Discussion:Variété lisse

--==Un espace topologique qui est localement difféomorphe à== Malgré l'ajout d'aujourd'hui, j'insiste : même en dimension finie, je trouve que la phrase ci-dessus n'a pas de sens. Sur un espace topologique, l'existence d'homéos locaux (donc aussi de difféos locaux) avec Rⁿ ne suffit pas à définir une structure de variété lisse de dimension n. Anne, 3/7/15, 19h42

Deux espaces $\mathbb {R} ^{n}$, $\mathbb {R} ^{m}$ sont homéomorphes si, et seulement si $n=m$. Dans ce cas, un isomorphisme linéaire $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ est un difféomorphisme, donc $\mathbb {R} ^{n}$ et $\mathbb {R} ^{m}$ sont difféomorphes. La réciproque est évidemment vraie. Soit X un ensemble, U un sous-ensemble de X et $\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ une bijection $U\rightarrow W$ où W est un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$. Alors $c=(U,\varphi ,\mathbb {R} ^{n})$ est une carte de dimension n de X, par définition, et U est son domaine. Si je définis sur X la topologie dont les ouverts sont les domaines des cartes de X, j'obtiens un espace topologique et chaque $\varphi :U\rightarrow \varphi (U)$ est un homéomorphisme. Donc, X est localement homéomorphe à $\mathbb {R} ^{n}$ et X est une variété topologique.

Disons maintenant que deux cartes $c=(U,\varphi ,E)$ et $c'=(U',\varphi ',E')$ de X sont compatibles de classe $C^{p}$ ($0\leq p\leq \infty$) lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• $\varphi \left(U\cap U'\right)$ (resp. $\varphi '\left(U\cap U'\right)$) est ouvert dans E (resp. $E'$).
• l'application $\varphi \circ \varphi '$ (resp. $\varphi '\circ \varphi$) de $\varphi '\left(U\cap U'\right)$ sur $\varphi \left(U\cap U'\right)$ (resp. de $\varphi \left(U\cap U'\right)$ sur $\varphi '\left(U\cap U'\right)$) est de classe $C^{p}$.

Alors, X, munie d'un atlas de cartes compatibles, est par définition une variété de classe $C^{p}$, localement $C^{p}$-difféomorphe à $\mathbb {R} ^{n}$.

Donc, avec la seule notion d'homéomorphisme, on ne parviendra à définir que des variétés topologiques. Pour parler de variété différentielle, il faut bien parler de difféomorphisme. C'est pourquoi je dis, par exemple, qu'une variété (différentielle) banachique est localement difféomorphe à un espace de Banach. Si je dis qu'une variété banachique est localement homéomorphe à un espace de Banach, cela sous-entend que je ne parle que de variétés topologiques banachiques. Je ne sais pas comment être plus clair... Mais tu auras peut-être une meilleure idée.--Otto Cyber (discuter) 4 juillet 2015 à 13:04 (CEST)

A la relecture, je comprends ton problème : il faut en effet (je viens de le faire) supprimer espace topologique.--Otto Cyber (discuter) 4 juillet 2015 à 13:12 (CEST)