Discussion:Groupe abélien de type fini

Discuter:Groupe abélien de type fini/Archive 1

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Où je propose deux autres preuves d'un théorème de l'article sur ma page de brouillon, où Ekto la commente, décide de faire pareil sur sa page de brouillon, où Jean-Luc W commente ce travail, et là, ça part complètement en vrille, malgré une intervention conciliante d'HB notamment. Celui qui recommence, ça va mal se passer, je vous préviens, il y déjà assez de vandalisme, on ne va pas se vandaliser entre contributeurs sérieux.Salle 13 février 2007 à 15:18 (CET)

Refonte

Je suis arrivé ici par la page d'«Ekto». Je me lance dans quelques modifications conséquentes de l'article. Ne pas hésitez à revert si jamais cela s'averrait approprié. Toutefois venez de préférence me le notifier ici ou sur ma page pour discuter par quel bout reprendre cet article. Là j'ai commencé par l'introduction, mais je dois encore la retoucher... Rude Wolf 30 mars 2007 à 17:40 (CEST)

Quelques idées

• Il me semble qu'il existe deux sujets relativement différents les groupes abéliens finis, avec la notion de caractère et d'analyse harmonique à développer et les groupes abéliens de type fini avec la structure de module. A terme, j'imagine qu'une division en deux articles correspond à une bonne idée. Qu'en penses tu?

• La notion de caractère n'est ni le propre des groupes finis (elle s'étend sans problème aux groupes compacts) ni celui des groupes abéliens. L'analyse harmonique se développe très bien sur les groupes abéliens de type fini (la théorie des séries de Fourier pour les groupes libres, et la transformée de Fourier discrète dans le cas fini). Ces notions méritent un article à part (Théorie des caractères, analyse harmonique sur les groupes abéliens localement compacts, analyse harmonique (stablement) invariante ...) Quant à la notion de groupe abélien fini, je ne l'imagine pas apparaître autrement que comme cas particulier dans l'article groupe ou groupe abélien, ou dans un mini article qui servirait comme référence. Rude Wolf 3 août 2007 à 05:52 (CEST)

Il existe beaucoup de choses à dire sur les groupes abéliens finis. Leur histoire par exemple est spécifique, le théorème de Kronecker est une démonstration propre aux groupes abéliens finis. Les applications sont aussi spécifiques. Pour prendre l'exemple des caractères l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini y est particulièrement simple, sans aucun problème de convergence. On peut citer comme conséquence en théorie des codes des outils comme l'identité de Mac Williams ou en cryptologie les fonctions booléennes qui utilise largement l'analyse harmonique sur un espace vectoriel fini. La théorie des nombres n'est pas en reste avec les sommes de Gauss, les périodes de Gauss ou encore la loi de réciprocité quadratique. Inclure tout cela dans un article générique risque de trop alourdir à mon gout. J'ai commencé l'article groupe abélien fini et justifié son existence dans la page de discussion, qu'en penses-tu? Jean-Luc W 9 août 2007 à 12:17 (CEST)

Quelques commentaires me viennent à l'esprit, mais je pense aller plutôt sur la page de discussion de l'article sur les groupes abéliens finis, qui soit dit en passant, a avancé à un rythme beaucoup plus soutenu, et, au premier coup d'oeuil, semble réussit (tout au moins esthétiquement) Rude Wolf 16 octobre 2007 à 01:50 (CEST)

• Une grande application des groupes abéliens de type fini correspond simplement aux anneaux d'entiers. De plus, les applications sont nombreuses, je me demande si un paragraphe dédié aux applications ne serait pas une bonne idée. Cela permettrait une entrée plus en douceur sur l'article et offrirait un accès plus aisé au lecteur plus néophyte. Partages-tu mon opinion?

• Les anneaux d'entiers des corps de nombres sont (ie leur groupe additif sous-jacent est) sans torsion, ce qui est un cas particulier de groupe abélien de type fini. C'est vrai que quand on les quotiente par des idéaux, on obtient des groupes abéliens finis, et que leur décomposition est liée à la factorisation de l'idéal. Mais cela relève déjà des modules sur un anneau de Dedekind (même plus principal). Pour une entrée en douceur, je ne pense pas que la notion d' entier algébrique soit des commode au premier abord. Je ne vois pas lesquelles, mais si il y a des applications intéressantes des groupes abéliens de type fini dans ce cadre, ce serait en effet très bien d'y faire mention. Rude Wolf 3 août 2007 à 05:52 (CEST)

Je pensais plus au groupe des unités qui lui contient souvent des torsions. Kummer y voyait là l'obstruction qui empèchait une démonstration générale du grand théorème de Fermat et était la clé d'une première série de lois de réciprocités. Comme tu le fais remarquer, cela amène droit sur la théorie des anneaux. Je suis bien d'accord sur le fait que la notion d'entier algébrique n'est pas des plus commode, mais c'est la raison historique de l'étude. Maintenant, je ne vois pas d'autres applications naturelles que la théorie algébrique des nombres, celle des anneaux et l'analyse harmonique avec les séries de Fourier.Jean-Luc W 7 août 2007 à 00:37 (CEST)

• Je me demande si une répétition des définitions d'un groupe, d'un projecteur (maintenant défini dans l'article Produit direct (groupes)) est véritablement utile. Si les articles associés sont clairs, un simple redirect pour ces précisions pourrait peut-être suffire? Jean-Luc W 1 mai 2007 à 01:07 (CEST)
• Effectivement la partie de définitions me paraît inutile et redondante, j'ajouterai que je pense que l'introduction est désormais trop longue amha mais je laisse à rudewolf le soin de conciser tout ça! François Le Maître 1 mai 2007 à 14:47 (CEST)

• Pour les rappels des définition, je suis tout à fait d'accord de faire un lien vers un article où c'est beaucoup mieux expliqué. Par contre celà risque d'être d'autant plus difficile de rentrer dans l'article si l'on délèque la plupart des notions, d'autant plus que sur ce sujet les exemples ne sont pas légion. Rude Wolf 3 août 2007 à 05:52 (CEST) Je viens de voir l'introduction de l'article anglais. Elle parait adaptée pour débuter le corps de l'article.

• Les idées sont bonnes, l'enrichissement est utile, et la base n'est pas exempte de faiblesses. Il y à fort à parier que l'article sera meilleur après qu'avant. L'article n'est pas simple car les niveaux du lecteur pouvent être variés, cela n'empèche pas l'optimisme. Jean-Luc W 1 mai 2007 à 16:37 (CEST)

Allègement de l'introduction

A l'IP qui cherche à supprimer les deux paragraphes suivant de l'introduction :

À ce titre, cette notion relève de l'algèbre générale. Toutefois, la notion de groupe abélien, et plus particulièrement ceux qui sont de type fini, est au fondement de la notion de module: La donnée d'un groupe abélien équivaut à celle d'un module sur l'anneau universel qu'est l'anneau Z des entiers relatifs. Les groupes abéliens de type fini participent de ce fait au fondement de l'algèbre commutative.

...

Ainsi ce théorème de structure permet, pour tout objet mathématique satisfaisant les axiomes caractérisant les groupes abéliens de type fini, de se ramener une famille familière d'objets dont on connait la plupart des propriétés. Cela en fait un outil d'étude et de démonstration très efficace. En outre comme les groupes abéliens de type fini sont des objets très familiers, ils ont la propriété d'apparaitre dans de nombreuses branches et questions d'ordre mathématique, qui sont d'autant plus d'applications.

Pourquoi vouloir les supprimer et supprimer ainsi toute allusion au module sur un anneau ? Sans justification en page de discussion ces deux paragraphes seront remis systématiquement. HB (d) 2 décembre 2009 à 17:08 (CET)

Tiens il n'y en avait plus d'allusion aux anneaux quand je suis passé. Autant ça me semble raisonnable d'en réintroduire (mais relatives à l'article, pas relatives aux groupes abéliens en général), autant je ne suis pas convaincu par le deuxième paragraphe retiré, qui n'est guère fondé sur le texte de l'article et est assez « contenu évasif » à mon goût (« objets très familiers », « de nombreuses branches et questions ») bof bof. Je vais moi-même pas mal élaguer l'intro, mais ensuite je vais papillonner ailleurs et laisser quelques heures ou quelques siècles cet article. N'hésitez pas à me gronder avant que je n'y revienne. Touriste (d) 14 janvier 2011 à 16:39 (CET)