Dynamique de rotation

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La rotation d'un système est un cas particulier de mouvement important notamment de par ses applications industrielles (machines tournantes) mais aussi sur un plan plus fondamental pour la dynamique dans un référentiel tournant, dont le cas le plus important est donné par la dynamique terrestre.

Rappels généraux de dynamique des systèmes matériels

Dans un système matériel, d'après la loi des actions mutuelles (autrefois action et réaction) de Newton (cf lois du mouvement de Newton, énoncées en 1687), le torseur des forces intérieures au système est nul. Le principe fondamental de la dynamique se réduit donc à l'égalité du torseur dynamique et du torseur des forces extérieures.

Ces six équations se divisent en deux groupes de trois équations :

• le principe fondamental de la dynamique de translation : $\frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} = \sum{\vec{F}}$
• le principe fondamental de la dynamique de rotation : $\frac {\mathrm d\overrightarrow{L_{O}}}{\mathrm dt} = \sum{\overrightarrow{M_{O}}}$

Ici, $\scriptstyle\sum \vec{F}$ est la somme des forces extérieures, $p$ est la quantité de mouvement, $O$ est un point fixe du référentiel galiléen, $L_O$ est le moment cinétique du système pris par rapport à O. Sa dérivée temporelle s'appelle le moment dynamique $\scriptstyle \vec{M_O}$, somme des moments des forces extérieures réduites au point $O$.

Si le référentiel n'est pas galiléen, il convient simplement de rajouter le torseur des forces d'inertie d'entraînement et le torseur des forces d'inertie de Coriolis.

Cas de la rotation d'un solide autour d'un axe fixe

On considère un solide (s) en mouvement dans un référentiel (R) supposé galiléen autour d'un axe fixe dans (R) noté $\left(\Delta\right)$, de vecteur unitaire $\vec{e_{\Delta}}$ orienté suivant la règle de la main droite. On appelle O la projection orthogonale sur l'axe du centre d'inertie G du solide (S). Du fait de la rotation autour de l'axe, le mouvement est à un seul degré de liberté, que l'on peut prendre comme l'angle $\theta$ entre la direction $\left(OG\right) \equiv Ox$ à l'instant choisi pour origine des dates et celle-ci à une date t quelconque.

L'analyse des forces est : forces extérieures appliquées au solide + forces de réaction d'axe (inconnues a priori, mais bloquant la position du point O qui reste immobile, et dont la projection du moment sur l'axe est nulle) :

Alors l'équation du principe fondamental de la rotation projetée sur l'axe donne : $\frac{k \cdot \mathrm d \overrightarrow{L_{O}}}{\mathrm dt} = k \cdot \overrightarrow{M_{O}}$.

Par le principe d'inertie

Or L(O) = I(O) k . ω , avec ω = d$\theta$/dt, et I(O) l'opérateur linéaire d'inertie

La quantité scalaire k.I(O)k s'appelle inertie à la rotation (anciennement moment d'inertie de rotation), souvent nommée J.

Le PFDR (le principe fondamental de la dynamique de rotation) s'écrit alors :

$J \frac{\mathrm{\mathrm d}\omega}{\mathrm{\mathrm d}t} = M_z$

ce qui est l'exacte transposition à la rotation du PFDT (principe fondamental de la dynamique de translation sur un axe) :

$m \frac{\mathrm{\mathrm d}v}{\mathrm{\mathrm d}t} = F$

De ce fait, tout ce qui a été dit sur le problème précédent est traduisible ; simplement l'inertie à la rotation J vient remplacer l'inertie à la translation m.

Par les lois de la mécanique newtonienne

Soit à calculer k.L(O) : le solide est formé de millions de points matériels $M_i$, de masse $m_i$, de projection sur l'axe $H_i$, décrivant lors de la rotation du solide des cercles de centre $H_i$, de rayon $d_i = H_iM_i$ : chaque masse a donc un moment cinétique projeté sur l'axe égal à :

$m_id_i^2 \frac{\mathrm{\mathrm d}\theta}{\mathrm{\mathrm d}t}$ :

on appelle inertie à la rotation J la somme $\Sigma m_id_i^2$.

Le PFDR s'écrit alors :

$J \frac{\mathrm{\mathrm d}\omega}{\mathrm{\mathrm d}t} = M_z$,

l'inertie à la rotation est en kilogrammes-mètre carré ( kg.m²) et $M_z$ en newton-mètres ( N⋅m).

ce qui est l'exacte transposition à la rotation du PFDT (principe fondamental de la dynamique de translation sur un axe):

$m \frac{\mathrm{\mathrm d}v}{\mathrm{\mathrm d}t} = F$.

De ce fait, tout ce qui a été dit sur le problème précédent est « translatable »; simplement l'inertie à la rotation J vient remplacer l'inertie à la translation m.

Quelques cas classiques

Article détaillé : Moment d'inertie.

• Le cylindre de révolution creux : toute la masse est à la distance R de l'axe : $J = M \cdot R^2$.
• Le barreau de révolution plein, de densité uniforme de rayon R : $J = \frac12 M \cdot R^2$.
• La sphère creuse de rayon R : $J = \frac23 M \cdot R^2$.
• La boule pleine de densité uniforme : $J = \frac25 M \cdot R^2$.

Le théorème de Huygens

Historiquement, c'est un tour de force, car Huygens n'avait à sa disposition que la loi de Torricelli (cf Histoire des sciences : pendule pesant) : Soit $J_0$ l'inertie de rotation du solide par rapport à son centre d'inertie G : l'inertie de rotation J par rapport à un axe parallèle, distant de d, vaut $J = J_0 + M \cdot d^2$.

Il est alors facile de calculer l'inertie de rotation J° d'un barreau de longueur 2a : $J_0 = M \frac{a^2}{3}$, de longueur 2a et de largeur 2b : $J_0 = M \frac{a^2+b^2}{3}$.

Application classique : le pendule pesant

Article détaillé : Pendule pesant.

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Cas de la rotation d'un solide autour d'un axe de direction fixe

Dans ce cas, on peut montrer que le PFDT s'applique au point G (centre d'inertie) , affecté de la masse inerte totale du solide et le PFDR s'applique à l'axe ( G, k), avec l'inertie à la rotation J°.

Application : le cylindre qui roule sans glisser le long d'un plan incliné

Soit un plan incliné d'angle $\alpha$.

Quand le cylindre de rayon R et de masse M, d'inertie à la rotation J°, roule sans glisser, il a parcouru 2$\pi$R en un tour et donc $s= R\cdot \theta$ (relation géométrique)

Analyse des forces : à distance : le poids -mg k; l'action du plan sur le cylindre au point de contact C, décomposée en N normale au plan et T tangentielle, comptée algébriquement vers le haut (et dessinée comme telle, cela visualise mieux le problème).

Application du PFDT : $M \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = M g \sin\alpha - T$ et $Mg \cos\alpha = N$.

Application du PFDR :$J_0 \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = 0 +0 +T\cdot R$

qui s'écrit compte-tenu de la relation géométrique :

$\frac{J_0}{R^2} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = T$

En éliminant T, on obtient :

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \mathrm{constante} = g \sin \alpha \frac{M}{M'}$ avec $M' = M + \frac{J_0}{R^2}$.

Puis on peut en tirer $T = Mg\frac{J_0}{J_0 + MR^2} \sin\alpha$ , qui doit être inférieure à k N (k = coefficient de Coulomb), pour qu'il n'y ait effectivement pas de glissement.

Cas de la rotation d'un solide autour de son centre d'inertie G

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Problème de la toupie pesante de Lagrange

Cette fois la toupie repose sur sa pointe O fixe, dans un champ de pesanteur -g k

Cas plus difficiles

problèmes de gyroscopie

On revient à des problèmes plus aisés ; mais regroupons ces cas :

voir gyroscope

Ces cas sont magnifiquement décrits par les ouvrages de RADIX , exceptionnels de clarté.

Autres cas

Évidemment, seul a été traité ici le problème des systèmes solides; mais bien sûr le PFDR peut s'appliquer à n'importe quel système, y compris des systèmes ouverts comme les pales à réaction des hélicoptères ou les roues des aubes de turbine à réaction d'augets. Et aussi aux galaxies ou en hydrodynamique (moment cinétique en hydrodynamique, vortex,...)