Distance d'un point à une droite

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La distance entre le point A et la droite (d ) est la distance AAh

En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d ) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal Ah sur la droite (d ). On peut ainsi écrire :

d(\mathrm{A}, (d)) = d(\mathrm{A}, \mathrm{A}_h)

Dans le plan[modifier | modifier le code]

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (xA ; yA), alors la distance entre A et (d ) est donnée par la formule

d(\mathrm{A}, (d)) = \mathrm{AA}_h = \frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

où |r | représente la valeur absolue du réel r.

En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d ), et si on note \vec n le vecteur normal à la droite (d ) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AM}} et \vec n est donnée par les deux expressions :

|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec n | = |a(x-x_\mathrm{A}) + b(y - y_\mathrm{A})|= |ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + c| ( ax + by = - c car M est un point de (d))
|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec n| = \mathrm{AA}_h \times ||\vec n|| = \mathrm{AA}_h\times \sqrt{a^2+b^2}.

En particulier,

  • si la droite a pour équation y = mx + p alors d(\mathrm{A}, (d))=\frac{|mx_\mathrm{A} - y_\mathrm{A} + p |}{\sqrt{1+m^2}}
  • si la droite a pour équation x = a alors d(\mathrm{A}, (d))=|x_\mathrm{A} - a| ;
  • si la droite a pour équation y = b alors d(\mathrm{A}, (d))=|y_\mathrm{A} - b|.

Dans l'espace[modifier | modifier le code]

Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (d ) passe par le point B et a pour vecteur directeur \vec u, la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule

d(\mathrm{A}, (d))= \frac{\left\|\overrightarrow{\mathrm{BA}} \wedge \vec u\right\|}{\|\vec u\|}

\vec BA \wedge \vec u représente le produit vectoriel des vecteurs \vec BA et \vec u et où \|\vec u\| représente la norme du vecteur \vec u.

En effet, si l'on note C le point de (d ) tel que \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec u alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions

\mathrm{A}_{\mathrm{ABC}} = \frac{1}{2} \left\|\overrightarrow{\mathrm{BA}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{BC}} \right\|
\mathrm{A}_{\mathrm{ABC}} = \frac{1}{2} \mathrm{BC} \times \mathrm{AA}_h.

Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (d ). Si la droite (d ) est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires et si l'on note d₁ et d₂ les distances du point A à ces deux plans, on a :

d(\mathrm{A}, (d))= \sqrt{{d_1}^2+{d_2}^2}.

En dimension n[modifier | modifier le code]

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur \vec u. Tout point M \in (d) peut être écrit ainsi

 M = B + t \vec u

La distance entre le point A et la droite (d) se trouve en calculant la distance AM avec M le point de (d) le plus proche de A. Cela revient à trouver t

 t = \frac{\overrightarrow{BA} . \vec u }{\| \vec u\|^2}

\overrightarrow{BA} . \vec u représente le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{BA} et  \vec u . On a donc

d(A,(d)) = \|A-B-t \vec u\| = \left\|\overrightarrow{BA}-\frac{\overrightarrow{BA} . \vec u }{\| \vec u \|^2} \vec u \right\|

Démonstration :

Cela revient à trouver M qui minimise AM. Minimiser AM^2 revient au même (la fonction carrée est strictement croissante du côté positif).

 AM^2 = (\overrightarrow{AB}+t\vec u).(\overrightarrow{AB}+t\vec u)

On cherche  \frac{dAM^2}{dt} = 0 , pour trouver ce minimum.

 \frac{dAM^2}{dt} = 2 \vec u . (\overrightarrow{AB}+t\vec u) = 0
 2 \vec u . \overrightarrow{AB} + 2 t \vec u . \vec u = 2 \vec u . \overrightarrow{AB} + 2 t \| \vec u \| ^2 = 0
 t = \frac{\overrightarrow{BA} . \vec u }{\| \vec u\|^2}

Voir aussi[modifier | modifier le code]