Discussion:Sphère de Riemann

C'est peut-être très interressant, mais que veulent dire les symboles P, C et R ?

En fait c'est hermétique car il n'y a pas les clefs ou le pointeur vers les clefs de lecture.

Y a-t-il un matheux pour fournir ces éléments indispensables ?

Meszigues 04:17 fév 26, 2003 (CET)

Ben... je ne suis pas un grand matheux, mais:

• $\mathbb {R}$, c'est en général l'ensemble des réels (ça a l'air de coller)
• $\mathbb {C}$, c'est en général l'ensemble des complexes (c'est sûr, ca colle)
• et enfin $\mathbb {P}$ semble être la projection qui est la fameuse fonction qui transforme $\mathbb {C}$ en sphère.

Comme cet object n'est en pratique pas utilisé avant un niveau assez avancé de mathématiques, je pense qu'il faudrait de nombreuses pages intermédiaires pour clarifier les choses (il y a bien une page sur les nombre complexe, mais pas sur l'ensemble $\mathbb {C}$).

Jerome.Abela 09:19 fév 26, 2003 (CET)

En fait ce fameux $\mathbb {P}$ est l'opérateur qui transforme un espace vectoriel en l'espace projectif associé, cf. Géométrie projective.

Qu'est-ce que la projection stéréographique

j'ai un (léger désaccord) avec la dernière modification : la dénomination de projection stéréographique vient de la cartographie (cf. par exemple l'encyclopedia universalis ; cela pourrait d'ailleurs être dit dans l'article) et donc l'espace source est la sphère (- un point). Jaclaf (d) 22 février 2011 à 09:38 (CET)

Dévilès °o° 6 déc 2004 à 06:13 (CET)

Liens interwikis

La sphère de Riemann n'est pas la surface de Riemann !

Je corrige les liens lais c'est un peu du n(importe quoi tout ça...

Dévilès °o° 6 déc 2004 à 06:19 (CET)

Modifs du 3/6/2007 et du 27/5/2010

Je crois faux de dire que dans la version antérieure au 3/6/07 l'image n'était pas rigoureuse. Il aurait suffi de remplacer dans le texte de l'article "plan équatorial" par "plan tangent au pôle sud". Cela dit, la nouvelle image est à la fois bien plus jolie et chargée de sens. Malheureusement sa légende a repris l'erreur de la précédente : on y parle de projection stéréographique du plan sur la sphère, au lieu, comme d'hab, de la sphère sur le plan. Serait-il possible d'y remédier, et d'écrire sur le dessin A=P(α) (et tout à l'avenant, y compris dans la légende), au lieu de l'inverse ?

C'est peut-être ce qui a déclenché les modifs d'aujourd'hui, qui ajoutent à la confusion. De plus je trouve que la phrase "la sphère privée du point est homéomorphe au plan" avait un sens mathématique simple et précis, contrairement à la nouvelle version "la sphère est homéomorphe au plan complété du point à l'infini", équivalente à (et aussi imprécise que) la phrase qui la suivait et la suit toujours "on passe du plan à la sphère en ajoutant un pôle ..." (ou "un point..."). Anne Bauval (d) 28 mai 2010 à 00:05 (CEST)

Comme il y a bijection entre un point du plan (hors infini) et la sphère (hors les pôles), je ne comprends pas bien pourquoi c'est plus faux, ou c'est plus juste, de parler de projection du plan sur la sphère plutôt que de la sphère sur le plan. En ce qui concerne le schéma, et la légende, il est issu en droite ligne de la présentation que Roger Penrose en fait dans ses différents livres. Je cite Penrose : Les points de la sphère sont associés aux points du plan par ce que l'on appelle une projection stéréographique a partir du pôle. "Associé" est neutre en ce qui concerne le sens de la projection, ce qui semble juste, mais il faut bien prendre un parti dans le schéma, et pourquoi pas celui-ci ?

S'il y a une importance à présenter la projection dans un sens plutôt que dans l'autre, il serait plus qu'intéressant d'en parler dans l'article.

En ce qui concerne les modifications récentes, elles ne me semblent pas heureuses également. LE POINT à l'infini est lui projeté sur le point P me semble fortement inexact car il y a une infinité de points à l'infini. Idem pour le plan complèté DU POINT à l'infini. --Jean-Christophe BENOIST (d) 28 mai 2010 à 01:12 (CEST)

heu... D'une part, "projection" a, en général, le sens affine ou projectif usuel : une projection est une transformation linéaire, ou affine, ou projective (ce qui revient au même, avec les identifications convenables) et donc a forcément pour image un plan (ou une droite, ou un plan projectif, etc.) Donc, la bijection, oui, on peut la prendre dans le sens qu'on veut, mais la projection stéréographique, non. D'autre part, dans ce contexte, le plan est identifié à C, de dimension 1, et on lui adjoint le point à l'infini unique, noté justement oo ; ta version parlerait, elle, du plan projectif réel possédant toute une droite de l'infini, mais on ne parle pas de la même chose.--Dfeldmann (d) 28 mai 2010 à 01:31 (CEST)

Oui, ce point à l'unique infini du plan est clair. "Associé" est neutre ok. Mais si on parle de projection, donc d'une application, la tradition (cartographique, sans doute) est que la projection stéréographique se fait "toujours"(j'ai trouvé une exception, dans une feuille de TD en ligne, mais bon ...) de la sphère vers le plan (un petit coup de Google suffit à s'en convaincre, voir aussi projection stéréographique, et le début de cet article et d'autres, dans Images des maths). On est obligés de s'y plier sur WP, même si on ne sait pas disserter sur "l'importance" de ce choix. Anne Bauval (d) 28 mai 2010 à 02:25 (CEST)

OK, je vois. C'est important par rapport à la convention du terme "projection stéréographique". Je vais essayer de retrouver le source de cette image qui doit traîner dans un coin de mon DD . Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 28 mai 2010 à 10:43 (CEST)

Une petite remarque à cette discussion intéressante : Le plan de Gauss représentant $\mathbb {C}$ n'a qu'un seul point à l'infini. Dans le cas d'une fonction méromorphe , le pôle est une correspondance entre un nombre complexe et l'infini. Ce point à l'infini n'est ni dans la direction réelle ni dans la direction imaginaire , il est en fait n'importe où. C'est le même problème qu'avec la projection stéréographique du pôle sur le plan de Gauss ou droite projective complexe , la droite de projection qui part du pôle n'a pas de direction privilégiée.Et il n'y a qu'un seul point à l'infini et qu'une seule droite de projection car il s'agit d'une bijection.Titi2 (d) 28 juin 2010 à 11:48 (CEST)

Représentation de la shère de Riemann

Il me semble que l'on a inversé les définitions.La projection stéréographique projette un point de la sphère de Riemann sur la droite projective complexe (ou plan de gauss).Par contre sur le dessin la représentation du point B ne me paraît pas correcte.Et la je ne sais pas comment le modifierTiti2 (d) 30 juin 2010 à 16:44 (CEST)

Le dessin est généré par un outil, et il ne peut être modifié qu'en utilisant l'outil. Je dois avouer que je fais passer cette tâche en priorité faible, mais j'ai toujours l'intention de modifier l'image dans le sens que vous préconisez. Le plus dur est de retrouver le source.

Mais bon, fondamentalement c'est un homéomorphisme, la projection c'est juste une image commode pour visualiser l'homéomorphisme, pas le fond des choses. Donc, fondamentalement, il n'y a pas de sens préférentiel. Est-ce que trop insister sur ce point ne risque pas de donner l'impression que cela a fondamentalement une importance ? C'est parce-que je pense cela que la priorité de cette tâche est faible dans mon esprit, mais j'ai peut-être tort ? Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 30 juin 2010 à 18:02 (CEST)

On était tombés d'accord (cf discussion plus haut) et j'avais compris qu'il faudrait patienter, donc qu'il était vain de toucher au texte d'ici-là. Au final, c'est juste entre nous qu'on "insiste" : ça ne transparaîtra pas dans l'article, et il sera plus conforme aux conventions usuelles. Une autre solution serait de revenir à l'ancienne image, mais celle-ci est si belle ! Anne Bauval (d) 30 juin 2010 à 21:06 (CEST)

J'ai retrouvé le source de l'image. Je l'ai publié sur Common. Il est loin d'être optimal, car c'est un "pot pourri" de plusieurs sources de plusieurs images dont je me suis inspiré, j'ai presque honte de le publier. Mais comme cela il y a un peu plus de chances que l'image puisse être améliorée par d'autres. Mais bon; le plus dur est fait. Je m'y colle bienôt : promis ! --Jean-Christophe BENOIST (d) 30 juin 2010 à 21:19 (CEST)

Une petite question : j'aurais envie de faire une version de l'image "neutre", avec A et A', B et B' (je mettrais les "prime" sur le plan tout de même) sans montrer qui est projeté sur qui, et sans flèche sur les droites de projections. Qu'en pensez-vous ? --Jean-Christophe BENOIST (d) 1 juillet 2010 à 12:55 (CEST)

Moi ça me convient parfaitement, et encore mieux si c'est toi qui remanies les textes pour que tout colle bien. Anne Bauval (d) 1 juillet 2010 à 13:13 (CEST)

Fondamentalement non il n'y a pas de sens préférentiel mais lorsqu'on parle de projection là on va de la sphère au plan.Ok pour A et A'.Bon travail.Titi2 (d) 2 juillet 2010 à 10:31 (CEST)

Je me suis enfin remis à l'amélioration de l'image. J'ai déjà fait disparaitre les flèches, pour ne pas induire un sens particulier pour la projection (en plus c'est un sujet qui revient à l'actualité à ce que je vois). Contrairement à ce que j'ai dit ci-dessus, je n'ai pas fait disparaitre les P(A) pour A' etc.. La raison est que je ne sais pas quoi faire pour $P(\infty )$ et P(0), je ne peux pas mettre $\infty '$ et 0' !! Donc pour le moment, je laisse comme cela, mais je suis à l'écoute de vos suggestions. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 22 février 2011 à 13:48 (CET)

Épisode 5 de Dimensions

Il serait intéressant de faire un lien avec une représentation visuelle de la Sphère se Riemann. J'ai découvert sur Youtube une série de vidéos intitulée "Dimensions - A Walk Through Mathematics", série peu visionnée, donc peu connue. L'épisode 5 "Complex Numbers" concerne comme son nom l'indique les nombres complexes et explique à la perfection (et de façon visuelle) la Sphère de Riemann.

j'espère avoir contribué a cet article dans une moindre mesure, et invite ceux qui sont intéressés a visionner la série de vidéos (depuis le chapitre 1). — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 77.193.201.201 (discuter), le 2/9/11. (transféré de Discussion:Sphère de Riemann/À faire)

Cette série de vidéos est connue et traduite du français. Les 2 dernières minutes de cet épisode 5 ne me semblent pas ajouter grand chose à l'article. Anne 5/6/15

Homographies

Les formules données, bien que pouvant marcher, ne sont pas conformes aux usages, qui veulent que l'on ait une action à gauche de GL sur la sphère. Pour cela, il suffit d'intervertir b et c . Si personne ne hurle d'ici 48 h, je le fais. Cdt. Lleuwen (discuter) 16 mai 2020 à 18:29 (CEST)