Domaine lipschitzien

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En mathématiques, un domaine lipschitzien (ou domaine avec une frontière lipschitzienne) est un domaine dans un espace euclidien dont la frontière est "suffisamment régulière" dans le sens qu'elle peut localement être représentée comme le graphe d'une fonction continue lipschitzienne. Le terme vient du nom du mathématicien allemand Rudolf Lipschitz.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit n ∈ N, et soit Ω un sous-ensemble ouvert et borné de Rn. ∂Ω désigne la frontière de Ω. Alors Ω est dit avoir une frontière lipschitzienne, et est appelé un domaine lipschitzien, si, pour tout point p ∈ ∂Ω, il existe un rayon r > 0 et une application hp : Br(p) → Q tels que

  • hp soit une bijection;
  • hp et hp−1 soient toutes deux des fonctions continues lipschitziennes;
  • hp(∂Ω ∩ Br(p)) = Q0;
  • hp(Ω ∩ Br(p)) = Q+;

B_{r} (p) := \{ x \in \mathbb{R}^{n} | \| x - p \| < r \} désigne la boule ouverte de dimension n de rayon r de centre p, Q désigne la boule unité B1(0), et Q_{0} := \{ (x_{1}, \dots, x_{n}) \in Q | x_{n} = 0 \} ; Q_{+} := \{ (x_{1}, \dots, x_{n}) \in Q | x_{n} > 0 \}.

Applications des domaines lipschitziens[modifier | modifier le code]

Beaucoup de théorèmes de plongement de Sobolev demandent que le domaine d'étude soit un domaine lipschitzien. Par conséquent, beaucoup d' équations aux dérivées partielles et de problèmes variationnels sont définis sur des domaines lipschitziens.

Références[modifier | modifier le code]