Dynamique de rotation

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La rotation d'un système est un cas particulier de mouvement important notamment de par ses applications industrielles (machines tournantes) mais aussi sur un plan plus fondamental pour la dynamique dans un référentiel tournant, dont le cas le plus important est donné par la dynamique terrestre.

Rappels généraux de dynamique des systèmes matériels[modifier | modifier le code]

Dans un système matériel, d'après la loi des actions mutuelles (autrefois action et réaction) de Newton (cf lois du mouvement de Newton, énoncées en 1687), le torseur des forces intérieures au système est nul[1]. Le principe fondamental de la dynamique se réduit donc à l'égalité du torseur dynamique et du torseur des forces extérieures.

Ces six équations se divisent en deux groupes de trois équations :

  • le principe fondamental de la dynamique de translation :
    \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} = \sum{\vec{F}} \ ;
  • le principe fondamental de la dynamique de rotation :
    \frac {\mathrm d\overrightarrow{L_{O}}}{\mathrm dt} = \sum{\overrightarrow{M_{O}}}.

Ici,

  • \scriptstyle\sum \vec{F} est la somme des forces extérieures,
  • \scriptstyle p est la quantité de mouvement,
  • \scriptstyle O est un point fixe du référentiel galiléen,
  • \scriptstyle L_O est le moment cinétique du système pris par rapport à O,
  • sa dérivée temporelle s'appelle le moment dynamique \scriptstyle \vec{M_O}, somme des moments des forces extérieures réduites au point \scriptstyle O.

Si le référentiel n'est pas galiléen, il convient simplement de rajouter le torseur des forces d'inertie d'entraînement et le torseur des forces d'inertie de Coriolis.

Cas de la rotation d'un solide autour d'un axe fixe[modifier | modifier le code]

On considère un solide (s) en mouvement dans un référentiel (R) supposé galiléen autour d'un axe fixe dans (R) noté \scriptstyle\left(\Delta\right), de vecteur unitaire \scriptstyle\vec{e_{\Delta}} orienté suivant la règle de la main droite. On appelle O la projection orthogonale sur l'axe du centre d'inertie G du solide (S). Du fait de la rotation autour de l'axe, le mouvement est à un seul degré de liberté, que l'on peut prendre comme l'angle \scriptstyle\theta entre la direction \scriptstyle\left(OG\right) et \scriptstyle (Ox) à l'instant choisi pour origine des dates et celle-ci à une date t quelconque.

L'analyse des forces est : forces extérieures appliquées au solide + forces de réaction d'axe (inconnues a priori, mais bloquant la position du point O qui reste immobile, et dont la projection du moment sur l'axe est nulle).

Alors l'équation du principe fondamental de la rotation projetée sur l'axe donne :

\frac{k \cdot \mathrm d  \overrightarrow{L_{O}}}{\mathrm dt} = k \cdot \overrightarrow{M_{O}}.

Par le principe d'inertie[modifier | modifier le code]

Or,

\overrightarrow{L_{O}}= J_{\Delta} \cdot \omega \cdot \overrightarrow{e_{\Delta}},

avec :

Le principe fondamental de la dynamique de rotation s'écrit alors :

J_{\Delta} \frac{\mathrm{\mathrm d}\omega}{\mathrm{\mathrm d}t} = M_\Delta.

C'est l'exacte transposition à la rotation du principe fondamental de la dynamique de translation sur un axe :

m \frac{\mathrm{\mathrm d}v}{\mathrm{\mathrm d}t} = F.

Par les lois de la mécanique newtonienne[modifier | modifier le code]

Soit à calculer \scriptstyle \vec{e_{\Delta}} \cdot \vec{L_{O}} : le solide est formé de millions de points matériels \scriptstyle M_i, de masse \scriptstyle m_i, de projection sur l'axe \scriptstyle H_i, décrivant lors de la rotation du solide des cercles de centre \scriptstyle H_i, de rayon \scriptstyle d_i = H_iM_i. Chaque masse a donc un moment cinétique projeté sur l'axe égal à :

m_i d_i^2 \frac{\mathrm{\mathrm d}\theta}{\mathrm d t}.

On appelle moment d'inertie \scriptstyle J_{\Delta} la somme \scriptstyle \Sigma m_id_i^2.

Le principe fondamental de la dynamique en rotation s'écrit alors :

J_{\Delta} \frac{\mathrm{\mathrm d}\omega}{\mathrm{\mathrm d}t} = M_\Delta.

Quelques exemples de calculs de moments d'inertie[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Moment d'inertie.

Le théorème de Huygens[modifier | modifier le code]

Application classique : le pendule pesant[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Pendule pesant.

Application : le cylindre qui roule sans glisser le long d'un plan incliné[modifier | modifier le code]

Soit un plan incliné d'angle \scriptstyle \alpha.

Quand le cylindre de rayon \scriptstyle R et de masse \scriptstyle M, d'inertie à la rotation \scriptstyle J_\Delta, roule sans glisser, il parcourt \scriptstyle 2 \cdot \pi \cdot R en un tour et donc \scriptstyle s= R \cdot \theta lorsqu'il tourne d'un angle \scriptstyle \theta

Analyse des forces :

  • le poids \scriptstyle M \cdot \vec g (force à distance) ;
  • l'action du plan sur le cylindre au point de contact C (forece de contact), décomposée en \scriptstyle \vec N normale au plan et \scriptstyle \vec T tangentielle.

Application du PFDT :

  • dans la direction de la pente :

M \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = M \cdot g \cdot \sin \alpha - T ;

  • dans la direction perpendiculaire à la direction de la pente :

M \cdot g \cdot \cos \alpha = N.

Application du PFDR :

 J_\Delta \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = 0 + 0 + T \cdot R,

qui s'écrit compte tenu de la relation géométrique \scriptstyle v = R \cdot \omega :

\frac{J_\Delta}{R^2} \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = T.

En remplaçant \scriptstyle T dans la première relation, on obtient :

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g \sin \alpha \frac{M}{M'} = \mathrm{constante},

avec

M' = M + \frac{J_\Delta}{R^2} .

Puis on peut en tirer

T = Mg\frac{J_\Delta}{J_\Delta + M \cdot R^2} \sin\alpha,

qui doit être inférieure à \scriptstyle k \cdot N (k = coefficient de Coulomb), pour qu'il n'y ait effectivement pas de glissement.

Cas de la rotation d'un solide autour de son centre d'inertie G[modifier | modifier le code]

Problème de la toupie pesante de Lagrange[modifier | modifier le code]

Cette fois la toupie repose sur sa pointe O fixe, dans un champ de pesanteur -g k

Cas plus difficiles[modifier | modifier le code]

Problèmes de gyroscopie[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Gyroscope.

Autres cas[modifier | modifier le code]

Évidemment, seul a été traité ici le problème des systèmes solides; mais bien sûr le PFDR peut s'appliquer à n'importe quel système, y compris des systèmes ouverts comme les pales à réaction des hélicoptères ou les roues des aubes de turbine à réaction d'augets. Et aussi aux galaxies ou en hydrodynamique (moment cinétique en hydrodynamique, vortex…).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Sur le plan énergétique, cela ne signifie PAS que sa puissance est nulle. Ce dernier point n'est valable que pour un solide