Droite sécante

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En géométrie, une droite est sécante à un autre objet géométrique lorsqu'elle « coupe » cet autre objet.

Pour étudier une courbe au voisinage d'un de ses points P, il est utile de considérer les sécantes issues de P, c'est-à-dire les droites passant par P et un autre point Q de la courbe. C'est à partir de ces sécantes qu'est définie la notion de tangente à la courbe au point P : il s'agit de la limite, quand elle existe, des droites sécantes issues de P lorsque le deuxième point Q se rapproche de P le long de la courbe.

De ce fait, lorsque Q est suffisamment proche de P, la sécante peut être considérée comme une approximation de la tangente.

Dans le cas particulier de la courbe représentative d'une fonction numérique y = f(x), la pente de la tangente est la limite de la pente des sécantes, ce qui donne une interprétation géométrique de la dérivabilité d’une fonction.

Approximation par une sécante[modifier | modifier le code]

Considérons la courbe d’équation y = f(x) dans un système de coordonnées cartésiennes, et considérons un point P de coordonnées (c, f(c)), et un autre point Q de coordonnées (c + Δx, f(c + Δx)). Alors la pente m de la droite sécante passant par P et Q est donnée par

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{(c + \Delta x) - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}.

Le membre de droite de l’équation précédente est le taux d'accroissement de f entre c et c + Δx. Sa limite lorsque Δx tend vers zéro, si elle existe, est appelée le nombre dérivé de f en c et notée f'(c).

Voir aussi[modifier | modifier le code]