Dodécaèdre rhombique

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Dodécaèdre rhombique

alt=Description de l'image Rhombicdodecahedron.gif.
Faces Arêtes Sommets
12 losanges 24 14 de degré 3 et 4
Type Solide de Catalan
Caractéristique 2
Groupe de symétrie Octaédrique
Dual Cuboctaèdre

Le dodécaèdre rhombique (aussi appelé granatoèdre) est un polyèdre convexe à 12 faces rhombiques. C'est un solide dual d'un solide d'Archimède ou un solide de Catalan. Son dual est le cuboctaèdre.

Propriétés[modifier | modifier le code]

C'est le polyèdre dual du cuboctaèdre et un zonoèdre. La grande diagonale de chaque face est exactement √2 fois la longueur de la petite diagonale, ainsi, les angles aigus de chaque face mesurent 2 tan−1(1/√2), ou approximativement 70,53°.

Étant le dual d'un solide d'Archimède, le dodécaèdre rhombique est de faces uniformes, ce qui signifie que le groupe de symétrie du solide agit transitivement sur l'ensemble des faces. En termes élémentaires, ceci signifie que pour deux faces quelconques A et B, il existe une rotation ou une réflexion du solide qui le laisse occuper la même région de l'espace en déplaçant la face A vers la face B.

Le dodécaèdre rhombique est un des neuf polyèdres convexes à arêtes uniformes, les autres étant les cinq solides de Platon, le cuboctaèdre, l'icosidodécaèdre et le triacontaèdre rhombique.

Il est topologiquement équivalent à l'intersection de 3 cylindres de mêmes diamètres, chacun des axes étant perpendiculaire aux deux autres (comme les diagonales d'un octaèdre régulier).

Partie d'un réseau dodécaédrique rhombique

Le dodécaèdre rhombique peut être utilisé pour paver un espace à trois dimensions. Il peut être empilé pour remplir un espace comme les hexagones remplissent le plan ; les cellules dans un réseau ont une forme similaire au dodécaèdre rhombique coupé par la moitié.

Ce pavage peut être vu comme le diagramme de Voronoï d'un réseau cubique à face centrées. Les abeilles utilisent la géométrie des dodécaèdres rhombiques pour former leurs nids d'abeille à partir du pavage des cellules, chacune d'elle est un prisme hexagonal couvert avec la moitié d'un dodécaèdre rhombique.

Le dodécaèdre rhombique forme la coque de la première projection par sommets d'un tesseract vers les 3 dimensions. Il existe exactement deux manières de décomposer un dodécaèdre rhombique en quatre parallélépipèdes congruents, ce qui donne 8 parallélépipèdes possibles. Les 8 cellules du tesseract sous cette projection sont précisément ces 8 parallélépipèdes.

Le graphe associé au dodécaèdre rhombique est un graphe birégulier, le graphe dodécaédrique rhombique.

Coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le code]

Les huit sommets où trois faces se rencontrent sur leur angles obtus ont pour coordonnées cartésiennes

(±1, ±1, ±1)

Les six sommets où les quatre faces se rencontrent sur leurs angles aigus sont donnés par les permutations de

(0, 0, ±2)

Mesures et volume[modifier | modifier le code]

Si son arête est a, son volume vaut :

V = a^3 \times \frac{16\sqrt{3}}{9} \approx a^3 \times 3,0792

Sa surface est de :

A = a^2 \times 8\sqrt{2} \approx a^2 \times 11,3137

Giacomo Filippo Maraldi a obtenu expérimentalement l'angle du dodécaèdre rhombique en 1712.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure : A Source Book of Design, 1979, ISBN 0-486-23729-X

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]