Drapeau (mathématiques)

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En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel E de dimension finie est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :

\{0\}=E_0\subsetneq E_1\subsetneq \cdots \subsetneq E_{k-1} \subsetneq E_k=E.

Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces Ei forment une suite finie strictement croissante d'entiers naturels :

0=d_0<d_1<\dots<d_{k-1}<d_k=n.

Si di = i (autrement dit : si k = n), alors le drapeau est dit total[réf. souhaitée].

Base adaptée à un drapeau[modifier | modifier le code]

À toute base (e1, … , en) de l'espace E de dimension n est associé un drapeau total, constitué des espaces successivement engendrés : E_1={\rm Vect}(e_1),\ E_2={\rm Vect}(e_1,e_2),\ldots

Exemple : si E est l'espace ℝm[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à m, sa base canonique est (1, X, X2, … , Xm) et sa dimension est n = m + 1. L'espace E0 = {0} et les espaces

Ei + 1 = ℝi[X] successifs pour i allant de 0 à m constituent un drapeau total de E.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs ei tels que ei appartient à Ei mais pas à Ei – 1.

Drapeau stable par un endomorphisme[modifier | modifier le code]

Si u est un endomorphisme de E, on dit que le drapeau est stable par u si chaque Ei est stable par u : \forall i \in \{ 1, \ldots , n \} , \, u(E_i) \subset E_i.

Par exemple, si l'on reprend pour E l'espace ℝm[X] et le drapeau formé des espaces ℝi[X] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X + 1)), etc.

Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux[modifier | modifier le code]

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

Les drapeaux dans le cadre euclidien[modifier | modifier le code]

Lorsque E est un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si l'on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé dans une base orthonormale.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) I. R. Shafarevich et A. O. Remizov, Linear Algebra and Geometry, Springer,‎ 2012 (ISBN 978-3-642-30993-9, lire en ligne)