Discussion:Théorème des quatre carrés de Lagrange

Bonjour à tous,

Est-ce que quelqu'un d'entre vous pourrait me proposer une démonstration assez simple de ce théorème, je lui en serait très reconnaissant ....

CB — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 84.5.23.97 (discuter), le 7 septembre 2006.

Preuve classique

1. On ne peut pas imposer que y_i soit compris entre –m/2 + 1 et m/2 (inclus) : par exemple si m = 5 ça n'autorise que 4 valeurs. Il faut remplacer –m/2 + 1 par (–m + 1)/2.
2. Le raisonnement est direct : pas d'absurde ni de descente infinie.
3. Enfin mais surtout : dans le revert (partiel) de ma dernière intervention soupçonneuse, le commentaire de diff était : « r ne peut être ni 0 ni m (p diviserait m). » Désolée mais je ne comprends toujours pas :

• r = 0 est, heureusement, tout-à-fait possible : cela signifie que les y_i sont nuls, i.e. x_i = t_im. Alors, mp = x₁² + x₂² + x₃² + x₄² devient p = (t₁² + t₂² + t₃² + t₄²)m donc (puisque 0 < m < p) m = 1 et on est contents.
• r = m aussi, malheureusement : cela signifie que les y_i sont égaux à m/2, i.e. x_i = t_im/2 avec t_i impair. Alors, mp = x₁² + x₂² + x₃² + x₄² devient 2p = (t₁² + t₂² + t₃² + t₄²)(m/2) donc (puisque 0 < m < p et que m est pair mais minimum donc différent de 4) m = 2 et on est coincés (moi, en tous cas). est impossible mais ce n'est pas immédiat (22/7, 1h36)

Anne (discuter) 21 juillet 2014 à 23:59 (CEST)

1. D'accord, désolé.

2. D'accord aussi, mais c'est dommage. La formulation n'a pas besoin d'être très différente pour avoir un exemple de descente infinie.

3. (a) Si r=0, les yi sont 0, les xi sont donc divisibles par m, les xi^2 par m^2, donc mp est divisible par m^2: pas possible.

(b) Si r=m, les yi sont effectivement m/2, et effectivement en particulier m est pair. Mais alors il suit que les xi sont congrus à ±m/2 modulo m, et donc les xi^2 à m^2/4 modulo m. Donc mp=m^2: pas possible. Sapphorain (discuter) 22 juillet 2014 à 00:54 (CEST)

2. Le raisonnement par l'absurde ne fait, lui aussi, qu'alourdir inutilement.

3.(a) « mp est divisible par m^2 » possible au contraire : m = 1, cqfd

3.(b) « Donc mp=m^2 » modulo m, ce qui n'avance à rien.

r = m est effectivement impossible mais ce n'est pas immédiat : cela signifierait que m est pair et x₁1 + x₂i + x₃j + x₄k = mβ avec β entier de Hurwitz à composantes « demi-entières » donc (cf. fin de l'« autre preuve ») il existe alors un autre β, à composantes entières, tel que mp = ║mβ║² donc m (pair) diviserait p. On peut bien sûr le réécrire sans parler d'entiers de Hurwitz mais c'est un peu du TI. (22/7, 16h41)

Anne 22/7/14 à 1h36

3(b): J'ai fait une faute de frappe ci-dessus: xi^2 est congru à m^2/4 mod m^2, d'où mp à m^2 (ou 0) mod m^2. Ce qui n'est pas possible.Sapphorain (discuter) 22 juillet 2014 à 01:54 (CEST)

2: Je ne trouve pas. Au contraire: mon assertion erronée "pour un entier r compris, au sens strict, entre 0 et m" n'a plus besoin d'être amendée en tenant compte du cas m=1. Sapphorain (discuter) 22 juillet 2014 à 02:04 (CEST)

… Je réalise par ailleurs que la rédaction que j'avais complétée le 29 juin dernier était bien une preuve par l'absurde, qui a été par la suite transformée en une preuve directe: mon assertion "pour un entier positif r inférieur à m" n'était donc à l'origine pas erronée; elle l'est devenue après. Sapphorain (discuter) 22 juillet 2014 à 05:38 (CEST)

3(b) : OK !

2 : Oui, je me demandais pourquoi tu disais « erronée » plutôt que « non argumentée ». C'est dans ma toute dernière modif que j'avais voulu simplifier la rédaction. Que ce soit par l'absurde ou par preuve directe, il (me) manquait ton argument pour 3(b). Plus explicitement, ce point serait peut-être à détailler, par charité, encore un peu plus que dans l'une ou l'autre de ces deux rédactions :

Preuve par l'absurde

Soit m le plus petit entier strictement positif tel que mp est une somme de quatre carrés, x₁² + x₂² + x₃² + x₄². D'après la preuve du lemme précédent, m est strictement inférieur à p. Montrons qu'il est égal à 1, par l'absurde : supposons qu'il est plus grand que 1.

Pour cela, on considère pour chaque x_i l'entier y_i qui lui est congru modulo m, et qui est compris entre (–m + 1)/2 et m/2 (inclus). Il suit que y₁² + y₂² + y₃² + y₄² = mr, pour un entier r compris entre 0 et m (strictement, sinon mp serait divisible par m²).

Finalement, une autre utilisation de l'identité des quatre carrés d'Euler montre que mp mr = z₁² + z₂² + z₃² + z₄², où chacun des z_i est divisible par m. Il suit que (pour w_i = z_i/m), w₁² + w₂² + w₃² + w₄² = rp. Ceci contredit la minimalité de m, qui doit donc être 1.

Preuve directe

Soit m le plus petit entier strictement positif tel que mp est une somme de quatre carrés, x₁² + x₂² + x₃² + x₄². D'après la preuve du lemme précédent, m est strictement inférieur à p. Montrons qu'il est égal à 1.

Pour cela, on considère pour chaque x_i l'entier y_i qui lui est congru modulo m, et qui est compris entre (–m + 1)/2 et m/2 (inclus). Il suit que y₁² + y₂² + y₃² + y₄² = mr, pour un entier naturel r inférieur à m (strictement, sinon m serait pair et diviserait p).

Finalement, une autre utilisation de l'identité des quatre carrés d'Euler montre que mp mr = z₁² + z₂² + z₃² + z₄², où chacun des z_i est divisible par m. Il suit que (pour w_i = z_i/m), w₁² + w₂² + w₃² + w₄² = rp, ce qui, par minimalité de m, prouve que r est nul, si bien que mp est divisible par m² donc m = 1.

Anne 22/7/14 à 16h41

Finalement je préfère quand même la version par l'absurde, que je trouve plus claire. Tu me diras que c'est très subjectif. Mais il me semble que de cette façon on règle directement leur compte aux cas r=0 et r=m, dans le paragraphe central. Tandis qu'avec l'argument direct, une fois qu'on a déduit r=0 à la fin, on doit revenir au calcul d'avant pour en déduire que m=1. (Pour la charité: j'ai ajouté un petit détail supplémentaire à la preuve, ainsi qu'un nouveau renvoi à l'identité des 4 carrés). Sapphorain (discuter) 22 juillet 2014 à 20:47 (CEST)

Généralisation du lemme préliminaire

Bonsoir Anne. Je ne suis pas convaincu par le choix que tu as fait de la référence pour la généralisation du Lemme initial (C.D. Olds et al). D'une part l'affirmation faite avant l'énoncé de leur Lemma 8.2, "All direct elementary proofs of Lagrange's theorem require the following lemma", est manifestement fausse. D'autre part, ils ne le démontrent pas ("We will take this lemma for granted, since its proof would draw us into deep waters"), mais renvoient à leur référence [4], qui n'est autre que … The Higher Arithmetic de Davenport! Sapphorain (discuter) 23 juillet 2014 à 22:16 (CEST)

Bonjour, je ne suis pas convaincue non plus mais je n'ai pas trouvé mieux : me suis contentée de ça parce que la p. 124 de Davenport à laquelle ça renvoie m'est inaccessible. C'est vrai que l'affirmation est fausse (puisque le cas premier impair suffit) mais ils donnent au moins l'énoncé (pour qui en douterait) et des indications sommaires sur la méthode. On pourrait peut-être donner nous-mêmes des indications à la fois plus judicieuses (pas besoin d'induction) et plus explicites, mais tant qu'on n'a pas mieux pour sourcer l'énoncé, il faut garder cette réf à mon avis. Anne 24/7/14 à 14h31

Bonjour. Je viens de consulter le Davenport. La p. 124 ne contient rien concernant le Lemma 8.2 de Olds et al, elle ne contient qu'une brève introduction historique. Ni d'ailleurs le reste du livre. Les notes concernant le Chap. 5 par exemple (p.127-128) ne mentionnent rien, ce qui me semble assez suspect. Je pense qu'ils (Olds et al) se sont trompés de numéro de référence. Ça n'est pas [4]. Ça n'est pas [5] non plus. Je n'ai pas encore mis la main sur [3], qui a été relégué dans une cave de notre bibliothèque, mais je doute que ce soit ça, c'est une "Gazette".

D'ailleurs plus je regarde ce passage de leur livre, moins je suis convaincu par la pertinence de ce qu'ils exposent: ils commencent (p.114) par écrire "We will state and prove Lagrange's Theorem". Mais ensuite ils énoncent leur Lemme 8.2 dont ils disent qu'il est trop difficile pour qu'ils le démontrent. (Et dont ils disent qu'il est requis pour la preuve, ce qui est faux). Mais le pire, c'est qu'ils UTILISENT réellement dans la suite ce lemme beaucoup trop fort, dans toute sa force, pour démontrer le Théorème de Lagrange. C'est un peu comme si l'on utilise le théorème des nombres premiers pour démontrer le théorème d'Euclide sur l'infinitude des nombres premiers! Bref, je pense qu'il faut se débarrasser au plus vite de cette référence inutile et suspecte. Sapphorain (discuter) 25 juillet 2014 à 15:09 (CEST)

Ah oui tiens, je n'avais pas lu leur preuve. En fait c'est celle que CGolds avait mise dans son Géométrie des nombres (que j'ai ajouté ici en article connexe). C'est là que j'avais trouvé cet énoncé et cette ref (et, de fil en aiguille, Davenport). C'est une preuve différente mais pas si scandaleuse. Enfin bon, je te laisse faire au mieux. Anne (discuter) 25 juillet 2014 à 15:53 (CEST)

… Voilà, j'ai finalement mis la main sur [3] de Olds et al.: ils s'étaient bien trompés de numéro de référence ([4]), et ils se référaient bien à [3]: un petit article de Harold Davenport dans Math. Gazette. Il ne donne pas non plus la preuve, mais avec ses indications, il est vraiment facile de la reconstruire: un joli exercice élémentaire pour un cours de théorie des nombres. (Donc je suis d'autant plus perplexe quand je relis Olds et al., "We will take this lemma for granted, since its proof would draw us into deep waters": pour écrire une chose pareille, il faut être particulièrement peu versé dans le sujet, et n'avoir rien compris aux indications de Davenport). Donc j'ai remplacé la référence Olds et al. par Davenport. Sapphorain (discuter) 13 août 2014 à 01:00 (CEST)

Olds et al. avaient donc reproduit fidèlement les indications que tu as trouvées dans [3], mais c'est pas plus mal de citer plutôt l'original, même s'il est tout aussi sommaire. J'ai écrit plus haut (24/7/14 à 14h31) « On pourrait peut-être donner nous-mêmes des indications à la fois plus judicieuses (pas besoin d'induction) et plus explicites ». Je ne retrouve plus ce que j'avais en tête pour éviter cette induction, préconisée par Davenport lui-même d'après ton enquête, mais c'est peut-être ceci : soient a, b tels que p divise 1 + a² + b², alors a et b ne sont pas tous deux divisibles par p. Par exemple, a ne l'est pas. D'après le lemme de Hensel, il existe alors c (congru à a mod p) tel que pⁿ divise 1 + c² + b² (il y a tout de même de l'induction, mais encapsulée dans ce lemme). Anne, 13/8/14, 22h48

Oui, c'est un lien intéressant. Mais comme tu dis, on n'évite pas vraiment une induction: même si l'on utilise la version simple du lemme de Hensel sur la page anglaise, permettant de passer de la division par pⁿ à celle par pⁿ⁺¹ (ou p²ⁿ), on utilise en guise de pas d'induction un résultat qui se démontre similairement (mais de façon plus compliquée!) à l'attaque directe sur 1+a²+b²; et il me semble que si l'on utilise des versions plus élaborées du lemme de Hensel, on prend un gros marteau pour écraser une petite mouche. Sapphorain (discuter) 14 août 2014 à 10:47 (CEST)

Pour montrer qu'« il existe c tel que pⁿ divise 1 + c² + b² », Résidu quadratique#Modulo une puissance d'un nombre premier (avec là aussi une récurrence encapsulée) est plus élémentaire, mais le plus simple est effectivement Gauss, Recherches arithmétiques (lire en ligne), art. 101. Anne, 14/8/14, 17h02

Bravo: Gauss a mon suffrage! C'est le plus simple. Et le raisonnement par induction (où on montre qu'on peut prendre c=a+ip^n-1 pour un i) est essentiellement équivalent à ses considérations.Sapphorain (discuter) 15 août 2014 à 12:49 (CEST)

Algorithme

L'algorithme suivant est-il sourçable ? (sinon, je me propose de le rédiger sur arXiv, et si oui, de citer une source). Il mixe les idées de La preuve classique avec les outils de la Démonstration basée sur les quaternions de Hurwitz, évitant ainsi de peiner (je parle pour moi) sur le cas r = m, qui par cette méthode n'arrive jamais.

On pose w₀ = l'entier de Hurwitz 1 + a₀i + b₀j fourni par le Lemme préliminaire, m₀ = ║w₀║²/p, puis, tant que m_k > 1 :

w_k+1 = 1 + a_k+1i + b_k+1j = w_k – m_ku_k avec a_k+1, b_k+1 entiers inférieurs ou égaux à m_k/2 en valeur absolue (et u_k de la forme ci + dj avec c et d entiers) et m_k+1 = ║w_k+1║²/m_k. La suite des entiers m_k > 0 est strictement décroissante donc finie et d'après l'algorithme, le dernier terme m_r vaut 1.

On définit (après, ou en parallèle) une suite v par : v_-1 = p, v₀ = w₀, v_k+1 = v_k–1 – v_ku_k. Ainsi, ║v_k║² = ║w₀…w_k/(m₀…m_k–1)║² = pm_k, en particulier ║v_r║² = p.

Anne 13/8/14

Et avec 4 carrés non nuls ?

Quels sont les entiers sommes de 4 carrés non nuls ? Anne 18/12/18

 Anne Bauval :Les entiers qu'on ne peut écrire comme somme de quatre carrés non nuls sont 0,1,2,3,5,6,8,9,11,14,17,24,29,32,41,56,96 ...(suite A000534 de l'OEIS) ; on trouvera là des références (essentiellement J. H. Conway, The Sensual (Quadratic) Form, M.A.A., 1997, p. 140. et E. Grosswald, Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, NY, 1985, Théorème 3, pp. 74-75.) et pas mal d'informations, dont la plus importante est la liste complète de ces exceptions, à savoir 0, 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41, et les nombres de la forme $2\times 4^{m}$, $6\times 4^{m}$ et $14\times 4^{m}$ pour $m$ entier positif ou nul.--Dfeldmann (discuter) 18 décembre 2018 à 16:00 (CET)