Ensemble de Julia

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Un ensemble de Julia

Les ensembles de Julia $J (f)$ , décrits par Gaston Julia, sont des fractales, sous-ensembles du plan complexe associés au comportement dynamique d'une fonction holomorphe $f$ . Cet article ne décrit que le cas particulier de la fonction holomorphe

$f:z\mapsto z^2+c.$

[modifier] Définition

Étant donnés deux nombres complexes, c et z₀, définissons la suite (z_n) par la relation récurrente :

z_n+1 = z_n² + c

Pour une valeur donnée de c, l'ensemble de Julia correspondant est la frontière de l'ensemble des valeurs initiales z₀ pour lesquelles la suite est bornée (l’ensemble de ces valeurs étant lui désigné comme l'ensemble de Julia rempli). La définition des ensembles de Julia est relativement proche de celle de l'ensemble de Mandelbrot qui est l'ensemble de toutes les valeurs de c, pour lesquelles la suite (z_n) est bornée, en prenant z₀=0.

L'ensemble de Mandelbrot est, d'une certaine façon, un ensemble d'indices particuliers pour les ensembles de Julia.

En effet, à tout point du plan complexe (qui représente une valeur de c) correspond un ensemble de Julia : nous pouvons imaginer un film sur lequel nous voyons défiler les ensembles de Julia correspondant à un point qui se déplace dans le plan complexe.

Quand le point appartient à l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia correspondant est d'« une seule pièce » c'est-à-dire topologiquement connexe.

Lorsque le point traverse la frontière de l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia se brise en une poussière de Cantor formée de points non connectés mais dont tout voisinage contient un autre point de l'ensemble.