Discussion:Identité d'Euler

Citation de Feynmann

Voir Discussion:Beauté_mathématique#Citation_de_Feynmann. Même remarque ici. Vos commentaires sont bienvenus. Pour cet article, je propose de déplacer la citation dans formule d'Euler. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 mai 2011 à 15:55 (CEST)

Cette égalité est-elle purement mathématique ou ne vaut-elle que via l'utilisation d'une convention de notation ?

Cette formule est-elle issue d'une convention, soit de représenter les nombres complexes par le plan d'Argand, ou une véritable égalité mathématique que l'on peut démontrer ?

L'article n'aborde pas le sujet et ce que je peux trouver par ailleurs ne m'est pas clair.

Pour fixer les idées : on communique à un extraterrestre mathématicien les définitions usuelles de e et de pi et on lui dit que i est un nombre tel que i^2 = -1.

On lui demande de démontrer que e^(i*pi) = -1, peut-il le faire ?

Autre manière de poser la question, et c'est comme cela qu'elle m'est venue, notre extraterrestre sait seulement qu'il y a un nombre i tel que i^2 = -1, peut-il trouver que i^i ~= 0.207879576... (soit e^(-pi/2) ) ?

-- Epsilon0 ε₀ 5 mars 2012 à 18:30 (CET)

Bonjour,

Comme il est dit dans l'article, l'identité est un cas particulier de la formule d'Euler, soit $\forall x\in \mathbb {R} ,\ e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, égalité qu'on peut démontrer en se basant sur les propriétés des fonctions (la plus simple qui me vienne à l'esprit est qu'on peut montrer que les deux fonctions sont solutions d'une même équation différentielle, et égales en un point). Sachant cela, tout vient facilement . Kelam (mmh ? o_ô) 5 mars 2012 à 18:43 (CET)

Bonjour et merci pour ta réponse. Mais c'est aussi cette formule d'Euler ou plus précisément le fait de mettre i comme unité de l'ordonné du cercle trigonométrique, qui me semble possiblement basé sur une convention (remarquable par ce qu'elle permet, dit en passant). Sinon, vraiment, penses-tu que notre extraterrestre pourra trouver que i^i = 0.207879576... sachant seulement que i^2 = -1 ? Ce résultat me semblant perso quasi magique, enfin m'impressionne beaucoup plus que la formule de l'article. --Epsilon0 ε₀ 5 mars 2012 à 19:01 (CET)

Une toute autre piste (quoique) est de passer par les développements en séries entières de exp, cos et sin (eux-mêmes venant de la formule de Taylor) ; l'identification formelle en résulte aussitôt. Si on définit les complexes par les matrices de la forme $[[a,b],[-b,a]]$ (identifiée à $a+ib$), le résultat est aussi une conséquence de calculs directs sur l'exponentielle de matrice. Une superbe preuve sans mots (passant par la formule exp(x)=lim (1+x/n)ⁿ) existe également (et figure dans l'article)... Par contre, je comprends difficilement ta question sur i^i (ni d'ailleurs ta remarque sur le cercle trigo : le plan d'Argand n'a pour l'essentiel rien à voir avec cette formule, et Euler , semble-t-il, ne le connaissait pas) Pour i^i, il faut d'abord définir ln (i) ou du moins connaître un nombre a tel que exp(a)=i, ce qui revient à dire que la formule d'Euler est déjà connue...--Dfeldmann (d) 5 mars 2012 à 19:17 (CET)

Désolé d'être une bille en maths et de ne comprendre qu'approximativement vos réponses (mais en suivant attentivement vos liens je suis sûr de retrouver la correction de l'équation ; c'est +- du niveau bac+1 et je vous fais confiance). Là où mon interrogation de naïf trouve une réponse dans son méandre d'interrogations c'est dans ce Pour i^i, il faut d'abord définir ln (i) ou du moins connaître un nombre a tel que exp(a)=i, ce qui revient à dire que la formule d'Euler est déjà connue.., en effet notre extraterrestre, ou votre serviteur, ne peut calculer i^i tant qu'on ne lui a pas dit comment est définie la fonction puissance sur un nombre comme i (il ne me semble pas que ce soit une extension triviale de x puiss 0 = 1, x puiss y = x * puiss (y-1) + adaptation des entiers vers les réels ; mais je peux de nouveau me planter : si c'est le cas comment étend-on naturellement cette fonction puissance des réels vers les complexes ?) ... et si la def passe passe par la formule d'Euler, ben, évidement tout est dit.

Sinon, pour que je comprenne (et les autres lecteurs de l'article évidemment, je ne me fais qu'un naïf archétypal de ce que pourrait être leurs interrogations) que dire de plus à notre extraterrestre, que je vais appeler totobot, sur la def de la fonction puissance sur les complexes pour qu'il trouve i^i = 0.207879576... ? Car là il m'embête totobot, il me dit que 0.207879576... n'est pas une vraie constante mathématique comme l'est 3.1415926..., 2.7182818284 ... ou (sqrt(7)+23)/37 et qu'elle n'a pas à figurer dans sa base intergalactique-Sloane-plouffe de constantes fondamentales des maths ; et je ne sais plus trop quoi lui dire pour le convaincre.

Bon je m'enlise, je vois que je suis nul, encore plus nul que je le pensais, mais néanmoins me reste un chouya de doute, que seuls vous pourraient éventuellement avoir en pleine connaissance des choses impliquées : cela est-il sûr comme 1+1=2 (je peux en faire une dem formelle si nécessaire) ou, pour revenir au titre de la section ya t-il des conventions ou def dans les coins ?

Si par exemple Dfeldmann, tu me dis qu'il n'y a aucune entourloupe, je me mets à regarder la constante 0.207978... comme je le fais pour celle de Feigenbaum.

Merci pour vos éclaircissements, non pour moi, mais pour les lecteurs de l'article.--Epsilon0 ε₀ 5 mars 2012 à 21:04 (CET)

Bon, je comprends mieux ton problème... Du coup, je pense que tu seras heureux d'apprendre que ta constante n'a rien de mystérieux, c'est tout simplement $e^{-\pi /2}$ (et elle figure dans la base de Plouffe...). La seule chose conventionnelle, là-dedans, c'est le choix de i^i = exp (i ln (i)), et surtout celui de ln(i)=i pi/2 , parce que les logarithmes complexes sont définis à 2i pi près, et que ce choix (la branche principale) correspond au prolongement analytique à partir de ln(1+x) dans les réels (en prolongeant dans le demi plan supérieur), et bien sur, au fait, lui peu discutable que i^2=-1=exp(i pi), mais n'est néanmoins pas parfaitement "naturel" (voir l'article Logarithme complexe pour plus de détails, ainsi que ce paragraphe)--Dfeldmann (d) 7 mars 2012 à 07:20 (CET)

Passage à la limite :

Peut-on passer à la limite en -1 ? Je ne suis pas certain de la continuité en -1 sur le plan complexe.

Ben moi non plus ! "Théorème d'inexistence — Sur un ouvert connexe, contenant une courbe d'indice 1 autour de l'origine (par exemple un cercle centré en l'origine), il n'existe pas de détermination continue du logarithme".

C'est le pb de la monodromie car on ne peut planter la pointe du compas en 0 car gamma(0) est un pôle et si on ne pose pas la pointe alors il faut tracer le cercle unité et gamma (-1) est un pôle également...

Tout à fait, c'est pourquoi, dans la discussion qui précède, j'avais bien parler de prolongement dans le demi-plan supérieur...--Dfeldmann (discuter) 14 septembre 2013 à 09:32 (CEST)

Proposition d'anecdote pour la page d'accueil

Une anecdote basée sur cet article a été proposée ici (une fois acceptée ou refusée elle est archivée là). N'hésitez pas à apporter votre avis sur sa pertinence, sa formulation ou l'ajout de sources dans l'article.
Les anecdotes sont destinées à la section « Le Saviez-vous ? » de la page d'accueil de Wikipédia. Elles doivent d'abord être proposées sur la page dédiée.
(ceci est un message automatique du bot GhosterBot le 26 octobre 2020 à 09:47, sans bot flag)

???

J'apprend depuis le début que $e^{2i\pi }+1=0$ est égal à 0 (ou $e^{2i\pi }-1=0$). Or ici il se trouve que ce n'est pas le cas... Est-ce une erreur ? Une rapide recherche internet montre que les deux versions existent en concurrence... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Nicolas de Bourgoing (discuter), le 14/11/2020 à 21 h 48‎.

L'article est correct et multisourcé, et je doute vraiment que des sites internet puissent donner une version erronée de cette égalité si connue. Peut-être les avez-vous lus trop vite. $e^{2i\pi }$ n'est pas égal à -1 mais à $(e^{i\pi })^{2}=(-1)^{2}=1$.

Anne, 23 h 04

Démonstration géométrique

e^i.phi = rotation (?)

Elle est non sourcée et parait inutilement compliquée. De plus elle illustre bien le facteur N, mais ne dit rien sur z=i.pi. On ne voit pas du tout ce qui change géométriquement avec z. Il manque je trouve la "démonstration" géométrico/algébrique : e^i.alpha étant une rotation de alpha dans le plan complexe, la rotation de Pi (180°) de "1" donne "-1" dans le plan complexe. Cette démonstration, qui pour moi est la meilleure, n'est nulle part. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 2 mai 2021 à 17:03 (CEST)

Huh ?C'est un grand classique (pas de source sous la main, mais je parie qu'elle est dans "How Euler did it"). Et non, elle est pas trop compliquée, parce que d'où sors-tu que exp(i.alpha) est une rotation ? (bon, c'est jouable en passant par l'équation différentielle, et encore...)--Dfeldmann (discuter) 2 mai 2021 à 17:42 (CEST)

Bon, encore raté : Sandifer donne bien l'historique de la formule (et y'a deux trois trucs passionnants dedans, comme toujours) mais pas cette démonstration-là... Bon, ça va bien finir par me revenir.--Dfeldmann (discuter) 2 mai 2021 à 17:48 (CEST)

En tout cas, on ne voit pas comment agit géométriquement z. On voit bien N mais pas z dans la démo. Sinon la rotation c'est la formule d'Euler, cela se voit tout de suite (?) ou bien ? On voit immédiatement (mais géométriquement) que e^i.pi = -1. Pourquoi chercher midi à 14h ? ;) --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 2 mai 2021 à 18:18 (CEST)

Bonjour Jean-Christophe BENOIST Bon, j'ai dû mal m'expliquer. Toutes les versions dites "géométriques" partent de la formule $e^{z}=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {z}{n}})^{n}$, qu'Euler (me semble-t-il) généralise aux complexes, et non de la série (parce qu'avec la série, on a trivialement (si l'on peut dire) $e^{ix}=\cos x+i\sin x$). Ensuite, l'interprétation géométrique de $1+i{\frac {x}{n}}$, c'est le triangle rectangle, et le reste c'est de la géométrie facile et un argument douteux de passage à la limite (géométrique). Mais je vois pas ce qui te fait considérer comme naturel (étaient-ils si nuls que ça, ces mathématiciens du 18ème siècle) le fait que exp (i alpha) soit une rotation. Je rate quelque chose ?--Dfeldmann (discuter) 3 mai 2021 à 07:09 (CEST)

Non je ne dis pas que c'est plus "naturel", je dis que c'est (beaucoup) plus simple à comprendre géométriquement. On n'est pas obligé de partir des formules historiques pour démontrer (et comprendre) quelque-chose (et c'est même souvent l'inverse où avec du recul on a des approches simplifiées). En tout cas une source serait.. nécessaire qui explique tout ce que tu viens de dire. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 3 mai 2021 à 08:00 (CEST)

Mais je comprends pas. Dans ta démonstration "simple à comprendre géométriquement", le seul point clé, c'est que exp (i x) c'est une rotation d'angle x. Alors oui, un demi-tour, c'est une multiplication par -1. Mais d'où sors-tu cette histoire de rotation??? Sinon, je t'assures que la démonstration "géométrique " est hyperclassique (je l'ai fait faire en TD en classe, par exemple, et je suis pas assez malin pour l'avoir inventée tout seul); laisse moi un peu de temps (je parie que je vais trouver ça dans "L'analyse au fil de l'histoire", que je te recommande vivement par ailleurs).--Dfeldmann (discuter) 3 mai 2021 à 09:29 (CEST)

Grr... Je suis pourtant sûr d'avoir lu ça chez moi ... Voici une discussion détaillée en anglais sur Math Stak Exchange : Can you explain $-1=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {i\pi }{n}})^{n}$ without using e, sin or cos ?... mais pas de source (au pire, c'est celle-là que je mettrai).--Dfeldmann (discuter) 3 mai 2021 à 09:47 (CEST)

Bonjour Jean-Christophe BENOIST Ah, quand même ; je savais bien que c'était chez moi, dans ce livre absolument génial qu'est Visual Complx Analysis. J'ai mis ça en référence, et je te recommande le livre . Cordialement, --Dfeldmann (discuter) 9 mai 2021 à 11:00 (CEST)

Merci beaucoup ! Je viens de comprendre la démonstration, en la regardant une Nième fois (N n'a pas tendu vers l'infini ! ) En fait il faut avoir à l'esprit que Pi est la moitié de la circonférence, aussi bien qu'un angle. Je viens de réaliser que LAC (longueur arc de circonférence) = \alpha (en radians), j'ai du le savoir mais je ne le savais plus. Ce n'est que en le réalisant que on comprend l'influence de z. Si on pense à Pi en tant qu'angle, on ne comprend pas. Si on le pense en tant que longueur d'arc, on comprend. Je ne sais pas s'il faut le rappeler qq part.. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 9 mai 2021 à 11:38 (CEST)

Oui, c'est le danger des preuves sans mots : ce qui saute aux yeux des uns reste complètement opaque à d'autres . En même temps, tant qu'on a de bonnes références (et je t'assure que Needham donne des démonstrations rigoureuses), ce n'est pas forcément notre rôle que de mettre tous les points sur tous les i... Cordialement,--Dfeldmann (discuter) 9 mai 2021 à 12:53 (CEST)