Droite d'Euler

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En rouge : droite d'Euler

En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre H, le centre de gravité ou isobarycentre G et le centre du cercle circonscrit Ω sont alignés et ne sont pas confondus. On appelle droite d'Euler la droite passant par ces trois points.

Cette droite est nommée en hommage au mathématicien suisse Leonhard Euler qui énonça et démontra que ces points étaient alignés, en établissant les relations de proportionnalité entre les distances , HG et  : = 3/2 HG et = 1/2 HG[1].

La droite passe également par le centre du cercle des neuf points, qui est le milieu du segment [ΩH], ainsi que par d'autres points remarquables du triangle[2].

En revanche, elle ne passe pas par le centre du cercle inscrit au triangle, sauf si celui-ci est isocèle.

Relation d'Euler[modifier | modifier le code]

Cet alignement s'exprime par la relation vectorielle dite relation d'Euler : \overrightarrow{\Omega H} = 3 \overrightarrow{\Omega G}.

Longueurs des segments[modifier | modifier le code]

Cercle et droite d'Euler d'un triangle

Les longueurs des différents segments s'expriment en fonction des trois côtés du triangle et du rayon du cercle circonscrit : \Omega G = \sqrt{R^2-\frac19(a^2+b^2+c^2)} et donc, d'après la relation d'Euler ci-dessus, \Omega H = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}

a = BC, b = CA, c = AB et R est le rayon du cercle circonscrit à (ABC)[3],[4].

Comme de plus, R s'exprime comme fonction symétrique des longueurs a, b et c, les longueurs ΩG, ΩH et GH s'expriment comme fonctions symétriques de ces trois longueurs

Références[modifier | modifier le code]

  1. Leonahrd Euler, Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum, sur le site de Euler Archive, rem page 114.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Euler Line », MathWorld
  3. La preuve donnée ici est inspirée de celle donnée par Alexander Bogomolny sur la page Sum of Squares of Distances to Vertices de Cut The Knot.
  4. Une autre preuve, faisant appel aux nombres complexes, est proposée par Bogomolny sur la page Distance between the Orthocenter and Circumcenter

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Fonctions de Leibniz

Bibliographie[modifier | modifier le code]