Discussion:Point de branchement

Je ne sais pas si l'escalier en colimaçon est une si bonne image. Il faut indiquer que l'axe de l'escalier ne forme qu'un seul point, sans quoi on effectue, sans le dire, un éclatement de la surface de Riemann. Peps 21 juin 2006 à 10:38 (CEST)

Mais comment le dire ou le faire comprendre autrement ? Mais c'est une version évidemment modifiable et je serais heureux d'une autre proposition. En l'absence d'une autre version ...Claudeh5 21 juin 2006 à 11:18 (CEST)

ou un mat de pompier ?Claudeh5 21 juin 2006 à 12:35 (CEST)

C'est bien parce que je ne vois pas mieux que je n'ai rien suggéré d'autre... Personnellement j'arrive (presque) à faire la racine carrée en pliant une feuille de papier en cône (il reste une ligne d'auto-intersection). L'idéal serait une figure peut être ? en l'état de toute façon, préciser "ramené à un point" ne me semble pas si mal Peps 21 juin 2006 à 12:46 (CEST)

recopiage de discussion sur la page du thé

point de branchement

Je crois avoir amélioré sensiblement l'article Point de branchement. Qu'en pensez vous ?Claudeh5 (d) 16 août 2008 à 21:03 (CEST)

Je ne peux vraiment pas t'aider pour les références (c'est mon gros point faible), mais je me suis intéressé à ton article sur les points de branchement. La définition de fonction multiforme pose vraiment problème : le graphe d'une telle fonction ne se plonge pas toujours dans C2 et n'est pas toujours non plus un revêtement sur une partie de C. Y a-t-il plus simple que « application complexe f définie sur un ensemble S muni d'une projection π ouverte et localement injective de S sur C, identifiant f avec une application holomorphe au voisinage de chaque point de S » ? Ouf ! On peut alors définir un point de branchement pour f « dans C » à l'aide des intégrales d'argument, mais plusieurs points de branchement « dans S » peuvent se projeter dessus : pas simple.

Il me semble que l'utilisation de l'argument, qui apparait comme un artifice de calcul dans l'article, gagnerait à être employé pour définir ce dont on parle. Ambigraphe, le 15 septembre 2008 à 14:27 (CEST)

il m'avait semblé que dire que le point a est point de branchement pour f si l'image d'un cercle de centre a par f donnait une courbe non fermée était à la fois plus général et plus simple que parler de l'argument. J'ai utilisé l'argument dans les exemples pour montrer que la courbe n'était pas fermée: elle s'arrête avant d'avoir rejoint son point de départ. D'aute part où as-tu trouvé cette définition (imbuvable) de fonction multiforme ? on dirait du Godement... enfin, je ne vois pas bien où j'ai dit que le graphe d'une fonction complexe se plonge dans C^2 mais au-delà je ne comprends pas ton problème: le graphe est {x, f(x)/ x appartient à E}, or E est inclu dans C ainsi que f(x) pour tout x. Donc {x, f(x)} est toujours un élément de C^2. Je ne comprends pas l'objection !Claudeh5 (d) 16 septembre 2008 à 11:32 (CEST)

Sur les points de branchement

La discussion pourra se poursuivre à la page idoine, mais pour préciser mes réticences, il me suffit d'évoquer quelques exemples de fonctions multiformes pour lesquelles la définition de point de branchement nécessite plus d'attention :

le carré du logarithme a un unique point de branchement mais son graphe ne se plonge pas dans C^2 : il y a des points doubles en tous les multiples entiers de iπ, ce qui gêne la définition de « l'image d'un cercle » car les feuillets se coupent ;

c'est faux, car ln(z) admet deux points de branchement, 0 et l'infini donc le carré aussi.

soit f(s) = ln(s)^2. O est point de branchement car on a ln²(r exp(it))= (ln r + it)^2 = ln²(r) - t² +2iln(r)t. Si t augmente de 2pi, la partie réelle diminue de 4 pi²+4pi t et la partie imaginaire augmente de 4pi ln(r). Dans ces conditions, la courbe ne se referme pas, quelle que soit la valeur de r et quelle que soit celle de t. Ceci montre également que 0 n'est pas un point de branchement d'ordre fini. Pour l'infini, on considère ln²(1/r exp(-it))=(-ln r -it)²= (ln r +it)². On est donc dans la même situationque précédemment avec la même conclusion.

oui, je n'ai pas mentionné le point de branchement à l'infini, mais ce que je voulais souligner dans cet exemple est le fait que le graphe ne se plonge pas dans C^2.

Je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire par "le graphe ne se plonge pas dans C²", alors qu'il est bien dans C² et nulle part ailleurs.Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 07:46 (CEST)

le logarithme du sinus de l'inverse a une infinité de points de branchement qui s'accumulent en 0 : difficile dès lors d'étudier la nature de la singularité en 0, car tout cercle centré en l'origine enserre une infinité de points de branchement ;

effectivement mais là la singularité n'est plus isolée.Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 07:46 (CEST)

le sinus du produit de pi et du logarithme est muni de zéros denses dans une infinité de cercles concentriques : le logarithme de cette fonction aura autant de points de branchement, qui par accumulation ouvriront beaucoup trop de courbes fermées pour que ta définition soit valide.

singularité non isolée là encore.Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 17:17 (CEST)

Il ne devrait pas être trop difficile de trouver une fonction dont les points de branchement soient denses dans le plan et dont le graphe soit d'image dense dans C^2. Dès lors, l'appel à un domaine pour la fonction qui ne soit pas C mais une variété riemannienne (plate) me semble indispensable, d'où ma définition quelque peu lourdingue de fonction multiforme. Je suis preneur de toute définition valable et un tant soit peu plus glamour. Ambigraphe, le 16 septembre 2008 à 19:04 (CEST)

Il semble qu'il faille dire dans la définition que l'on ne considère que des points de branchement isolés. De toute façon, cela n'est pas génant car si la singularité n'est pas isolée, aucun développement n'est possible localement, aucun schéma de changement de feuillet n'est dessinable, ...Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 07:36 (CEST)

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org/wiki/Projet:Math%C3%A9matiques/Le_Th%C3%A9 »

Plongement de graphe

Un plongement est une application injective qui identifie l'objet de départ avec son image. Le graphe de la racine carrée ou du logarithme se plonge dans C^2, mais le graphe du carré du logarithme a plusieurs points doubles. Si on identifie chacun de ces points doubles comme un seul point du graphe, « l'image d'une courbe fermée » peut potentiellement sauter d'un feuillet à l'autre et la définition que tu donnes de point de branchement devient caduque. Il faut distinguer ces points doubles comme des paires de points distincts dans le graphe de la fonction multiforme pour éviter cet écueil, donc il faut en général construire un support pour la fonction qui n'est pas C mais une variété complexe plate se projetant sur C. Ambigraphe, le 17 septembre 2008 à 17:17 (CEST)

Mais dis moi, si l'on tourne autour d'un point de branchement, il est normal de changer de feuillet. Donc il est normal que "l'image d'une courbe fermée saute d'un feuillet à l'autre" "et j'oserai même dire que c'est fait pour cela. Que cherches tu à faire ? à rendre la fonction uniforme ?Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 20:03 (CEST)

Ce que je ne comprends vraiment pas c'est ce que vient faire ce plongement...Pour ta fonction ln²(s), je l'ai traité supra et je ne vois aucune difficulté, du moment que le point singulier est isolé.

fondamentalement, je ne vois pas la différence de traitement avec http://serge.mehl.free.fr/anx/surface_R.html#pc ou la définition de Weinstein (CRC concise encyclopedia of mathematics, édition 2,): branch point=an argument at which identical points in the complex plane are mapped to different points.Example consider f(z)=z^a. f(exp(0i)=f(1)=1. But, f(exp(2i \pi)=exp(2i \pi a), despite the fact that exp(0i)=exp(2i\pi).J'en cherche d'autres.Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 20:40 (CEST)

référence "http://phyches.free.fr" document "analyse complexe": Une fonction G(z) est dite multiforme dans un domaine D s'il existe des points z0 et des lacets gamma en z0 tels que la fonction ne reprenne pas la même valeur quand on revient en z0 aprés avoir effectué un lacet. G(z0 + gamma) /neq G(z0) quelque soit gamma.

Chabat, introduction à l'analyse complexe, T1,1990, page 172:définition 2: soit a un point singulier isolé d'une fonction analytique, V' un voisinage épointé de a et gamma un chemin de Jordan fermé entourant le point a. On distinguera deux cas (I) a s'appelle point singulier à caractère univoque si le parcours de gamma ne modifie pas l'élément initial de la fonction (II) a s'appelle un point singulier à caractère multivoque ou point de branchement si le parcours de gamma conduit à un élément distinct de l'élément initial.

17 septembre 2008 à 21:05 (CEST)

Considérons le cercle de centre 0 et de rayon π, décrit par le « chemin de Jordan fermé » défini sur [0,1] par p(t) = π e^{i(π-t)} et partons depuis la détermination principale du Log. Le carré du logarithme le long de ce chemin démarre de (Log(e^{iπ}))^2 = (iπ)^2 = -π^2 et aboutit, après changement de feuillet, en (Log(e^{iπ-2iπ})^2 = (-iπ)^2 = -π^2.

tu fais le calcul sur un cercle de rayon 1 et en plus ton paramétrage de ton cercle n'est pas dans [0,1] mais dans [0 2pi]. je ne vois pas la raison pour laquelle tu tournes autour de 0 en sens inverse du sens trigonométrique mais ce n'est rien. Or tu dois trouver exactement ce que j'ai trouvé supra avec un cercle de rayon r.

soit f(s) = ln(s)^2. O est point de branchement car on a ln²(r exp(it))= (ln r + it)² = ln²(r) - t² +2iln(r)t. Si t augmente de 2pi, la partie réelle diminue de 4 pi²+4pi t et la partie imaginaire augmente de 4pi ln(r). Dans ces conditions, la courbe ne se referme pas, quelle que soit la valeur de r et quelle que soit celle de t, à l'unique exception de r=1 et t=-pi, celles que tu as prises. Il faut donc modifier la définition de la manière suivante: a est un point de branchement pour f si l'image d'au moins un lacet autour de a est une courbe non fermée. Ceci montre également que 0 n'est pas un point de branchement d'ordre fini. Pour l'infini, on considère ln²(1/r exp(-it))=(-ln r -it)²= (ln r +it)². On est donc dans la même situation que précédemment avec la même conclusion.

Moralité, même avec des points de branchement isolés, si l'on persiste à ne voir le graphe de ces fonctions multiformes que comme des parties de C^2, on s'expose à des contradictions.

Pas si évident... Tu noteras que l'image du cercle de centre 1 ne se referme pas si on change d'origine.

Je ne sais quel crédit accorder à la page « phyches.free ». La définition de Chabat nécessite une précision de ce qu'est un « élément » : valeur ne suffit pas, il faut que la fonction au voisinage du point final soit identique à la fonction au voisinage du point initial.

Quel sens donner à "il faut que la fonction au voisinage du point final soit identique à la fonction au voisinage du point initial" ?

Enfin, ces « points » appartiennent a priori à un espace différent de C : même en isolant les singularités, l'image du graphe dans C^2 peut présenter des accumulations de points multiples. Ambigraphe, le 17 septembre 2008 à 21:50 (CEST)

C'est plus vicieux que tu ne sembles l'admettre : si je peux changer de feuillet en un point double, rien ne m'empêche de le faire sur le parcours d'un lacet autour d'un point régulier, donc d'arriver à un « élément » final différent de l'élément initial (au sens de Chabat, que j'avais paraphrasé plus haut). Le seul moyen que je vois de t'en sortir avec cette définition est d'exclure non seulement les accumulations de points singuliers, mais aussi les accumulations de points multiples. Ça commence à être pas mal restrictif. Ambigraphe, le 18 septembre 2008 à 22:09 (CEST)

Non, tu ne comprends pas ce qui se passe: Tu tournes autour d'un point de branchement, et normalement, tu changes de feuillet. L'exemple que tu as donné ne montre qu'une seule chose: le changement de feuillet peut ne pas s'opèrer sur certains chemins parcourus d'une certaine manière. Tu ne suis pas la définition de Chabat puisqu'en fait tu veux que les éléments de Chabat initiaux et terminaux coïncident. D'ailleurs, au sens propre tu ne proposes aucune définition d'un point de branchement puisque tout point, selon toi, y satisfait. Enfin, tu ne peux pas faire ce que tu penses: si la dérivée de f(s) est non nulle en un point s_0, tu as une application inversible localement et tu ne peux donc pas avoir de point de branchement en ce point s_0 car c'est localement une application conforme qui envoie un cercle sur une courbe nécessairement fermée. Au fait, je te donne la définition de Mauch (http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math_letter.pdf) dans "introduction to methods of applied mathematics": Result 7.9.1 A point z0 is a branch point of a function f(z) if the function changes value when you walk around the point on any path that encloses no singularities other than the one at z = z0.Claudeh5 (d) 19 septembre 2008 à 12:46 (CEST)

Une nouvelle référence est Lepage, complex variable and the Laplace transform for engineers, Dover, 1961. Tout le chapitre 6.Il y a une longue explication sur les points de branchements, qui est identique à celle que je propose à ceci près qu'il semble ne considérer que les lacets infinitésimaux autour d'un point de branchement.Claudeh5 (d) 19 septembre 2008 à 14:21 (CEST)

Soit je ne comprends pas, soit je m'exprime mal, dans les deux cas je laisse tomber pour l'instant cette discussion qui me laisse encore sur ma faim. Qu'est-ce qu'une fonction multivaluée ? Qu'est-ce que « l'image d'un lacet » pour une telle fonction ? Je ne propose pas de définition de point de branchement parce que je ne sais même pas comment les décrire et que toutes les définitions que je lis ci-dessus échouent sur des exemples que je donne. La référence de Mauch n'aborde grosso modo que le logarithme et les racines, dont les graphes se plongent dans C^2. Ambigraphe, le 19 septembre 2008 à 16:55 (CEST)

question qui se pose maintenant

Le phénomène des lacets qui se referment autour d'un point de branchement existe-t-il pour les points de branchement d'ordre n ? n est-il le nombre maximal de tours qu'il faut effectuer autour d'un point de branchement d'ordre fini ? autrement dit, si a est un point de branchement d'ordre 3, peut-il exister des lacets qui se referment en 1 tour ou en 2 tours seulement ou est-ce une propriété spécifique des points de branchement logarithmiques ?Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 23:02 (CEST)

les éléments de chabat

il appelle élément canonique ou élément un couple (U, f), où U est un disque ouvert de centre a et de rayon r maximal de sorte que f soit holomorphe dans U mais pas dans U' contenant strictement U. Cela lui permet alors de définir le prolongement analytique de f d'éléments en éléments ayant une intersection non vide.

différentes définitions de point de branchement

1. A branch point z=z0 is a point of a multivalued function where the function changes value when a curve winds once around z0. (McMahon, Complex variables demystified, page 111, Mc Graw Hill,2008)
2. A point z0 is a branch point of a function f(z) if the function changes value when you walk around the point on any path that encloses no singularities other than the one at z = z0. (Mauch (http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math_letter.pdf), introduction to methods of applied mathematics, Result 7.9.1
3. Soit a un point singulier isolé d'une fonction analytique, V' un voisinage épointé de a et gamma un chemin de Jordan fermé entourant le point a. On distinguera deux cas (I) a s'appelle point singulier à caractère univoque si le parcours de gamma ne modifie pas l'élément initial de la fonction (II) a s'appelle un point singulier à caractère multivoque ou point de branchement si le parcours de gamma conduit à un élément distinct de l'élément initial. (Chabat, introduction à l'analyse complexe, T1,1990, page 172: définition 2)
4. Branch point=an argument at which identical points in the complex plane are mapped to different points.Example consider f(z)=z^a. f(exp(0i)=f(1)=1. But, f(exp(2i \pi)=exp(2i \pi a), despite the fact that exp(0i)=exp(2i\pi).(Weinstein, CRC concise encyclopedia of mathematics, édition 2)