Discussion:Tore d'application

Groupe fondamental

Je rajouterais bien : Le groupe fondamental du tore d'un homéomorphisme $f$ de $X$ est le produit semi-direct par ℤ du groupe fondamental de $X$, l'action de ℤ étant induite par $f$. Mais c'est au pif et je n'ai pas de source. Anne (d) 4 février 2012 à 19:36 (CET)

Je n'ai pas de source qui l'explicite mais il est clair que le tore d'application d'un homéomorphisme induit une fibration $X\to \mathrm {T} _{f}\to \mathrm {S} ^{1}$. Dès lors que l'espace $X$ est connexe par arcs, cette fibration donne une suite exacte courte $1\to \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(\mathrm {T} _{f})\to \mathbb {Z} \to 1$ avec une section, d'où ta formulation. Le résultat ne tient plus si $X$ n'est pas connexe par arcs (cf par exemple la tore de la permutation de deux points). Ambigraphe, le 5 février 2012 à 13:54 (CET)