Dodécaèdre rhombique tronqué

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Dodécaèdre rhombique tronqué
Dodécaèdre rhombique tronqué
Type Quasi-polyèdre de Johnson
Faces 6 carrés
12 hexagones
Arêtes 48 (2 types)
Sommets 32 (2 types)
Configurations de sommets (24) 4.6.6
(8) 6.6.6
Groupe de symétrie symétries de l'Octaèdre (Oh)
Polyèdre dual -
Propriétés Convexe, zonoèdre, faces équilatérales (mais non régulières)

Le dodécaèdre rhombique tronqué est un polyèdre convexe obtenu par la troncature des six sommets du dodécaèdre rhombique où 4 faces se réunissent.

Les six sommets sont tronqués de sorte à ce que les arêtes soient de même longueur. Les douze faces rhombiques deviennent des hexagones et les sommets tronqués deviennent des carrés.

Les faces hexagonales sont équilatérales, mais pas régulières, elles ont en effet des angles inégaux : deux angles opposés valent \arccos\biggl(\frac{-1}{3}\biggl) \approx 109,47° et les quatre autres valent environ 125,26°. Les authentiques hexagones réguliers ont 120° à chaque angle.

C'est un zonoèdre : toutes ses faces ont des symétries à 180° de rotation.


Patron[modifier | modifier le code]

Voici le patron d'un dodécaèdre rhombique tronqué :

Truncated rhombic dodecahedron net.png

Ambiguïtés[modifier | modifier le code]

Il ressemble beaucoup à l'octaèdre tronqué, qu'il ne faut surtout pas confondre avec :

Dodécaèdre rhombique tronqué
Truncated rhombic dodecahedron2-2.svg
Octaèdre tronqué
Truncated octahedron.png

Ce n'est pas un solide de Johnson malgré les apparences, car bien que convexe, toutes ses faces ne sont pas strictement régulières, c'est également le cas du triakitétraèdre tronqué et du triacontaèdre rhombique tronqué.

On remarque que le nom est ambigu, car seulement six sommets, ont été tronqués, l'appellation « polyèdre tronqué » étant généralement réservée aux polyèdres dont tous les sommets ont été tronqués. En tronquant tous les sommets d'un dodécaèdre rhombique on obtient un tout autre polyèdre.

Mesures et volume[modifier | modifier le code]

Si son arête a pour longueur "a",

  • Son volume vaut :

 V = a^3 \times \biggr(8+\frac{40\sqrt{3}}{9}+\sqrt{\frac{19+8\sqrt{3}}{3}}\biggr) \approx a^3 \times 19.0074.

  • Sa surface est de :

A = a^2 \times \biggr(6+ 8\sqrt{2} (1+\sqrt{3})\biggr) \approx a^2 \times 36,9096

  • Le rayon de la sphère inscrite aux centres des carrés vaut :

r_4 = a \times \sqrt{\frac{\frac{19}{2}+4\sqrt{3}}{6}} \approx a \times 1,6547

  • Le rayon de la sphère inscrite aux centres des hexagones vaut :

r_6 = a \times \biggr(\frac{\sqrt{\frac{8}{3}}+\sqrt{2}}{2}\biggr) \approx a \times 1,5236

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]