Division d'un polynôme

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En algèbre, l'anneau K[X] des polynôme à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, comme celui des nombres rationnels, réels ou complexes, dispose d'une division euclidienne, qui ressemble formellement à celle des nombres entiers. Si A et B sont deux polynômes de K[X], avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que :

 A = BQ + R \quad\text{avec}\quad \text{deg } R < \text{deg } B.

Ici l'expression deg S, si S désigne un polynôme, signifie le degré de S. Cette division confère à l'ensemble des polynômes une arithmétique analogue à celle des nombres entiers, avec pour conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide ou encore un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, où les nombres premiers sont remplacés par les polynômes unitaires irréductibles (cf l'article arithmétique des polynômes).

Il existe une deuxième division, dite selon les puissances croissantes. Elle est utilisée pour les fraction rationnelles et permet une décomposition en éléments simples.

Division euclidienne[modifier | modifier le code]

Préambule[modifier | modifier le code]

La division euclidienne dans un anneau de polynôme permet de construire à la règle et au compas l'heptadécagone, un polygone régulier de 17 côtés.

En 1801, Carl Friedrich Gauss publie son premier livre de mathématique, appelé Disquisitiones arithmeticae. Il démontre en particulier l'existence d'une nouvelle figure constructible à la règle et au compas, le polygone régulier à 17 côtés[1]. La méthode qu'il utilise consiste à considérer un polynôme, non comme une fonction mais comme élément d'une structure, que l'on appelle maintenant anneau, doté d'une addition et d'une multiplication. Les éléments ne sont pas tous inversibles, rapprochant en cela cette structure de celle des nombres entiers. Cette analogie est rendue plus profonde si les coefficients des polynômes sont choisis dans un corps, c'est-à-dire un anneau tel que tous les éléments différents de 0 possèdent un inverse pour la multiplication. La structure dispose alors d'une division euclidienne à l'image de celle des entiers.

Sur un anneau commutatif, c'est-à-dire dont la multiplication est commutative, disposant d'une division euclidienne, on retrouve les résultats principaux de l'arithmétique élémentaire. Gauss s'exprime ainsi, en parlant de l'usage des techniques de la théorie algébrique des nombres (qu'il appelle arithmétique transcendante) pour les polynômes « ... n'appartient pas par elle-même à l'arithmétique, mais ses principes ne peuvent être tirés que de l'arithmétique transcendante. Ce résultat pourra sembler aussi inattendu que les vérités nouvelles qui en dérivent, et qu'il verront, j'espère, avec plaisir »[1].

Son objectif est de trouver les racines du polynôme cyclotomique, c'est-à-dire de la forme Xn – 1, où n est un entier strictement positif. Comme ℚ[X] possède une structure analogue à celle des entiers, on y retrouve l'équivalent des nombres premiers, appelés ici facteurs irréductibles. Ce résultat se démontre exactement comme pour les nombres entiers. Ces facteurs portent le nom de polynômes cyclotomiques. La démonstration qu'il propose (et qui se trouve dans l'article associé) utilise un autre anneau de polynômes, sur le corps ℤ/p, où p désigne un nombre premier. Cette structure dispose encore d'une division euclidienne et donc d'une arithmétique analogue à celles nombres entiers.

Augustin Louis Cauchy utilise l'anneau ℂ[X] où ℂ désigne l'ensemble des nombres complexes pour présenter[2] une démonstration du dernier théorème de Fermat en 1847. Si l'anneau utilisé est analogue à celui des nombres entiers, il dispose de quelques propriétés supplémentaires, cet tout élément inversible possède n racines nièmes de l'unité, ce qui lui permet de conclure et d'ouvrir une porte à de nouvelles méthodes de démonstrations.

Théorème et définitions[modifier | modifier le code]

Dans le reste de l'article K désigne un corps commutatif, qui peut, par exemple être égal à ℚ celui des nombres rationnels, ℝ celui des réels ou ℂ celui des complexes. Le résultat principal du paragraphe découle d'un théorème :

Théorème de la division euclidienne des polynômes[3] — Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K, avec B non nul, il existe un unique couple (QR) tel que A est égal à B.Q + R et le degré de R est strictement plus petit que celui de B.

Ce théorème est à l'origine de quelques définitions :

Identité — La phrase : « A est égal à BQ + R et le degré de R est strictement plus petit que celui de B » est qualifiée d'identité de la division euclidienne.

Le couple (QR) de l'identité de la division euclidienne n'est unique que si l'on impose que le degré de R soit strictement plus petit que celui de B. Si A est égal à X3 - X2 + 1 et B à X2, uniquement la première égalité correspond à celle de l'identité de la division euclidienne, la deuxième possèderait un reste de degré égal à celui de B :

X^3-X^2+1=X^2(X-1) + 1\quad\text{et}\quad X^3 -X^2 + 1 = X^2(X+1) + (-2X^2 + 1)

Quotient et reste — Le polynôme Q est appelé quotient de la division euclidienne et R reste de la division euclidienne.

Le degré, qui sert à définir la division euclidienne est appelé stathme (cf. l'article Anneau euclidien).

Exemple et algorithme[modifier | modifier le code]

La démonstration proposée pour montrer l'existence d'un couple satisfaisant l'identité de la division euclidienne offre aussi un algorithme de calcul, analogue à celui de la division euclidienne dans les entiers. Illustrons-le sur un exemple[3], avec les notations précédentes :

A = X^5 -X^4 - X^3 +3X^2 -2X \quad\text{et}\quad B = X^2 -X + 1

Dans un premier temps, on calcule le couple de polynômes (P1, R1) de l'égalité (2). Le polynôme P1 est un monôme égal à X3 (trouvé en divisant le membre de plus haut degré de A (1.X5) par le membre de plus haut degré de B (1.X2)) et R1 vérifie l'égalité :

R_1 = A - P_1\cdot B= \underbrace {X^5 -X^4 - X^3 +3X^2 -2X}_{A} - \underbrace {X^3}_{P_1}\underbrace {(X^2 -X + 1)}_{B} = -2X^3 + 3X^2 - 2X

Ce que l'on écrit :

\left. \begin{matrix}
A      & =        &  X^5    &   -X^4 &    -X^3 & +3X^2 & -2X   \\ 	
-P_1.B & =        & -X^5    &   +X^4 &    -X^3 &       &       \\ 	
R_1    & =        &         &        &   -2X^3 & +3X^2 & -2X   \\ \end{matrix} \right| \begin{matrix}
X^2 & -X    & +1 & =& B  \\
X^3 &       &    & =& P_1\\
                         \\ \end{matrix}

Le même calcul est effectué sur R1 pour calculer le couple (P2, R2)

R_2 = R_1 - P_2\cdot B= \underbrace {- 2X^3 +3X^2 -2X}_{R_1} - \underbrace {-2X}_{P_2}\underbrace {(X^2 -X + 1)}_{B} = X^2

Ce qui permet de compléter :

\left. \begin{matrix}
A      & =        &  X^5    &   -X^4 &    -X^3 & +3X^2 & -2X  & +0 \\ 	
-P_1.B & =        & -X^5    &   +X^4 &    -X^3 &       &      &    \\ 	
R_1    & =        &         &        &   -2X^3 & +3X^2 & -2X  &    \\ 
-P_2.B & =        &         &        &   +2X^3 & -2X^2 & +2X  &    \\
R_2    & =        &         &        &         & +X^2  &      &    \\ \end{matrix} \right| \begin{matrix}
X^2 & -X    & +1 & =& B \\
X^3 & -2X   &    & =& P_1 + P_2\\
                         \\  \\  \\  \end{matrix}

Une dernière étape permet de conclure :

\left. \begin{matrix}
A=&  X^5    &   -X^4 &    -X^3 & +3X^2 & -2X  & +0 \\ 
  & -X^5    &   +X^4 &    -X^3 &       &      &    \\ 	
  &         &        &   -2X^3 & +3X^2 & -2X  &    \\ 
  &         &        &   +2X^3 & -2X^2 & +2X  &    \\
  &         &        &         & +X^2  &      &    \\ 
  &         &        &         & -X^2  & +X   & -1 \\
R=&         &        &         &       &  +X  & -1 \\  \end{matrix} \right| \begin{matrix}
X^2 & -X    & +1   & =& B \\
X^3 & -2X   & +1   & =& Q\\ \\  \\  \\  \\  \\ \end{matrix}

L'identité de la division euclidienne est maintenant établie :

\underbrace {X^5 -X^4 - X^3 +3X^2 -2X}_{A} = \underbrace {(X^2 -X + 1)}_{B} \underbrace {(X^3 -2X +1)}_{Q} + \underbrace {(X - 1)}_{R} .

Division selon les puissances croissantes[modifier | modifier le code]

Théorème et définition[modifier | modifier le code]

L'analyse utilise aussi une autre division, dite selon les puissances croissantes. Elle joue un double rôle, pour les fonctions rationnelles et les développements limités. Intégrer une fonction rationnelle est aisé une fois qu'elle est décomposée en éléments simples. L'algorithme de décomposition fait appel à la division selon les puissances croissantes. Pour calculer le développement limité d'une fonction, s'exprimant sous forme de fraction, la méthode la plus simple est parfois de calculer le développement limité du numérateur et du dénominateur. La division selon les puissances croissantes offre un développement limité de la fraction.

Le théorème établissant l'existence et l'unicité de cette division est un peu analogue au précédent, sur la division euclidienne :

Théorème de la division selon les puissances croissantes[4] — Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K. On suppose que le terme constant de B n'est pas nul et on note p un entier supérieur ou égal à 0. Il existe un unique couple de polynômes (QR) tel que A soit égal à BQ + Xp + 1R et tel que le degré de Q soit inférieur ou égal à p.

Le vocabulaire est le même que celui de la division euclidienne, on parle encore d'identité de la division selon les puissances croissantes, de quotient et de reste.

Exemple et algorithme[modifier | modifier le code]

La méthode de calcul est exactement la même que celle du paragraphe précédent, il suffit d'ordonner le polynôme dans le sens inverse. Illustrons le avec les polynômes suivants :

A = 1+3X+2X^2-7X^3,\quad B = 1+X-2X^2.

On obtient, si p est égal à 3 :

\left. \begin{matrix}
1&+3X&+2X^2&-7X^3 & &	\\ 	
 &+2X&+4X^2&-7X^3 & & 	\\ 	
 & &+2X^2&-3X^3 & &	\\ 	
 & & &-5X^3&+4X^4 &	\\ 	
 & & & &+9X^4&-10X^5 	
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
1&+X&-2X^2& \\
1&+2X&+2X^2&-5X^3 \\ \\ \\ \\ \end{matrix}

Ce qui s'écrit :

\underbrace{1 + 3X + 2X^2 - 7X^3}_A = \underbrace{(1 + X - 2X^2)}_B\underbrace{(1 + 2X + 2X^2 - 5X^3)}_Q + X^4\underbrace{(9 - 10X)}_R

Anneau commutatif unitaire intègre[modifier | modifier le code]

Absence de division euclidienne[modifier | modifier le code]

La démonstration de l'existence d'une division euclidienne dans un anneau de polynômes utilise le fait que le coefficient du monôme dominant (celui de plus haut degré) est inversible. Une question naturelle est celle de l'existence d'une division euclidienne pour l'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre comme celui des entiers. Un anneau est à l'image d'un corps, mais une propriété est manquante. Tous les éléments ne sont pas inversibles, comme 2 pour les entiers. On suppose toutefois que l'anneau est intègre, c'est-à-dire que si le produit de deux éléments a.b est nul, alors soit a soit b est nul. On suppose aussi qu'il est unitaire, c'est-à-dire qu'il existe un élément neutre pour la multiplication. Ici A désigne un anneau commutatif unitaire intègre, comme l'anneau ℤ des entiers (dans ce cas A[X] désigne l'anneau des polynômes à coefficients entiers) ou l'anneau ℝ[Y] des polynômes en une indéterminée Y à coefficients réels (dans ce cas, A[X] désigne l'anneau ℝ[X,Y] des polynômes en deux indéterminées).

Cas d'un anneau commutatif unitaire intègre — Si A contient au moins un élément a non nul et non inversible, l'anneau des polynômes à coefficients dans A ne dispose d'aucune division euclidienne.

Pour démontrer l'absence d'une division euclidienne (même non construite sur le degré du polynôme), on peut remarquer que tout anneau euclidien est principal donc de Bézout, c'est-à-dire qu'il vérifie la propriété de Bézout. Dire que A[X] vérifie cette propriété signifie que si P et Q sont deux polynômes qui n'ont aucun autre facteur commun que les éléments inversibles de l'anneau, il existe deux polynômes M et N tel que PM + QN soit égal à 1. L'existence de l'élément a non nul et non inversible va permettre de construire un contre exemple à l'identité de Bézout.

On considère les deux polynômes Q = X et le polynôme constant P = a. Ces deux polynômes n'ont pas d'autres diviseurs communs que les éléments inversibles de l'anneau. Les hypothèses de l'identité de Bézout sont bien vérifiées. On considère M et N deux polynômes à coefficients dans A et le polynôme R = aM + XN. L'évaluation en 0 donne R(0) = aM(0), qui est différent de 1 car a n'est pas inversible. Quel que soit le choix de M et N, l'identité de Bézout n'est pas vérifiée, ce qui montre l'absence de toute division euclidienne dans A[X].

Palliatifs[modifier | modifier le code]

L'analyse de la démonstration de l'existence d'une division euclidienne montre que :

Proposition — Soient N et M deux polynômes à coefficients dans A, avec M non nul. Si le coefficient dominant de M est inversible alors, il existe un unique couple (Q, R) satisfaisant à l'identité de la division euclidienne de N par M :

N = MQ + R \quad\text{avec}\quad \deg R < \deg M.

Dans le cas général, il existe encore un résultat qui s'applique :

Proposition — Soient N et M deux polynômes à coefficients dans A, avec M non nul. Il existe un élément non nul λ de A et un unique couple (Q, R) satisfaisant à l'identité de la division euclidienne de λN par M :

\lambda N = MQ + R \quad\text{avec}\quad \deg R < \deg M

Pour le démontrer, on construit K le corps des fractions de A, exactement comme on construit le corps des nombres rationnels sur l'anneau des entiers ou le corps des fractions rationnelles sur les polynômes. Les polynômes M et N peuvent aussi être vus comme des polynômes à coefficients dans K, de la même manière qu'un polynôme à coefficients entiers peut être aussi vu comme un polynôme à coefficients rationnels. Dans K[X], la division euclidienne est possible et il existe un couple Q1 et R1 de polynômes à coefficients dans K satisfaisant à l'identité de la division euclidienne de N par M et :

N = MQ_1 + R_1 \quad\text{avec}\quad \deg R_1 < \deg M

Soit λ un multiple des dénominateurs des coefficients de Q1 et R1, la multiplication de l'égalité précédente par λ montre que :

\lambda N = MQ + R \quad\text{avec}\quad \deg R < \deg M,\quad  Q = \lambda Q_1,\; R = \lambda R_1

Comme λ est un multiple des dénominateurs des coefficients de Q1 et R1, par définition de Q et R, ce sont bien des polynômes à coefficients dans A. L'unicité est une conséquence de celle de la division euclidienne dans un anneau de polynômes à coefficients dans un corps. L'égalité de la division peut être vue comme l'identité de la division euclidienne de λN par M dans K, l'unicité de cette identité montre celle recherchée.

Remarque 1 : Attention, ce n'est pas λ qui est unique, ce sont les polynômes Q et R, une fois λ choisi.
Remarque 2 : Si A n'est pas commutatif, il existe encore certains résultats, ils sont décrits dans l'article Anneau non commutatif de polynômes.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b C. F. Gauss, Recherches arithmétiques, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Éd. Courcier 1807 pages 429-489
  2. A. L. Cauchy, « Mémoire sur de nouvelles formules relatives à la théorie des polynômes radicaux, et sur le dernier théorème de Fermat », Compte rendu de l'Académie, t. XXIV, 1847, p. 516
  3. a et b M. Bercovier, Arithmétique dans K[X] de l'université Pierre-et-Marie-Curie.
  4. L'énoncé proposé ici se trouve à :V. & F. Bayart Division suivant les puissances croissantes par Bibm@th
  5. La démonstration proposée ici s'inspire de : B. Ycart, Division suivant les puissances croissantes, Laboratoire Jean Kuntzmann

Lien externe[modifier | modifier le code]

F. & V. Bayart Division euclidienne par Bibm@th

Références[modifier | modifier le code]