Discussion:Géométrie hyperbolique

Refonte de l'article

Il existe QUATRE modèles CLASSIQUES de la géométrie hyperbolique :

• L'hyperboloïde.
• Le modèle du disque de Poincaré.
• Le modèle du demi-espace de Poincaré.
• Le modèle du disque droit.

Je les ai placés par ordre d'intérêt.

Le modèle le plus intéressant, est le deuxième pour trois raisons :

• • La métrique est conforme, et les angles sont les angles euclidiens (comme pour le troisième)
  • Les dessins sont plus facilement représentables. Ils le sont dans une région bornée de l'espace.
  • Le modèle reflète la géométrie d'une variété de Hadamard. La sphère unité s'y identifie à la sphère à l'infini. Dans le modèle du demi-plan, la sphère à l'infini serait le compactifié de R^n-1. L'identification serait seulement topologique.

Je pense que les quatre modèles sont à développés, en insistant sur l'avantage que chacun offre. Cependant, on doit prévoir un article pour chaque modèle. Les avantages sont les suivants :

• L'hyperboloïde : Le groupe d'isométries est visuel. Le nom de la géométrie prend un sens fort.
• Disque de Poincaré : Déjà évoqué
• Demi-espace de Poincaré : Modèle conforme adapté à l'arithmétique.
• Disque droit : les droites (riemanniennes) sont des droite (affines). Pour ceux qui ne veulent pas se fatiguer à dessiner.

Le discours qui suit déraille sur un tout autre sujet.

ma remarque à 1 euro: en théorie des cordes on utilise essentiellement la troisième formulation lorsqu'on considère l'espace de modules d'un 2-tore (nécéssaire pour calculer la fonction de partition à 1 boucle de la théorie conforme sur la feuille d'univers de la corde fermée) car il est facile d'y représenter un domaine fondamental pour l'action du groupe arithmétique $SL(2,\mathbb {Z} )$. LeYaYa 3 août 2006 à 20:34 (CEST)

Ma réponse à un euro : tu rejoins ma remarque ! La classification conforme des tores plats de dimension 2 se résume en effet à la classification des réseaux de R² à similitude près, qui elle-même est liée à l'action de SL₂R. Le modèle du demi-espace est utile en arithmétique. Le domaine fondamental dont tu parles est un domaine fondamental d'un pavage. Le quotient est ce qu'on appelle l'espace des modules, qui est la classification des structures conformes du tore ; ce n'est pas vraiment une variété, les singularités (il y en a deux) sont des cas extrèmes (par exemple, le tore plat équilatéral réalise le cas d'égalité entre systole et aire).

Là, on risque d'avoir effrayé le lecteur ... Au fait, ce dont tu évoques, c'est la théorie des cordes ou la théorie des membranes ?

Utilisateur:Ektoplastor, le même jour à ... ah ben non, le 4 Août à 00:11 CEST

concernant le pavage, si je ne dis pas de conneries, le demi-plan de Poincaré tout entier est l'espace de Teichmûller des structures complexes du 2-tore (c'est-à-dire l'ensemble des 2-tores quotienté par les difféomorhismes locaux, ie ceux qui sont reliés de façon continue à l'identité) et il faut faire le quotient par les difféomorphismes globaux (qui sont les difféomorphismes non reliés à l'identite et qui engendrent précisément par composition le groupe $SL(2,\mathbb {Z} )\,$ dans ce cas) pour obtenir l'ensemble des structures complexes véritablement inéquivalentes et c'est cela qu'on appelle l'espace des modules. Pour ce qui est des singularités de cet espace est-ce que tu pourrais préciser ce que tu entends par *systole* ? moi je les vois en considérant les points fixes sous l'action de $SL(2,\mathbb {Z} )\,$ à savoir $\tau =i\,$ qui est un *tore carré* et $\tau =+i\infty \,$ qui est la limite dégénérée ou on obtient un cylindre, me trompe-je ? Enfin je précise que je parle bien de la théorie des cordes, car le tore en question est la version euclidienne de la surface d'univers de la corde. C'est un objet avec 1+1 dimension en signature lorentzienne mais on effectue une rotation de Wick qui change la signature de la direction temps pour obtenir une surface de signature euclidienne lorsqu'on calcule la fonction de partition à 1 boucle. Bien cordialement, LeYaYa 4 août 2006 à 00:58 (CEST)

En général, je préfère parler de structures presque comples ; c'est un miracle si en dimesnion 2 les structures coïncident ! Mais il faut différentier en dimensions supérieures : structures conformes, structure complexe et structures presques complexes.

• L'espace de Teichmüller d'une variété (de préférence compacte) pour moi est l'espace des métriques riemanniennes, quotienté par les difféomorphismes conformes près. Donc, pour le tore, c'est le quotient du demi-plan de Poincaré par l'action de SL₂Z. (Attention, il y a deux difficultés :
  • Démontrer que toute matrique riemannienne est conforme à une métrique de coubure nulle !
  • Déterminer l'espace des réseaux de R2 à similitude près.
• L'action n'est pas sans points fixes, et les singularités sont les points de l'espace de Teichmuller, au voisinage desquels le quotient n'est pas une variété différentielle. Ce quotient a deux singularités : le point i (ou sa classe), qui correspond au tore carré (R₂/Z₂), et exp($i\pi /3$), le tore triangulaire. Le point à l'infini dont tu parles se trouve dans la compactification de l'espace de Teichmuller.
• La systole d'une variété riemannienne compacte est la plus petite longueur d'une géodésique fermée non triviale. Elle est supérieure au rayon d'injectivité. Pour les tores, on dispose d'une inégalité avec l'aire :

$sys(M,g)^{2}\leq C.aire(M,g)$

La meilleure constante et le cas d'égalité sont connues. Essentiellement, le cas d'agalité est réalisé seulement pour le tore triangulaire !

• Le terme espace des modules est employé à toutes les sauces. Il peut désigner l'espace des sphères pseudoholomorphes pour une structure presque complexe, ou d'autres acceptations selon les gens. Je ne sais pas trop ...

Ektoplastor

Pour HB : Désolé, tu ne vas pas apprécier qu'on s'envole vers les hautes sphères. Toujours Ektoplastor

Salut,

Ok c'est vrai j'avais oublié de considérer les transformations conformes.

• Cela dit l'espace de Teichmüller est simplement connexe car on peut le définir comme le groupe de recouvrement universel de ce qu'on appelle l'espace des modules (ce dernier étant le quotient des métrique riemanninennes modulo difféomorphismes, locaux, globaux + transformations conformes). C'est pour cela que je dis que l'espace des modules tient compte du quotient par le groupe SL(2,z) (et possède donc des singularités de type orbifold, merci pour le cas du tore triangulaire, j'avais zappé cela aussi!). Par contre ce n'est pas le cas pour l'espace de Teichmuller.
• Par ailleurs démontrer que toute métrique est conformément plate en deux dimensions ce n'est pas trop dur car le tenseur de Riemann n'a qu'un seul degré de liberté dans ce cas, alors il suffit d'annuler le scalaire de Ricci pour que la métrique soit plate, ce qui se fait immédiatement par le biais d'une transformation conforme. Par contre lorsque tu fait référence aux *réseaux de R2 à similitude près* est-ce que tu fais régérence à la façon d'obtenir ce fameux pavage du demi-plan sous l'action de sl(2,Z) ? sinon je ne vois pas trop à quel moment cette seconde difficulté que tu mentionnes intervient dans la determination de l'espace de modules (je dis bien espace de module et non de Teichmuller pour la raison que j'ai évoquée plus haut)
• merci pour la définition de la systole, ca mériterait une petite page d'homonymie!ce n'est pas encore clair pour moi que seul le tore triangulaire réalise l'égalité mais je vais y réfléchir.

Je reprends mon argumentation depuis le début, en détaillant les étapes. Une structure conforme sur une variété différentielle M est la donnée d'une section du projectif du fibré des formes bilinéaires symétriques définies positives. Pour le tore M, cette section est (c'est valable en toute dimension) réalisée par une métrique riemannienne globale g. Cette métrique g est isométrique à $f^{2}g_{0}$ où g₀ est une métrique plate sur le tore (le tore carré). C'est une version du théorème d'uniformisation ; je disais que le résultat n'est pas simple car il est particulier à la petite dimension. Ensuite, le revêtement riemannien universel de (M,g₀) est une variété de Hadamard de courbure nulle de dimension 2, donc isométrique à l'espace euclidien R². (M,g₀) est le quotient de R² par un réseau, disons L. Si (e,f) en est une base, alors :

$Aire(f^{2}g_{0})=\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}f^{2}\sin \alpha dsdt$

où a et b sont les normes de e et de f, et \alpha est l'angle. L'inégalité de Schwarz donne :

$Aire(f^{2}g_{0})\geq \int _{0}^{a}{\frac {\sin \alpha }{b}}\left[\int _{0}^{b}fdt\right]^{2}ds\geq {\frac {Aire(g_{0})}{b^{2}}}sys(f^{2}g_{0})$

On peut se débrouiller pour que b soit la systole de g₀ ! On s'est donc ramener à chercher à minimiser le rapport ${\frac {Aire(g_{0})}{sys^{2}(g_{0})}}$. Au passage, le rapport est bien cohérent (analyse de la dimension : mètre carré sur mètre fois mètre). La classification des tores plats se ramène à la classification euclidienne des réseaux de R².

On peut supposer que la systole est 1 ou de manière équivalente que le plus vecteur non nul du réseau est de norme 1. Notons le e (pas nécessairement unique), quitte à lui appliquer une rotation, c'est (1,0). Le deuxième vecteur est de norme supérieure à 1 et peut être choisi dans le domaine fondamental de l'action de SL₂Z sur le demi-plan supérieur ($\{z\in C,|z|\geq 1,|Rez|\leq 1/2\}$). L'aire est simplement $Imf$. La meilleure constante possible est ${\sqrt {3}}/2$.

Pour le cas d'égalité : il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz, donc f est constante ; g est donc conforme à une métrique plate g₀. Cette métrique est déterminée à une constante près par f ci-dessus, qui appartient au domaine fondamental et de partie imaginaire au plus ${\sqrt {3}}/2$. Donc, $f=exp(i\pi /3)$.

D'où le résultat que j'ai annoncé !

• En théorie des cordes, il y a essentiellement deux définitions de l'espace des modules dont une purement géométrique qui est celle que j'ai indiquée. La deuxième contient la première mais tient compte du fait qu'au point de vue de la physique quantique de la théorie, ce n'est pas uniquement la géométrie qui définit les propriétés du modèles car il faut aussi inclure bien souvent la donnée par exemple d'une 2-forme sur l'espace-cible qui est ce qu'on appelle le champ B. Le modèle physique est donc souvent déterminé par un couple (espace, 2-forme) pour lequel l'espace des modules est naturellement étendu. Il prend une définition plus intrinsèque du point de vue de la théorie conforme associée à la théorie des cordes car cet espace de module correspond naturellement à l'ensemble des déformations marginales de la theorie c'est à dire des déformation du modèle par des opérateurs quantique de dimension conforme (1,1) qui préservent exactement la symétrie conforme de la théorie. Pour plus d'infos tu peux te référer au cours d'Aspinwall que j'ai indiqué en référence de l'article espace de modules qui traite le cas des compactifications de la théorie des supercordes sur l'espace K3. Bien cordialement, LeYaYa 4 août 2006 à 20:30 (CEST)

En mathématiques, la définition espace de module n'est pas fixée. Je pense qu'en physique, il y a une confusion avec le domaine modulaire à savoir le biquotient $SO(2)\ SL(2,R)/SL(2,Z)$. Quant à la définition de l'espace de Teichmüller, la définition que je donne est la bonne (cf. par exemple Jost1). Pour ce qui est de la 2-forme, est-elle non dégénérée ? est-elle fermée ? Dans ce cas, c'est une forme symplectique (géométrie symplectique, forme symplectique). Cela ne m'étonnerait d'ailleurs pas du tout. Mais alors, il y a un bordel dans la terminologie, car en géométrie symplectique, l'espace des modules est un espace d'applications d'une surface de Riemann (pas forcément fermée, id est compacte sans bord) dans une variété symplectique vérifiant une EDP qui dépend de ce qu'on veut en faire. (Elle est jolie cette définition, non ?) Ektoplastor, 16:30 CEST

Histoire

Voir Discussion:Géométrie non euclidienne#Histoire. --Roll-Morton (discuter) 23 février 2016 à 18:46 (CET)

Commentaires sur la refonte de mars 2021

Très joli travail. Il me semble cependant que l’hyperboloïde servant de modèle (image en début d’article) devrait avoir deux nappes, sinon il contiendrait une géodésique fermée.

Par ailleurs, quitte à évoquer la littérature, autant signaler le Géométricon d’Anselme Lanturlu. Ambigraphe, le 2 mars 2021 à 17:47 (CET)

Bonjour Ambigraphe Heu, il est impossible d'avoir des modèles globaux dans l'espace en conservant la métrique euclidienne, mais l'hyperboloïde à deux nappes serait pire (il a une géométrie elliptique) ; le modèle de Lorentz (cf l'article détaillé) triche en prenant une pseudo-métrique. Le géométricon ne rentre pas vraiment dans la série littérature (et relève plutôt de la vulgarisation), mais pourquoi pas. Je le rajoute.--Dfeldmann (discuter) 2 mars 2021 à 17:59 (CET)

Je ne comprends pas bien, parce que le modèle de Lorentz indiqué dans la légende spécifie bien qu’il y a deux composantes. En outre, puisque l’on change la métrique, je ne vois pas pourquoi l’hyperboloïde à deux nappes serait plus elliptique qu’hyperbolique. Enfin, je ne suis pas géomètre mais topologue, et l’hyperboloïde à une seule nappe est pour moi un cylindre, tandis que le plan hyperbolique est un disque ouvert.

Tu es certainement plus calé sur ces notions que moi, mais ma méprise montre qu’il y a quelque chose à éclaircir sur ce point. Merci en tout cas pour ce travail. Ambigraphe, le 2 mars 2021 à 19:16 (CET)

Surfaces ayant des courbures de Gauss constantes : de gauche à droite, courbure négative, nulle et positive.

Oui, je me suis un peu emmélé les pinceaux. Bon, rentrons dans le détail. Le modèle de l'hyperboloïde n'est pas représentable dans R^3 , et c'est effectivement une nappe d'un hyperboloïde à deux nappes de l'espace de Minkowski. La confusion vient de ce que les géodésiques d'un truc ressemblant à un hyperboloïde à une nappe (de l'espace usuel) conviennent localement, parce que c'est une surface de courbure constante négative (voir ci-contre). Et, bien sûr, les gens ont pris ça pour une pseudosphère. Du coup, la légende de l'image est fausse ; je corrige ça sur le champ. Cordialement,-- Dfeldmann (discuter) 2 mars 2021 à 19:36 (CET)

Je me fourvoie peut-être encore, mais j’ai l’impression que le modèle de Beltrami-Klein (s’il s’agit bien de cela) est visualisé sur le disque et pas sur un hyperboloïde à une nappe. Il ne faut pas confondre surface de courbure négative (ce qui est bien le cas de l’hyperboloïde à une nappe) et représentation du plan hyperbolique. Je te propose de remplacer l’illustration de l’hyperboloïde par un paraboloïde hyperbolique, qui est aussi à courbure négative mais présente l’avantage de donner une image valide à la fois locale sur le plan géométrique et globale sur le plan topologique. Ambigraphe, le 3 mars 2021 à 09:47 (CET)

Non, le modèle de (Beltrami)-Klein est bien un disque plan (avec une métrique adaptée, par projection du modèle de l'hyperboloïde de l'espace de Minkowski, soit dit en passant) ; si Beltrami l'a en effet proposé, il a aussi utilisé le modèle de la pseudosphère, et c'est ce que représente mon illustration. Pour que les géodésiques d'une surface constituent (au moins localement) un modèle de géométrie hyperbolique, il faut que la surface soit à courbure (de Gauss) constante négative, ce qui n'est pas le cas du paraboloïde hyperbolique (ni d'aucune quadrique, d'ailleurs) ; le modèle le plus simple est la surface de révolution engendrée par une tractrice ou une chaînette (et c'est ça qu'on appelle la pseudosphère, et que mon dessin illustre, quoique pas très bien). L'idée naïve, souvent représentée par des croquis très approximatifs, c'est que la géométrie sphérique bien connue passe à la géométrie hyperbolique en traçant sur une surface ressemblant à une selle (un paraboloïde hyperbolique) de même forme en tout point, mais ça, c'est évidemment impossible (sauf à prendre une sphère de rayon imaginaire, comme l'avait compris Lambert). Cordialement,--Dfeldmann (discuter) 3 mars 2021 à 10:41 (CET)

On est bien d’accord que le paraboloïde hyperbolique (muni de la métrique induite par la géométrie euclidienne dans l’espace R³) n’est pas un modèle du plan hyperbolique, tout comme l’hyperboloïde à une nappe, mais que tous deux sont des surfaces de courbure négative ? Si ta première illustration doit montrer la courbure négative, je trouve plus adapté de faire appel au paraboloïde hyperbolique. Si elle doit montrer une pseudosphère, aucune de ces deux surfaces ne convient (et dans ce cas il vaut mieux insérer un tractricoïde, même si j’ai toujours l’impression qu’il y a une illusion dans cette représentation). Non ? Ambigraphe, le 3 mars 2021 à 10:55 (CET)

Ah, j’ai peut-être compris quelque chose : l’hyperboloïde à une nappe est à courbure négative constante, ce que n’est pas le paraboloïde hyperbolique. C’est ça ? Ambigraphe, le 3 mars 2021 à 11:07 (CET)

Ca voudrait être ça... mais il n'y a pas de bonne solution, à cause d'un théorème de Hilbert (et je n'ai pas de dessin sur une vraie pseudosphère). Du coup, j'ai ajouté une note au dessin ; dis-moi ce que tu en penses.--Dfeldmann (discuter) 3 mars 2021 à 11:21 (CET)

OK. Il y a encore quelque chose que je ne comprends pas. Tu dis ci-dessus qu’aucune quadrique n’est à courbure constante négative, ce qui exclut l’hyperboloïde. Mais alors, quelle est cette surface qui illustre le début de l’article ou dans [1] ? Ambigraphe, le 3 mars 2021 à 15:02 (CET)

Hé bien,c'est une très bonne question. L'analyse soignée du problème (faite ici, me semble-t-il) montre qu'il y a en fait très peu de surfaces de révolution à courbure constante, et que seule la surface obtenue en faisant tourner une tractrice a une équation simple : techniquement, elles sont toutes obtenues en faisant tourner autour de l'axe Oy la courbe paramétrée (par la longueur d'arc t) d'équation x(t)= Ae^t +B e^(-t), et z(t) solution de z'(t)=sqrt(1-x'(t)^2), ce qui ne s'intègre (sans passer par les fonctions elliptiques) que pour AB=0..., et en plus ne s'intègre alors (si AB<>0) que sur un intervalle de t borné. Je soupçonne néanmoins qu'en prenant A=B, on doit avoir quelque chose qui ressemble vaguement à ce faux hyperboloïde, mais j'ai pas le courage de chercher dans une source fiable. Conclusion : même les illustrations doivent être sourcées, dès qu'il y a un doute.--Dfeldmann (discuter) 3 mars 2021 à 16:45 (CET)

OK. C’est plus clair. Reste que je maintiens que cette surface ne représente pas le plan hyperbolique, même partiellement. Le problème pour moi vient plus de cette géodésique fermée que du bord.

Je propose de relégender « Une surface de courbure négative constante et une représentation plan hyperbolique ». Ambigraphe, le 5 mars 2021 à 14:58 (CET)

Bonjour Ambigraphe ,Bonjour Dfeldmann . Comme Ambigraphe, il y a quelque chose que je ne comprends pas, et après réflexion, je pense que cela provient de ce qu'on entend par plan hyperbolique, notion qui n'est finalement pas définie dans l'article. Que l'hyperboloïde à une nappe puisse représenter un modèle de géométrie hyperbolique, OK. Mais sa courbure n'est pas constante. On aurait donc pu prendre aussi, comme le suggérait Ambigraphe, le paraboloïde hyperbolique. Cependant, le paraboloïde hyperbolique, à ma connaissance, n'a jamais vraiment été retenu historiquement comme modèle pour une géométrie hyperbolique et je ne suis donc pas favorable à le retenir. La pseudosphère est un modèle de surface (et non de plan) à courbure négative constante. Si le but de l'hyperboloïde est de se substituer à la pseudosphère, pourquoi pas, mais ce n'est ni un plan ni un espace à courbure constante. Pourquoi est-il gênant de qualifier l'hyperboloïde de plan ? C'est parce que l'hyperboloïde comporte une géodésique de longueur finie, son équateur, alors qu'aucun autre modèle de plan n'a cette propriété. Bref, il reste deux possibilités pour illustrer cet article. Ou bien on veut présenter une surface où plusieurs parallèles passent par un même point et l'hyperboloïde fait très bien l'affaire, mais on ne peut le qualifier de plan. Si le mot espace hyperbolique ne convient pas, appelons-la surface hyperbolique. Ou bien on veut représenter une surface de courbure négative constante et dans ce cas, il faut prendre la pseudosphère avec ses défauts. J'ai une préférence pour la première solution. Theon (discuter) 5 mars 2021 à 16:42 (CET)

Pour la courbure, on parle bien de la courbure de Gauss ? Theon (discuter) 5 mars 2021 à 17:11 (CET)

Bonjour Ambigraphe et Theon Aïe aïe aïe... que de malentendus. Le plan hyperbolique est parfaitement défini : c'est une structure abstraite (formé essentiellement des mots points, droites, et congruent) et vérifiant les axiomes de Hilbert (limités à la dimension 2) à l'exception de l'axiome des parallèles (éventuellement remplacé par un axiome affirmant qu'il existe trois droites telles que D1 et D2 sont sécantes, et que D1 avec D3 et D2 avec D3 ne le sont pas). On démontre alors que tous les plans hyperboliques sont isomorphes entre eux, et par exemple au modèle du disque de Poincaré. Il se trouve qu'au prix de restrictions pas faciles à formaliser, toute surface de courbure (de Gauss) négative constante est un modèle du plan hyperbolique (si on ne prend pas toutes les géodésiques) respectant (c'est le point clé) une métrique riemannienne conforme (à celle des modèles plus faciles comme la sphère de rayon imaginaire). Sans être tout à fait sûr de moi (mais j'ai des références), une surface ressemblant vaguement à l'hyperboloïde (dessinée ci dessus) convient exactement au même sens que le cylindre convient comme modèle du plan euclidien : localement, ou en parlant de revêtement universel, ou en éliminant les géodésiques qui se referment (et, de totue façon, il n'existe aucune solution globalement satisfaisante, comme le montre le théorème de Hilbert dèjà cité). Si nous vivions dans un plan hyperbolique, nous ne nous en rendrions compte localement que parce que la somme des angles d'un triangle serait inférieure à 180° : personne (dans le plan euclidien ou dans le plan hyperbolique) ne peut contrôler l'axiome des parallèles directement, parce que aller à l'infini pour savoir si des droites continuent à ne pas se couper (et même simplement ne se referment pas), c'est délicat. Autrement dit, le plan hyperbolique, c'est une bête surface ressemblant à un plan (comme toutes les surfaces) localement, ayant la topologie du plan globalement (une nappe paramétrée, dans le jargon)... mais ayant une courbure (intrinsèque, au sens de Gauss, puis de Riemann) constante négative, et qu'on ne peut pas plonger isométriquement dans R^3 (et même dans R^n, me semble-t-il) sans créer de singularités ou pire. J'ai rajouté dans le texte quelques précisions, représenté une pseudosphère, mais je ne sais trop si on peut faire mieux.--Dfeldmann (discuter) 5 mars 2021 à 17:22 (CET)

Je suis bien d’accord avec toi. C’est le revêtement universel d’une surface de courbure négative constante qui convient. Mais la figure en haut de l’article n’est pas simplement connexe. C’est pourquoi je pense qu’on ne peut pas la présenter comme le plan hyperbolique (qui est effectivement bien défini) mais comme une simple surface de courbure négative constante. Comme l’article titre sur la géométrie hyperbolique et pas le plan hyperbolique, ce n’est pas hors sujet. Ambigraphe, le 5 mars 2021 à 17:51 (CET)

OK sur le comportement local de l'hyperboloïde. Mais on est passé maintenant à la notion de revêtement universel. On ne va quand même pas mettre dans la légende de l'hyperboloïde "surface dont le revêtement universel est un modèle du plan hyperbolique" alors qu'on veut juste donner un exemple simple où plusieurs parallèles passent par un même point. Si on tient absolument à utiliser le mot plan avec l'hyperboloïde, précisons au moins localement modèle du plan hyperbolique. Par ailleurs, excusez-moi d'insister, mais la courbure de Gauss de l'hyperboloïde n'est pas constante. Contentons-nous de mettre, si on y tient, que sa courbure est négative en tout point.Theon (discuter) 5 mars 2021 à 18:04 (CET)

Attention Théon : ce truc qui ressemble à un hyperboloïde n’est pas un hyperboloïde. C’est une surface à bord de courbure négative constante. Ambigraphe, le 5 mars 2021 à 18:19 (CET)

Restons sur les sources : Beltrami est bien conscient (lire le texte en italien) que la pseudosphère, non simplement connexe, ne convient pas vraiment (rien, d'ailleurs) pour représenter globalement le plan hyperbolique ; il démontre que si on a une surface de courbure constante négative , ses géodésiques et sa métrique conviennent "localement", et que les surfaces de révolution de ce type sont en nombre très restreint, dont celle représentée ici. Voilà, voilà...--Dfeldmann (discuter) 5 mars 2021 à 21:12 (CET)

Il reste donc à ajouter le qualificatif local comme modèle du plan hyperbolique par la figure de gauche, précision qui évitera au lecteur d'être induit en erreur. Theon (discuter) 6 mars 2021 à 08:23 (CET)

Disque de Poincaré : métrique euclidienne multipliée par un facteur positif ?

Le facteur multiplicatif est-il positif ? Il me semble que oui. La note que j'avais ajoutée a été annulée [[2]]. Cf. également transformation conforme.--Maillage (discuter) 5 mars 2021 à 19:25 (CET)

La positivité d’un tenseur métrique fait que le coefficient est toujours positif. Il ne faut pas confondre la métrique avec la mesure orientée des angles. Par exemple, il existe une métrique sur le ruban de Moebius, qui n’est pourtant pas orientable. Ambigraphe, le 5 mars 2021 à 20:32 (CET)

Mon commentaire de modif était trop rapide (c'était juste pour préciser qu'en prenant une valeur négative, on obtenait une forme définie négative, mais pourquoi pas ?). L'ajout de "positif" me semble intéressant. Il permet de voir que l'on peut passer de la métrique Euclidienne à la métrique de Poincaré sans changer de signature. Mais bon, vous faites comme vous voulez. Je ne suis pas mathématicien.--Maillage (discuter) 5 mars 2021 à 20:42 (CET)

« Pourquoi pas ? » Parce qu’un tenseur métrique est défini positif. Vous pouvez modifier Wikipédia sans être mathématicien, mais il vaut mieux se renseigner avant à partir de sources fiables. Ambigraphe, le 5 mars 2021 à 20:47 (CET)

Si vous préférez, tenseur pseudo-métrique de signature (-,-).--Maillage (discuter) 5 mars 2021 à 20:54 (CET)

Non, non ; on ne préfère pas (et les sources non plus...)--Dfeldmann (discuter) 5 mars 2021 à 21:13 (CET)

Origine du qualificatif hyperbolique et usage de coniques dites absolues dans un plan projectif

Dans un alinéa commençant par "En 1872," (dernier alinéa de la partie "Historique") on lit:

le choix d'une hyperbole comme conique absolue permet de construire la géométrie de Lobatchevski et explique le nom de géométrie hyperbolique que Klein lui donne et qui lui est désormais associé

(suppression de guillemets pour résoudre un problème de technique d'éd. wiki que je ne sais pas comment résoudre autrement) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par UKe-CH (discuter), le 25 avril 2021 à 11:24 (CEST)

Il est en effet tentant d'expliquer ainsi le qualificatif "hyperbolique" donné à la géométrie de Lobatchevski et Cie - j'ignore si Klein a vraiment eu cette idée, mais elle va à l'encontre du fait que dans un plan projectif ordinaire (c'est-à-dire sur R), toutes les coniques (réelles) "se valent" et peuvent donc servir à construire un plan hyperbolique; d'ailleurs on utilise en général un cercle euclidien pour ça. Pour la géométrie elliptique, la conique doit être "imaginaire" mais il est plus simple de travailler avec une métrique euclidienne sur un espace vectoriel de dim.3 sur R dont on déduit le plan projectif ordinaire de la manière usuelle.

Evidemment se pose alors la question: d'où viennent les qualificatifs hyperbolique et elliptique pour les deux géométries non-euclidiennes les plus simples? C'est une question pour les spécialistes de l'histoire des math. même si on devrait facilement trouver des idées, mais qui risquent de ne pas être conformes au développement historique réel.

Une idée pour corriger le passage incriminé?--UKe-CH (discuter) 25 avril 2021 à 11:08 (CEST)

Bonjour UKe-CH , au départ, là, c'est toi qui commet un anachronisme, mais bien sûr, j'ai fait bien pire en me vautrant sur les détails. La terminologie "hyperbolique", "elliptique" (et parabolique pour la géométrie euclidienne) vient bien de Klein dans sa réécriture de la métrique de Cayley-Klein (source : On Klein’s So-called Non-Euclidean geometry), mais comme on est dans le cas projectif (réel), il n'y a que trois coniques absolues possibles : la conique "réelle" $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$, la conique "imaginaire" $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ et la conique dégénérée $x^{2}\pm y^{2}=0$, auquelles il associe respectivement les trois noms "hyperbolique", "elliptique" et "parabolique". Et du coup, je sais plus comment il choisit ses noms8 A cause des modèles respectifs de l'hyperboloïde, de l'ellipsoïde, et de la logique de la parabole entre les deux ? Mystère... Bon, j'ai plus qu'à réécrire (légèrement) ce passage et la note ; je continue mes recherches. Merci de ta vigilance.--

(re)Bonjour UKe-CH Ouf ; heureusement il y a des gens plus sérieux que moi, et c'est plutôt amusant, d'ailleurs ; j'ai tout réécrit, et je te laisse le plaisir de découvrir la vraie histoire à partir des notes et des liens donnés. Cordialement,--Dfeldmann (discuter) 25 avril 2021 à 12:58 (CEST)

Variété symétrique ?

Dans la section "Géométrie hyperbolique en dimension n", une variété symétrique est évoquée. Dans les cours de Physique, on parle plutôt de variété à symétrie maximale, ou maximalement symétrique (avec une flopée de références 9, 10, 11, 12, 13). Je ne connais pas la relation exacte entre les deux notions, mais "symétrie maximale" semble plus fréquent.--Maillage (discuter) 26 avril 2021 à 07:32 (CEST)

Bonjour Maillage Oui, mais non : outre que je me sers des sources (je serais bien incapable de faire autrement), il me semble que même s'il y a un rapport, ce serait au mieux par un théorème d'existence : le champ de vecteurs n'est pas donné avec la variété. Bref, je me contente de donner des conditions minimales (enfin, c'est ce que dit la source) d'isomorphie (et même d'isométrie à un facteur près), et non d'un résultat à la Perelman (en remplaçant les vecteurs de Killing par le flot de Ricci). Mais si tu as de meilleures références...--Dfeldmann (discuter) 26 avril 2021 à 08:05 (CEST)

Un article à exploiter, qui donne des exemples "concrets" de géométrie hyperbolique : [[3]]. Entre autres, page 4, « two sample negative curvature hyperbolic spaces, m004(−5,1) being one of the smallest known compact hyperbolic spaces as well as the relatively large v3543(2,3). ».--Maillage (discuter) 26 avril 2021 à 09:41 (CEST)

Intéressant, mais un peu trop loin de notre sujet, non ? les géométries hyperboliques à ce sens sont locales, et les variétés étudiées sont compactes et non simplement connexes ; elles ne sauraient représenter H$^{n}$ à aucun sens concevable. Ou je rate quelque chose ?--Dfeldmann (discuter) 26 avril 2021 à 14:13 (CEST)

Je n'ai pas étudié en détail ces objets, mais apparemment ce sont des "morceaux" d'espace hyperbolique gigantesques (quelques milliards d'années-lumière). Ils sont au moins aussi intéressants que la pseudo-sphère, et envisagés par les astrophysiciens.--Maillage (discuter) 26 avril 2021 à 16:42 (CEST)

Bon, la pseudosphère, de toute façon, c'est raté : c'est un modèle, autrement dit une représentation, pas un objet défini de manière intrinsèque (si tu préfères, c'est comme si tu parlais de la sphère comme exemple de "plan elliptique", alors que de toute évidence, les droites s'y coupent en deux points, donc ne respectent pas les axiomes). Les espaces hyperboliques dont on parle là sont des quotients de H^3 par un groupe (discret), donc des analogues du tore, et du point de vue physique (ou cosmologique?) des « espaces chiffonnés » au sens de Luminet. Intéressant, je le répète, mais je suis pas sûr qu'on reste dans notre sujet, d'autant que ça résout toujours pas le problème de la platitude : pourquoi serait-ce une géométrie hyperbolique et pas euclidienne ?--Dfeldmann (discuter) 26 avril 2021 à 17:03 (CEST)

Dans "applications", on pourrait ajouter une remarque du style :"Bien que fondamental en math., l'espace $H^{3}$ est rarement utilisé tel quel par les cosmologistes, qui lui préfèrent une version modifiée (quotientée) (ref: article [[4]])". Comme cela, il y aurait une liaison entre un objet mathématique (non borné, de volume infini (je n'ai pas vérifié mais c'est probablement le cas)...) et un objet utilisé en Physique (non simplement connexe, avec des mirages possibles recherchés par Luminet & ses collègues).--Maillage (discuter) 27 avril 2021 à 08:37 (CEST)

Oui, c'est possible. Mais d'une part, il me semble qu'un article spécifique sur cette question d'espace chiffonné manque (et l'article plus général, Forme de l'Univers reste assez mal fait), d'autre part, je me demande pourquoi ils envisagent des modèles nécessitant une courbure hyperbolique mesurable, alors que nos mesures actuelles la donnent nulle. Enfin, au moins, on a des sources.--Dfeldmann (discuter) 27 avril 2021 à 09:07 (CEST)

Bonjour Maillage Bon, j'ai rajouté ça ; qu'en penses-tu ?--Dfeldmann (discuter) 27 avril 2021 à 10:48 (CEST)

Oui, c'est pas mal. Il reste à vérifier si l'espace dodécaédrique de Poincaré existe en version hyperbolique. Je sais que suivant les rotations de faces opposées on obtient différents ensembles "exotiques". Ou alors, mentionner simplement les exemples que cite Luminet et al. (m004(−5,1), v3543(2,3), ...) Ca devient très spécialisé, mais bon, le sujet est difficile (trouver une version "utilisable" de H^3).--Maillage (discuter) 27 avril 2021 à 12:13 (CEST)

Tu as raison, je ne me suis pas méfié. Heureusement, il existe une 3-variété hyperbolique obtenue pratiquement par la même construction, l'espace de Siefert-Weber (en). Bon, je vais pas me fatiguer, et mettre juste ça en note...--Dfeldmann (discuter) 27 avril 2021 à 12:28 (CEST)

Bonjour Dfeldmann . La réf. 56 (Luminet, Weeks, ...) utilise un espace de courbure spatiale positive.--Maillage (discuter) 28 avril 2021 à 08:34 (CEST)

Bonjour Maillage C'est pas faux. Si on va par là, en plus, leurs prévisions (observation de cercles, etc.) ont été réfutées. Tu as insisté pour que je rajoute ce passage, mais je commence à me demander si c'est bien raisonnable, d'autant qu'ils sont quand même assez minoritaires. Tu remarqueras que je n'ai rien affirmé ("certains modèles", etc.), mais peut-être que j'ai simplement mal choisi mes références ; je revérifie... Où d'ailleurs figure ce modèle hyperbolique dans ta référence ?--Dfeldmann (discuter) 28 avril 2021 à 08:51 (CEST)

Page 4, table 1 : Parameters of analysed curved spaces.

• Spherical
  • Dodecahedral
  • Truncated Cube
  • Octahedral
• Hyperbolic
  • m004(−5,1)
  • v3543(2,3)

--Maillage (discuter) 28 avril 2021 à 09:05 (CEST)

Ainsi, une étude de 2013 de l'observation par le satellite Planck du fond diffus cosmologique, utilise deux espaces hyperboliques.

--Maillage (discuter) 28 avril 2021 à 09:52 (CEST)

Pas mal. Bon, j'essaie d'intégrer tout ça de mon mieux.--Dfeldmann (discuter) 28 avril 2021 à 10:04 (CEST)