Discussion:Topologie de l'ordre

Topologie stricte à droite

Bonjour, dans la section "Topologie stricte à droite" il est dit que dans un ensemble totalement ordonné, les intervalles de la forme donnée forment une base d'une topologie. Mais si l'on prend l'ensemble {0;1} muni de l'ordre usuel, on constate que {0;1} n'est pas une union de ces intervalles! Cette famille d'ensembles ne peut donc être une base... Par contre si l'on suppose que l'ensemble totalement ordonné n'a pas de plus petit élément, cela marche!--Helv (d) 18 juin 2012 à 21:52 (CEST)

Topologie induite

Bonjour et merci d'avoir modifié. Il y a une autre erreur dans cet article: dans "Exemples" il est dit "Si X est une partie d'un ensemble ordonné E, la topologie induite sur X par la topologie de l'ordre sur E n'est autre que la topologie de l'ordre induit sur X par l'ordre de E" ce qui est faux comme indiqué sur la page anglaise du wiki: si l'on prend E=R muni de l'ordre usuel et X={-1} U ]0;1] on voit que {-1} est un ouvert pour la topologie induite mais pas pour la topologie de l'ordre sur X.--Helv (d) 20 juin 2012 à 01:57 (CEST)

Tout à fait; voilà qui est corrigé--Dfeldmann (d) 20 juin 2012 à 05:49 (CEST)

Réf. pour la topologie d'un ordre non total ?

et pourquoi $]-\infty ,+\infty [$ n'est-il pas lui aussi considéré comme un « intervalle ouvert » ? Anne (discuter) 11 septembre 2013 à 23:37 (CEST)

+ même pour un ordre total, il y a un problème : si E = {x}, le seul « intervalle ouvert » serait ∅ donc ça ne forme pas une base d'une topologie sur E comme affirmé dans l'article depuis sa création. Anne (discuter) 12 septembre 2013 à 00:36 (CEST)

Même problème pour un ensemble à deux éléments, non? Et le cas à trois éléments ({1,2,3}) n'est guère fameux non plus : les seuls intervalles ouverts sont ∅ et {2}, on n'obtient donc pas la topologie discrète à laquelle on s'attendrait... Je le laisse, pour montrer qu'il ne faut pas appuyer sur envoyer sans lire la définition d'abord... --Dfeldmann (discuter) 12 septembre 2013 à 09:02 (CEST)

Sur le "réf nécessaire" : je ne vois pas vraiment le problème, si E est un ensemble ordonné les intervalles ouverts sont des éléments de P(E) et à ce titre engendrent toujours une topologie (dont ils sont une prébase)... Si le souci est de savoir si dans la littérature on définit aussi des topologies de l'ordre, droite ou gauche sur des ensembles partiellement ordonnés, bien sûr que oui... exemple Laurent Schwartz Analyse 1 Théorie des ensembles et topologie Hermann p 140 141.

Au passage parler de topologie pour un ensemble partiellement ordonné ne sert pas exclusivement de prélude informel pour ensuite travailler sur un ordre total ! Un exemple artisanal :

Prenons $R^{n}$ la topologie de n'importe quelle norme coïncide avec topologie produit n fois de l'ensemble R, mais aussi avec la topologie de l'ordre produit (qui est partiel et donne une topo gentille), laquelle est incluse strictement dans la topologie de l'ordre lexicographique (qui est total et donne une topo a priori non gentille). On peut s'amuser à montrer alternativement que les fermés bornés en dimension finie sont des treillis achevés donc quasi-compacts.

Sur le E intervalle ouvert, là encore aucun problème, il ne faut pas oublier que quand on prend une prébase, on clotûre par intersection finie ou vide et que l'intersection indexée par le vide, c'est E.

--SheldorII (discuter) 25 mai 2014 à 06:41 (CEST)

Merci pour la réf, que je viens de parcourir : elle m'a permis, outre de sourcer une déf. même naturelle, d'en rectifier une sous-déf. qui ne l'était pas, donc de simplifier mon bricolage de septembre 2013, où je réparais une incohérence (qui ne portait pas sur l'intersection mais sur la réunion) en m'efforçant de ne pas toucher à la définition bizarre. Maintenant que E fait partie, source à l'appui, des intervalles ouverts, tout va pour le mieux. Anne (discuter) 28 mai 2014 à 21:10 (CEST)

Scrupule

Avons-nous vraiment le droit (i.e. ≥ 1 source) de baptiser intervalles ouverts exclusivement les 4 formes ]x, y[, ]x, +∞[ ou ]–∞, x[ et ]–∞, +∞[ avec x, y dans E ? Par exemple si E = ℚ, ça exclut l'ensemble des rationnels de carré < 2. Anne 9/9/14 19h40