Droite sécante

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En géométrie, une droite est sécante à un autre objet géométrique lorsqu'elle « coupe » cet autre objet.

Pour effectuer l'étude d'une courbe au voisinage d'un de ses points P, il est utile de considérer les sécantes issues de P, c'est-à-dire les droites passant par P et un autre point Q de la courbe. C'est à partir de ces sécantes qu'est définie la notion de tangente à la courbe au point P : il s'agit de la limite, quand elle existe, des droites sécantes issues de P lorsque le deuxième point Q se rapproche de P le long de la courbe.

De ce fait, lorsque Q est suffisamment proche de P, la sécante peut être considérée comme une approximation de la tangente.

Dans le cas particulier de la courbe représentative d'une fonction numérique y=f(x), la pente de la tangente est la limite de la pente des sécantes, ce qui donne une interprétation géométrique de la dérivabilité d’une fonction.

Approximation par une sécante[modifier | modifier le code]

Considérons la courbe d’équation y = f(x) dans un système de coordonnées cartésiennes, et considérons un point P de coordonnées (c, f(c)), et un autre point Q de coordonnées (c + Δx, f(c + Δx)). Alors la pente m de la droite sécante, passant pas P et Q, est donnée par:

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{(c + \Delta x) - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}

Le membre de droite de l’équation précédente est le rapport de Newton en c (ou taux d’accroissement). Lorsque Δx s’approche de zéro, ce rapport se rapproche du nombre dérivé f'(c), en supposant l’existence de la dérivée.

Voir aussi[modifier | modifier le code]