Droite d'Euler

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En bleu : hauteurs
En orange : médianes
En vert : médiatrices
En rouge : droite d'Euler

En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre $H$, le centre de gravité ou isobarycentre $G$ et le centre du cercle circonscrit $\Omega$ sont alignés et ne sont pas confondus. On appelle droite d'Euler la droite passant par ces trois points.

C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui démontra le premier que ces points étaient alignés, en établissant la relation vectorielle dite relation d'Euler : $\overrightarrow{\Omega H} = 3 \overrightarrow{\Omega G}.$

La droite passe également par le centre du cercle des neuf points, qui est le milieu du segment $[\Omega H]$, ainsi que par d'autres points remarquables du triangle.

En revanche, elle ne passe pas par le centre du cercle inscrit au triangle, sauf si celui-ci est isocèle.

Démonstration de la relation d'Euler

Soit $M$ le point défini par $\overrightarrow {\Omega M} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega B} + \overrightarrow {\Omega C}.$

La relation de Chasles donne $\overrightarrow {\Omega M} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega I_1} + \overrightarrow {I_1 B} + \overrightarrow {\Omega I_1} + \overrightarrow {I_1 C}.$

Or $I_1$ est le milieu de $[BC]$ donc $\overrightarrow {I_1 B} + \overrightarrow {I_1 C} = \vec {0}.$

D'où $\overrightarrow {\Omega M} - \overrightarrow {\Omega A} = 2 \overrightarrow {\Omega I_1}$, ce qui donne $\overrightarrow {AM} = 2 \overrightarrow {\Omega I_1}$

Par définition de $\Omega,$ la droite $(\Omega I_1)$ est la médiatrice du segment $[BC]$, donc lui est perpendiculaire. La relation vectorielle établie juste au-dessus montre alors que la droite $(AM)$ est aussi perpendiculaire à $(BC)$, donc $(AM)$ est une hauteur du triangle $ABC$.

De même, $(BM)$ et $(CM)$ sont des hauteurs de $ABC$, donc $M$ appartient aux trois hauteurs de ce triangle et en est donc l'orthocentre $H$.

On a donc $\overrightarrow {\Omega H} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega B} + \overrightarrow {\Omega C}.$

Par la relation de Chasles, on a $\overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}.$

Or $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec {0}$ (car $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$).

On obtient finalement la relation d'Euler $\overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G}$, qui montre que les points $\Omega$, $G$ et $H$ sont alignés dans cet ordre.

Cercle et droite d'Euler d'un triangle

$\Omega G = \sqrt{R^2-\frac19(a^2+b^2+c^2)}$

et donc, d'après la relation d'Euler ci-dessus,

$\Omega H = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

où $a = BC, b = AC, c = AB$ et $R$ est le rayon du cercle circonscrit à $ABC$.

Démonstration de la longueur ΩG

$G$ est l'isobarycentre des points A, B et C, c'est-à-dire : $\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \vec {0}.$

$\Omega$ est le centre du cercle circonscrit à $ABC,$ cercle de rayon $R,$ donc :

$\begin{align} 3 R^2 &= A\Omega^2 + B\Omega^2 + C\Omega^2\\ &= \left(\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {G\Omega}\right)^2 + \left(\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {G\Omega}\right)^2 + \left(\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G\Omega}\right)^2\\ &= AG^2 + BG^2 + CG^2 + 3 G\Omega^2 + 2 \left(\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG}\right) \cdot \overrightarrow {G\Omega}\\ &= AG^2 + BG^2 + CG^2 + 3 G\Omega^2.\\ \end{align}$

On a donc :

$\Omega G^2 = R^2-\frac13(AG^2 + BG^2 + CG^2).$

Considérons maintenant le point $A'$, symétrique de $A$ par rapport au milieu $I_1$ de $[BC].$

• D'une part, $\overrightarrow {AG} = \frac23 \overrightarrow {AI_1} = \frac13 \overrightarrow {AA'}.$
• D'autre part, $ABA'C$ est un parallélogramme, et la règle du parallélogramme indique que :

$AA'^2 + a^2 = 2 b^2 + 2 c^2.$

Donc $AG^2 = \frac19 AA'^2 = \frac19 (2 b^2 + 2 c^2 - a^2),$

$AG^2 + BG^2 + CG^2 = \frac13 (a^2 + b^2 + c^2),$

et finalement :

$\Omega G^2 = R^2-\frac19(a^2+b^2+c^2).$

Voir aussi

Article connexe

Fonctions de Leibniz

Bibliographie

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage et Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Petite encyclopédie de mathématique, Didier
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie, Hermann, 2010, 3^e éd. (ISBN 978-2-7056-7084-9) 
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, Calvage et Mounet (ISBN 978-2-916352-12-1)