Discussion:Somme directe

Erreurs

Cela fait beaucoup d'erreurs en 4 lignes :

• Confusion entre intersection vide et intersection réduite à 0
• Confusion entre réunion et somme de sous-espaces (la "définition" donnée ressemble à celle d'une partition)
• La caractérisation intersection réduite à 0 des sommes directes n'est valable que pour DEUX sous-espaces
• Enfin, l'ensemble H n'est certainement pas un sous-espace de $\mathbb {R} ^{2}$. Vivarés 4 novembre 2005 à 23:24 (CET)

Corrigé et complété. HB 6 novembre 2005 à 16:48 (CET)

Problème de vocabulaire

• La somme de deux (ou plusieurs) sous-espaces F, G... de E existe toujours.
• Elle peut éventuellement être directe : par exemple, si F, G sont deux droites vectorielles distinctes, dans E = R^3.
• Qu'elle soit directe ou non, il n'y a aucune raison qu'elle soit égale à E, cf. l'exemple précédent, ou le cas d'un endomorphisme (en dimension finie) admettant au moins une valeur propre : la somme de ses sous-espaces propres est toujours directe, mais est égale à E si et seulement s'il est diagonalisable.
• Lorsque DEUX sous-espaces de E ont une somme directe, et de plus égale à E, on parle de sous-espaces supplémentaires.

Vivarés 6 novembre 2005 à 19:55 (CET)

Suggestion de définition

Je sugggère à HB de prendre comme définition (aussi bien pour 2 sous-espaces que pour k sous-espaces): "la somme F_1 + \cdots + F_k est dite directe si tout élément de cette somme admet (une et) une seule décomposition", et de donner la condition sur les intersections (simple pour k = 2, plus complexe dans le cas général (et dont j'avoue n'avoir jamais eu à me servir pour k ≠ 2)) comme une propriété caractéristique.

Il y a une caractérisation très simple et très utile des sommes directes (valable en dimension finie comme en dimension infinie, et pour un nombre quelconque de sous-espaces) par le fait que la décomposition du vecteur nul est unique, i. e. que la seule façon de décomposer 0 est de l'écrire 0 + ... + 0. On s'en sert (en dimension finie) pour démontrer (par récurrence sur k) que la somme de k sous-espaces propres d'un endomorphisme est directe.

Une autre caractérisation, usuelle en dimension finie (en supposant les sous-espaces tous non nuls), est le fait qu'en juxtaposant des bases de ces sous-espaces, on obtient une base de la somme (j'emploie juxtaposition : on trouve souvent réunion, qui est impropre, les bases n'étant pas des ensembles, mais des familles ; quant à concaténation, c'est plutôt laid). En relation avec ceci, la propriété "dimension de la somme = somme des dimensions" caractérise elle aussi les sommes directes. Vivarés 6 novembre 2005 à 20:50 (CET)

tu sais, je ne suis pas propriétaire de cet article, je cherchais juste à ne pas laisser d'insanité. Tu aurais pu corriger directement l'article: je te fais confiance. S'il faut que je m'y colle :-( OK (dans les prochains jours) , mais pour d'autres modifs n'hésite pas à les faire sans me consulter (si jamais je n'étais pas d'accord, j'en discuterais avec toi). HB 6 novembre 2005 à 23:23 (CET)

Somme directe externe

Dans la mesure où dans l'article, tout ce qui précède concerne exclusivement l'algèbre linéaire, je propose de traiter ici uniquement la structure d'espace vectoriel produit, et de renvoyer en remarque finale ce qui concerne l'extension aux groupes, anneaux, modules (je suis prêt à faire cette modification s'il n'y a pas d'opposition). Il serait alors plus indiqué de mettre l'article dans la catégorie "Algèbre linéaire". Vivarés 16:59, 8 novembre 2005 (CET)

Pourquoi pas, tant que l'on conserve une remarque en fin d'article sur l'extension possible aux autres structures. Je pensais aussi ajouter la propriété universelle de la somme directe externe: Pour tout couple (r ;s) d'applications linéaires de F vers E et de G vers E, il existe une unique appplication linéaire t de $F\oplus G$ vers E compatible avec les projections. HB 8 novembre 2005 à 18:57 (CET)

Sur l'avenir de cet article

Sur le projet maths nous nous interrogeons sur le contenu et le titre de cet article. En gros cela donne (que les personnes citées corrigent si j'ai dénaturé leur propos).

• Nefbor Udofix souhaite la scission entre
  • somme de sous-espaces vectoriels qui parlerait de la somme directe mais aussi de la somme.
  • somme directe externe à articuler avec somme (catégorie)
• Touriste pense qu'il suffit de
  • renommer l'article en somme directe en algèbre linéaire
  • Quitte à créer un article plus abstrait sur somme directe
• Jean de Parthenay pense aussi à deux articles
  • un orienté en algèbre linéaire qui serait à développer
  • un réservé au niveau supérieur (somme de groupe, somme extérieure, propriété universelle)
• Palustris voit aussi deux articles
  • Un simple traitant principalement d'ev et généralisant au module
  • L'autre appelé somme directe externe. Court, efficace.

Même si un consensus n'est pas encore trouvé sur le contenu de l'article d'algèbre linéaire, tout le monde s'entend donc sur l'opportunité d'écrire deux articles de niveaux différents. Normalement cela nécessite une page d'homonymie et voir comment articuler les interwiki. Il reste aussi à définir le titre et le contenu de l'article généraliste. Je pose ici les éléments du débat et quelques pistes de réflexion mais n'irai probablement pas plus loin vue d'une part l'absence de consensus et d'autre part ma non maitrise des sujets pointus comme le langage des catégories, les nuances entre somme directe et produit libre (groupe), produit direct, produit direct (groupes)

Page d'homonymie

Je proposerais bien une page d'homonymie renvoyant sur

• Somme directe externe
• Selon la décision finale, Somme directe en algèbre linéaire (pour sev et module) ou somme de sous-espaces vectoriels
• produit direct ? ou produit direct (groupes) ? pour somme directe de groupe ?

HB (d) 11 novembre 2009 à 10:57 (CET)

Contenu et nom de l'article généraliste

Pour l'instant il n'existe pas d'article spécifique sur somme de sous-ev, la formule de Grassmann renvoie sur Grassmann, il existe un article sur sous-espace supplémentaire qui devrait contenir la notion de projecteur évoquée par Jean de Parthenay. Donc la proposition de Nefbor Udofix tient la route. Cependant, en procédant ainsi les sommes directes dans les A-modules passent aux oubliettes et les personnes qui veulent connaitre les propriétés sur les sommes directes doivent se farcir un article complet sur les somme de sev. L'alternative consisterait à créer deux articles somme de sous-espaces vectoriels et somme directe en algèbe linéaire... HB (d) 11 novembre 2009 à 10:57 (CET)

Contenu de l'article somme directe externe

S'il doit ressembler à l'article somme (catégorie) , somme (catégorie) ou produit direct il n'est pas de mon niveau. HB (d) 11 novembre 2009 à 10:57 (CET)

Morphisme somme

J'ai ajouté la définition de somme directe infinie curieusement absente. En, effet les sommes directes externes finies ne servent à rien puisqu'elles sont isomorphes aux produit direct.

En relisant l'article (qui n'est pas faux), je trouve curieux qu'il ne soit pas fait mention du morphisme somme dont l'injectivité donne, si ce n'est une définition efficace (celle que je donne à mes élèves), sinon au moins une caractérisation élégante dont la propritété bateau s'obtient en examinant le noyau.--Palustris (d) 22 décembre 2009 à 19:26 (CET)

Somme hilbertienne

Bonjour. J'ai rajouté une section sur les sommes hilbertiennes, curieusement absente de l'article. C'est pourtant le seul aspect de ce bazar qui est utilisé en physique. Bidibidibidi (discuter) 14 février 2017 à 11:05 (CET)