Drapeau (mathématiques)

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En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel de dimension finie E est une suite finie croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul $\{0\}$ et se terminant par l'espace total E :

$\{ 0 \} = E_{0} \subsetneq E_{1} \subsetneq \cdots \subsetneq E_{k-1} \subsetneq E_{k} = E$

Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces E_i forment une suite croissante finie d'entiers

$0<d_1<\dots<d_{k-1}<d_k=n$.

Si d_i=i, alors le drapeau est dit total.

Exemple : si E est l'espace $\R_n[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à n, les espaces $\R_i[X]$ successifs pour i allant de 0 à n constituent un drapeau total de E.

Base adaptée à un drapeau

À toute base $(e_1,\ldots,e_n)$ de l'espace E de dimension finie est associé un drapeau constitué des espaces successivement engendrés

$E_1={\mathrm {Vect}}(e_1),\ E_2={\mathrm {Vect}}(e_1,e_2),\ldots$.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs $e_i$ ainsi : $e_i$ appartient à $E_i$ mais pas à $E_{i-1}$.

Drapeau stable par un endomorphisme

Si $u$ est un endomorphisme de $E$, alors on dit que le drapeau est stable par $u$ si

$\forall i \in \{ 1, \ldots , n \} , \, u(E_{i}) \subset E_{i}$.

Par exemple, si on reprend pour E l'espace $\R_n[X]$ et le drapeau formé des espaces $\R_s[X]$ successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X+1)), etc...

Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux

Soit $u$ un endomorphisme de $E$, espace vectoriel toujours supposé de dimension n. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes:

1. $u$ est trigonalisable.
2. Il existe un drapeau total de $E$ stable par $u$. (ou un drapeau $u$-stable)

Les drapeaux dans le cadre euclidien

L'espace est de dimension finie et, en outre, muni d'un produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé en base orthonormale.