons dorénavant λ le plus petit d'entre eux. L'ordre ≤₂ défini sur λ × λ par

(α,β) ≤₂ (α',β') ssi sup(α,β) < sup(α',β') ou (sup(α,β) = sup(α',β') et α < α') ou (sup(α,β) = sup(α',β') et α = α' et β ≤ β'

est un bon ordre.

Ce bon ordre est isomorphe par f à un ordinal γ, avec γ ≥ card(γ) > λ par hypothèse sur λ. Comme λ < γ, λ possède un antécédent (α,β) par la bijection f. Comme card(α) ≤ α < λ et card(β) ≤ β < λ, en posant δ = sup(α,β) on a card(δ) < λ. Par choix de l'ordre ≤₂ {(ζ,η)|(ζ,η) <₂ (α,β)} ⊆ (α +1) × (β + 1), donc f ^{− 1} restreinte à λ définit une injection de λ dans (δ+1)². Comme λ est infini, (δ+1)² aussi, donc δ + 1 et donc δ également. Donc card(δ+1)=card(δ). Comme card(δ) < λ (inégalité également entre cardinaux), card(δ) ≠ card(δ)², ce qui contredit la minimalité de λ. On a bien λ = λ² pour tout cardinal infini λ.

Il s'avère que l'équipotence de tout ensemble infini avec son carré cartésien est même équivalente à l'axiome du choix, comme l'a montré Alfred Tarski (voir Ordinal de Hartogs, paragraphe sur le produit cardinal).