Dodécaèdre rhombique tronqué

Dodécaèdre rhombique tronqué
Type	Quasi-polyèdre de Johnson
Faces	6 carrés 12 hexagones
Arêtes	48 (2 types)
Sommets	32 (2 types)
Configurations de sommets	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Groupe de symétrie	symétries de l'Octaèdre (Oh)
Polyèdre dual	-
Propriétés	Convexe, zonoèdre, faces équilatérales (mais non régulières)

Le dodécaèdre rhombique tronqué est un polyèdre convexe obtenu par la troncature des six sommets du dodécaèdre rhombique où 4 faces se réunissent.

Les six sommets sont tronqués de sorte à ce que les arêtes soient de même longueur. Les douze faces rhombiques deviennent des hexagones et les sommets tronqués deviennent des carrés.

Les faces hexagonales sont équilatérales, mais pas régulières, elles ont en effet des angles inégaux : deux angles opposés valent $\arccos\biggl(\frac{-1}{3}\biggl) \approx 109,47$° et les quatre autres valent environ 125,26°. Les authentiques hexagones réguliers ont 120° à chaque angle.

C'est un zonoèdre : toutes ses faces ont des symétries à 180° de rotation.

Patron

Voici le patron d'un dodécaèdre rhombique tronqué :

Ambiguïtés

Il ressemble beaucoup à l'octaèdre tronqué, qu'il ne faut surtout pas confondre avec :

Dodécaèdre rhombique tronqué	Octaèdre tronqué

Ce n'est pas un solide de Johnson malgré les apparences, car bien que convexe, toutes ses faces ne sont pas strictement régulières, c'est également le cas du triakitétraèdre tronqué et du triacontaèdre rhombique tronqué.

On remarque que le nom est ambigu, car seulement six sommets, ont été tronqués, l'appellation « polyèdre tronqué » étant généralement réservée aux polyèdres dont tous les sommets ont été tronqués. En tronquant tous les sommets d'un dodécaèdre rhombique on obtient un tout autre polyèdre.

Mesures et volume

Si son arête a pour longueur "a",

• Son volume vaut :

$V = a^3 \times \biggr(8+\frac{40\sqrt{3}}{9}+\sqrt{\frac{19+8\sqrt{3}}{3}}\biggr) \approx a^3 \times 19.0074$.

• Sa surface est de :

$A = a^2 \times \biggr(6+ 8\sqrt{2} (1+\sqrt{3})\biggr) \approx a^2 \times 36,9096$

• Le rayon de la sphère inscrite aux centres des carrés vaut :

$r_4 = a \times \sqrt{\frac{\frac{19}{2}+4\sqrt{3}}{6}} \approx a \times 1,6547$

• Le rayon de la sphère inscrite aux centres des hexagones vaut :

$r_6 = a \times \biggr(\frac{\sqrt{\frac{8}{3}}+\sqrt{2}}{2}\biggr) \approx a \times 1,5236$

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Truncated rhombic dodecahedron » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi

Articles connexes

• Dodécaèdre rhombique
• Octaèdre tronqué
• Autres quasi-polyèdres de Johnson :
  • Triacontaèdre rhombique tronqué
  • triakitétraèdre tronqué

Liens externes

• http://unistates.com/rmt/explained/glossary/trd.html
• VRML model [1]
  • VTML polyhedral generator Try "t4daC"