Discussion:Géométrie euclidienne

Chamboulements

Voilà, voilà, j'avais l'impression qu'on tirait tous un peu dans le meme sens, donc j'ai procédé aux changements : l'article Géométrie euclidienne est désormais consacré à l'évolution des concepts géométriques à partir d'Euclide ; c'est essentiellement le travail de Jean-Luc W, que j'ai un peu réorganisé pour éviter les redites, et en tenant compte de (certaines) remarques de HB. Certains paragraphes sont passés à l'as dans le processus, on peut les retrouver sur ma page de brouillon (et dans les historiques, bien sur). Du coup, l'article espace euclidien devient vide ; j'y ai transféré quand meme ce qui avait été fait sur la comparaison avec hermitien et dim finie, qui après tout, est intéressant et se trouve bien là. Mais ce ne sera pas suffisant. Pour l'ancien article Géométrie euclidienne, je ne savais pas trop qu'en faire ; il est aussi chez moi. Comme je l'avais dit à un moment, il peut y avoir quelque chose d'intéressant à développer dans le style suivons Euclide pas à pas, et qui pourrait se baser sur ça.

J'espère que l'articulation des différents changements épistomologiques sera plus claire dans la nouvelle version de l'article. Qu'en pensez-vous? Nombre des remarques faites initialement restent toutefois valides, et du travail encore en perspective, mais dites si le plan du moins recueille ou non votre assentiment.Salle 12 mai 2006 à 20:59 (CEST)

Remarques

Salle avait raison: lire l'article précédent en le voyant sous l'angle de géométrie euclidienne et non sous celui de l'espace euclidien rend caduque un grand nombre de mes critiques. La disparition de la partie histoire fait tomber un grand nombre de redites et tout (ou presque) s'éclaire. Reste maintenant à etayer un peu l'article espace euclidien avec par exemple, norme distance et angle). Pour les commentaires restant à faire sur le nouvel article géométrie euclidienne voir Discuter:Géométrie euclidienne. HB 13 mai 2006 à 15:12 (CEST)

Voilà la première étape de faite. Elle représente pour moi la concrétisation des idées qui reflètent le consensus des différents acteurs.

Merci d'avoir conservé les parties restantes, elles serviront surement un peu pour l'enrichissement des articles connexes (par exemple l'histoire dans les éléments d'Euclide dans l'article sur les Éléments d'Euclide).

Néanmoins, à mon goût, si ce travail était nécessaire, il n'est pas encore suffisant. Les remarques de Salle ne sont pas toutes résolues, par exemple, les fractales ne correspondent pas à l'histoire de la géométrie euclidienne, elle amène donc une confusion inutile sur ce sujet finalement difficile. Il en est de même pour les remarques de HB. La rédaction est encore trop ambigue, une certaine lecture peut même laisser penser que l'espace euclidien peut être complexe.

J'ai recopié les remarques et je vais essayer de répondre à certaines. Jean-Luc W 14 mai 2006 à 12:30 (CEST)

Le périmètre de l'article

Opinion de Salle

Comme dit sur la page de discussion de Jean-Luc W, il me semble que cet article traite plus de l'évolution de la conception de la géométrie à partir des travaux d'Euclide que des espaces euclidiens ; c'est une matière extrêmement intéressante à mon sens et qui mérite un regroupement dans l'esprit de ce que l'article propose ; c'est-à-dire, je pense qu'il ne faut pas se contenter d'éparpiller sur les articles Géométrie non euclidienne, Construction à la règle et au compas, Programme d'Erlangen, Axiomes de Hilbert, mais bien admettre la nécessité d'un article qui fasse un survol historique et épistomologique du corpus, en entrant assez dans les détails pour que les enchaînements et les nuances d'idées soient compréhensibles ; en renvoyant ensuite aux articles plus spécialisés. On peut imaginer ensuite que le lecteur intéressé fera des allers-retours entre l'article de base et les articles détaillés. Je renvoie au commentaire ci-dessus pour la question du contenu mathématique (par opposition à historique et épistémologique) pour ce qui concerne les espaces euclidiens.

Mais il faudrait aussi un article géométrie euclidienne qui traiterait du contenu mathématique dans l'esprit d'Euclide (sans se préoccuper de formalisme etc...). L'article Géométrie euclidienne est une ébauche dans ce sens. La question est : comment coordonner les deux? Peut-être incorporer l'article à la Euclide dans le projet mathématiques élémentaires? Et faire de l'actuel article espace euclidien une sorte de portail, avec contenu historique, sous le titre Géométrie euclidienne?Salle 10 mai 2006 à 17:40 (CEST)

Opinion de HB

J'ai de mon côté pas mal réfléchi à la proposition de Salle. Transformer cet article en "géométrie euclidienne" et refaire un article technique sur espace euclidien. Il propose aussi de déplacer l'actuel article géométrie euclidienne dans géométrie euclidienne (mathématiques élémentaires). Cette idée me tente assez puisque la première critique que je fais à l'article actuel est de ne pas répondre explicitement à la question: qu'est-ce qu'un espace euclidien. je verrais donc bien

• Un article géométrie euclidienne qui reprendrait les idées développées dans cet article, en évitant les redites et les digressions (deux de mes reproches actuels) pour le maintenir à une taille raisonnable. On pourrait le décliner en géométrie euclidienne selon Euclide, géométrie euclidienne selon le produit scalaire, Géométrie euclidienne dans le programme Erlangen, L'echec de la géométrie euclidienne (naissance des géométrie non euclidienne), la géométrie euclidienne selon Riemann. Reste que le présent article après m'avoir grandement instruit me laisse avec des questions sans réponse : qui a eu l'idée de remplacer l'espace euclidien (avec distance et angle) par un espace avec produit scalaire? Comment s'insère la géometrie euclidienne dans le programme Erlangen ? Pourquoi diable Hilbert a-t-il éprouvé le besoin de donner une nouvelle définition de l'espace euclidien alors que l'espace avec produit scalaire était pleinement satisfaisant et ne nécessitait pas 20 axiomes ?
• L'article espace euclidien préciserait en introduction que la définition actuelle est le résultat de 2000 ans de réflexion et renverrait sur géométrie euclidienne. Il parlerait des espaces vectorielles euclidiens sur R , de la norme associée, du cas de la dimension finie, il parlerait des espace affines euclidien, préciserait la distance et l'angle (en dimension finie et infinie) donnerait des exemples d'applications et terminerait sur une ouverture vers les espaces hermitiens
• La création d'un article géométrie euclidienne (mathématiques élémentaires) ne me parait pas indispensable. D'une part nos élèves ne savent pas ou plus qu'ils travaillent sur un espace défini par les axiomes d'Euclide et, si le chapitre la géométrie Euclidienne selon Euclide est traité simplement, il peut servir d'accroche pour le lecteur néophyte.

Je propose d'autre part que la suite de la discussion se fasse sur la page de discussion de l'article géométrie euclidienne ou de l'article espace euclidien. Je laisse le soin à Jean-Luc de transférer les portions de sa page de discussion qu'il juge apte à alimenter le débat sur l'une ou l'autre page. HB 11 mai 2006 à 18:31 (CEST)

Histoire

Opinion de HB

• Le chapitre sur Euclide par exemple, me semble complètement hors sujet (à mettre dans la biographie d'Euclide ou en intro des éléments d'euclide). j'aurais d'avantage attendu là la définition axiomatique de l'espace euclidien, surtout avec le pb du cinquième postulat (rem, je l'ai trouvé plus loin donc il ne me semble pas à la place attendue).

Traité

• Le chapitre sur vers une nouvelle définition me semble mélanger plusieurs préoccupations : création de nouveaux ensembles géométriques qui n'on rien d'euclidien et sur l'on ne cherche pas à rendre euclidien et tentatives de généralisation de l'espace euclidien à autre chose que notre espace "naturel". De ces deux préoccupations la seconde seulement nous intéresse dans cet article et le chapitre pourrait être réduit de moitié.
• Parler d'espace vectoriel euclidien pour un espace vectoriel sur le corps des complexes, ou laisser sous-entendre cette notion me parait inapproprié. Si le corps est C, il s'agit d'un espace hermitien
• L'histoire de la remise en cause est trop longue et doit aller, à mon avis dans la partie historique de l'article: géométrie non-euclidienne. Dans cet article, ne devrait figurer que la remise en cause du cinquième postulat (je signale qu'il s'écrit différemment dans les deux articles), qu'est-ce que ça change sur le théorème de Pythagore que tu dis être significatif de la géométrie euclidienne. En quoi les autres axiomes restent inchangés ?

Traité Jean-Luc W 14 mai 2006 à 12:58 (CEST)

Opinion de Salle

Je suis intervenu principalement sur les deux premiers paragraphes :

• Pour le paragraphe d'histoire, j'ai essayé de rajouter un peu de liant, de sorte que les objectifs et les enjeux qui feront la structure de l'article soit évoqués plus explicitement ; pour moi, cela doit faciliter la lecture.

A mon gout tu atteins ton objectif, mon idée initiale est celle que tu mets en valeur. Il reste quelques petites fautes de style, que je me propose de corriger (trois fois le mot espace dans une phrase, un peu trop de nous et de on) mais le texte apparaît plus clair après ton passage. Es-tu d'accord?

OK

• Parag 1.3 : les citations de Gauss sont certes amusantes, mais n'est-ce pas un peu private de rédiger le XIXème siécle comme cela?

Le coté amusant illustre les difficultés de la révolution intellectuelle nécessaire, tu l'as précisement décrit, l'illustration ne me gène pas. Je propose de laisser Peps ou d'autres trancher. Sommes nous d'accord?

Pour le moment, je mets de côté ; mais je crois que j'y reviendrai.

L’approche euclidienne de la science de l’espace

Opinion de Peps

• dans le paragraphe 2.1. il semble qu'on soit avec la géométrie d'Euclide - au sens ancien
• mais en 2.3. on énonce la géométrie d'Euclide telle que reconstituée (et arrangée) dans l'enseignement < ou = au lycée.

Le sage Peps aurait il vu une subtilité qui m'échappe? j'imaginais, avec naïveté semble-t-il, que la géométrie d'Euclide et l'enseignement au lycée avant l'apparition du repère sont équivalent. Pour moi les deux correspondent à une espèce de bouillie intellectuelle tant que le grand Hilbert n'y met pas d'ordre. Ne voulant pas creuser à ce niveau là, j'ai jeté un voile pudique sur la vertu du brave Euclide.

Remarques pour le paragraphe 2. : il faudrait dès le 2.1., sans détailler, donner une idée des objets de la géométrie euclidienne : c'est une géométrie des points, segments, etc... en 2.2. la phrase sur le XVIe siècle n'est pas claire : en quoi les maths s'écartent elles de la géom du triangle (de quoi se rapprochent elles alors ?). L'idée que l'espace physique est euclidien est bien antérieure par contre.

Imparable, mais plus difficile. car il faut éviter les redites, maintenant encore une fois tu as raison.

Certaines remarques sont trop elliptiques : elles appellent plus de commentaires notamment l'évocation des nombres réels et de la méthode d'exhaustion ; à moins de raccourcir au contraire car ça risque d'ouvrir une trop grosse parenthèse.

Je suis pour ouvrir la boite de Pandore, certains lecteurs seront curieux, il ne faut pas les négliger. Qu'en penses-tu?

oui mais il faut trouver le moyen de ne pas perturber le plus grand nombre au profit des plus curieux. Ce qui veut dire que puisque le problème est le plus compliqué de ceux qui se traitent dans cette page, qu'il fait appel aux subtilités d'une autre page (nombre réel) et qu'il peut être disjoint du reste sur le plan logique, il est bon d'en renvoyer l'étude à un paragraphe final à mon avis. Peps 9 mai 2006 à 14:16 (CEST)

Pour "Euclide au collège et au lycée" : je ne suis pas sûr que les programmes actuels se préoccupent de questions de cohérence interne. Mais auparavant, je crois qu'il y avait eu des tentatives de faire des choses les moins bancales possibles. En tout cas le mode de présentation a varié, et n'est pas la recopie directe des postulats d'Euclide, même s'il y a sans doute, grosso modo, équivalence logique.

Par ailleurs, et de façon plus importante, ton exemple « prouver qu'une rotation laisse la distance invariante » n'est pas forcément très parlante pour le lecteur. Même si c'est moins fondamental, il semble plus éclairant pour commencer de parler de l'axiome de Pasch et dire que Euclide admet par lecture sur le dessin un certain nombre de propriété d'ordre ou d'incidence, comme quelque chose d'aussi simple que "étant donné une droite, il existe un point en dehors de la droite". (axiome non euclidien mais qui est peut-être dans les lycées/collèges lui ?) Peps 9 mai 2006 à 14:16 (CEST)

Opinion de HB

Pour moi, on est encore dans l'histoire, on repart sur Euclide avec enfin les postulats. Sur les outils, ça me parait très bien sauf que tu t'étales trop sur les réels et la méthode d'exhaustion. il me parait plus judicieux d'insister davantage sur la trigonométrie et la triangulation. Il me semble que l'on peut supprimer sans remord le chapitre sur les construction à la règle et au compas et se contenter d'une évocation et un renvoi sur nombre constructible. Tu dis en particuler que "Une famille de figures constructibles emblématique est celle des polygones réguliers" or il ne le sont pas tous (théorème de Gauss-Wantzel).

Opinion de Salle

• Pour le deuxième paragraphe, il y avait à mon goût un problème de structure : je propose de mettre le paragraphe sur les outils au début, ensuite règle et compas=succès avec outils d'Eucl. ; physique=succès mais avec outils analytiques en plus. Si j'ai bien compris le texte tel qu'il était, c'était bien de cela qu'il parlait (c'est-à-dire, je n'ai pas rajouté de contenu) ; je trouve juste que cette nouvelle structure soutient mieux le texte. Il s'est posé le problème d'une phrase sur la mesure ; je ne vois pas trop ce qu'elle venait faire dans un paragraphe Règle et compas (qui s'appelait déjà comme ça avant mon intervention) ; on peut l'y rétablir, mais il faudra expliquer. J'ai créé un nouveau sous-paragraphe juste pour souligner le problème, et peut-être pour proposer une solution : peut-on créer un nouveau sous-paragraphe avec ça, et avec la phrase sur l'exhaustion qui me paraît faire un peu bandelette là où il est?

Je suis complètement en phase avec tes deux remarques. En général, il est plus clair d'introduire une problématique théorique avec les exemples, dans ce cas particulier, la règle ne s'applique pas. La création d'un nouveau sous-paragraphe sur la mesure est parfaitement pertinente, à condition de l'enrichir un peu pour éviter le phénomème bandelette. Penses tu que ce soit justifié?

OK

• J'ai fait quelques modif mineures ailleurs, plutôt dans l'esprit de celles du premier paragraphe. En particulier, j'ai modifié des titres.

Opinion de D.Ch

"la trisection de l'angle et la duplication du cube, à l'aide seulement de la règle et du compas, ne se sont d'ailleurs montrés possibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques" Elles sont montrées impossibles, plutôt, non ?

Effectivement cela ne va pas. Cependant la phrase est

« Les trois grands problèmes de l'antiquité, à savoir la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube, à l'aide seulement de la règle et du compas, ne se sont d'ailleurs montrés possibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques.»

Du coup on ne peut pas plus remplacer par impossibles (les problèmes ne sont pas impossibles) . Je propose plutôt

« la résolution des trois grand problèmes de l'antiquité , à savoir la constructibilité ou non de la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube, à l'aide seulement de la règle et du compas, n'a pu d'ailleurs être possible qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques.

Je la mets en ligne mais on peut tenter une autre formulation. HB (d) 28 avril 2013 à 09:41 (CEST)

Extension de la géométrie euclidienne, et formalisation : le produit scalaire

Opinion de HB

• Les deux introduction alourdissent encore l'article sans vraiment l'éclairer. On a hâte de voir une définition claire d'un espace euclidien. Quand celle-ci apparait on manque la râter tant elle est noyée dans le bavardage.

"Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire."

• Si telle est la définition, que viennent faire les paragraphes "propriétés spécifiques aux cas réels" et "propriétés vraies en dimension finie"?
• Dans équivalence des approches, on assiste en fait à une présentation peu classique du produit scalaire comme une aire, mais pas à une réelle correspondance entre la définition axiomatique d'euclide et ce produit scalaire. Euclide parle de distance et d'angle et il faut bien chercher dans l'article comment, grâce à un produit scalaire, on évalue une distance et un angle (il me semble pourtant que cette notion devrait être mise en valeur). Il me semble que le dessin de la symétrie du produit scalaire induit en erreur : l'extrémité du vecteur y n'a aucune raison d'être confondue avec le point D.
• Le paragraphe : isométrie en géométrie euclidienne semble reprendre le paragraphe "vers une nouvelle définition". mais je n'ai pas vraiment compris quel était l'objectif de Klein et comment le produit scalaire répondait à sa préoccupation. (à fusionner)
• Le paragraphe : euclide et la logique reprend, en le développant, le même paragraphe figurant dans histoire (à fusionner)

Opinion de Salle

Essentiellement trois critiques:

Merci pour tes exemples sur le programme d'Erlangen ; encore une fois, ce sont des enjeux que je ne connais pas, mon intervention est vraiment naïve, je ne fais pas semblant, mais voilà ce qu'il me semble. Tes exemples ne répondent pas à mon attente : tu dis que la classification par cinquième postulat ou non devient caduque (ou du moins est trop particulière, et ne rends pas compte de la diversité de la géométrie) ; en fait, le programme d'Erlangen donne un bon cadre général ; qu'advient-il précisément du 5ème postulat ici? Pour tes exemples, on a à chaque fois une notion naturelle de droite, ce sont des modèles géométriques qui vérifient les 4 premiers postulats, et la question du cinquième se pose et est pertinente. Alors, qu'est-ce qu'Erlangen change en définitive? Y a-t-il des géométries erlangiennes où la question du cinquième postulat ne se pose pas? Ou bien est-ce juste une question qui se pose pour toutes ces géométries, qui est intéressante certes, mais qui n'est pas la question fondamentale?

Ensuite, complètement d'accord pour que les vraies maths soient faites dans des articles connexes ; c'est ce que je défends aussi.

Dernier point, sur l'équivalence des approches, et la boîte en 3.3, je suis assez dans le flou ; si tu parviens à démêler dans les remarques suivantes ce qui est pertinent et là où je passe à côté de l'enjeu, je serai content. Je partage l'avis de HB ci-dessous : pour moi tu ne montres pas l'équivalence des approches. D'ailleurs, je ne saisis pas précisément l'objectif de ce développement. Si j'en reste à mon idée de modélisation, il n'est d'ailleurs pas possible de démontrer l' équivalence des approches ; tout ce qu'on peut espérer, c'est montrer que l'espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire est un bon modèle pour les axiomes d'Euclide ; et c'est une démonstration qui se fait en vérifiant que ce modèle linéaire vérifie ces axiomes, point. Si on en reste à l'idée d'un article survol telle que je l'ai décrite ailleurs, c'est la seule chose qu'on peut inclure dans l'article. Pour moi, ce que tu fais, c'est autre chose (intéressant aussi), qui aurait sa place dans produit scalaire : c'est plutôt donner une interprétation géométrique du produit scalaire, qui fait sentir qu'on va obtenir une notion de mesure et de longueur ; et il n'y a pas d'enjeu de modélisation dans ton texte. Pinaillons encore : où se situe l'intervention du théorème de Thalès dans ton texte? L'utilises-tu juste comme illustration ou comme argument dans un raisonnement? Dans la deuxième éventualité, il faudrait déjà qu'il soit établi ; comme conséquence de l'axiomatique d'Euclide? Mais alors c'est que tu admets implicitement que ton monde (bi)linéaire est un modèle pour cette axiomatique. Or, n'est-ce pas ce que tu voulais montrer?

Opinion de Peps

• dans le 3. il est bien de donner des exemples d'abord mais du coup en entamant le paragraphe 3. on ne sait pas ce que tu vas faire : il faut une petite phrase d'intro du 3. "Certaines applications montrent une nécessité de réforme de l'approche axiomatique d'Euclide."

Sage, pertinent et sans appel.

Pour les exemples 3.1. et 3.2. on a envie de demander en quoi ils sont euclidiens : par exemple pour l'ACP parce qu'il y a un problème de recherche de distance minimale entre données expérimentales et loi empirique, etc...

Sage, pertinent et sans appel.

Peps 9 mai 2006 à 00:02 (CEST)

Euclide et la logique

Opinion de Salle

• Parag 4.2 : L'hypothèse du continu est un exemple de nouveau champ mathématique où cette base axiomatique se révèle trop incomplète pour trancher. Et Gödel a démontré que l'ajout d'un nouvel axiome pour permettre une démonstration ne fera qu'ouvrir un nouveau champs contenant d'autres propositions indécidables.L'hypothèse du continu a-t-elle vraiment à voir avec l'axiomatique de Hilbert? Est-elle d'ailleur formulable dans ce cadre? Pour moi, c'est plutôt lié à ZF. La deuxième phrase me semble redondante avec une phrase juste au-dessus.

Il est indiscutable que la phrase telle quelle pose problème. L'objectif de Hilbert est logique et non géométrique, il sait qu'une axiomatique de cette nature n'a plus de sens pour les géomètres. En terme de logique, Hilbert cherche la complétude et ne veut plus d'une situation ou il existe des propositions non démontrables. C'est tout l'enjeu de l'article de 1899. Dans ce contexte l'enjeu c'est justement des questions logiques du type hypothèse du continu. Est-elle formulable dans ce cadre? Presque, la logique des axiomes de Hilbert n'est pas une logique du premier ordre, en effet il existe 3 objets de base points droites et plans. Mais il suffit d'un tout petit peu de réorganisation de la construction pour obtenir une logique du premier ordre (un peu de théorie ensembliste et hop, il ne reste plus qu'un objet de base, le point, le reste devient défini comme un ensemble de points). Si ma mémoire est bonne, c'est fait en 1902, je ne suis pas entré dans le détail mais je ne suis pas loin. Tu as raison, l'affaire est lié à ZF comme le futur le montrera, les articles logique du début du XXe siècle utilisent systématiquement comme exemple les axiomes de Hilbert. Il est pionnier dans cette aventure et c'est le sens de son article. La deuxième phrase n'est théoriquement pas redondante, l'idée est qu'il existe des indécidables chez Hilbert, contrairement à son objectif déclaré, idée de la phrase 1. Phrase 2 le sens est : c'est inévitable, ajouter un axiome de fait que déplacer le pb. Je réécrit puis on en rediscute, es tu d'accord?

C'est bien ce que je souhaitais.

• Parag 4.1 : Ainsi, comme illustré sur la figure de gauche, la rotation d'un angle de 45° de la diagonale d'un cercle de coté 1 ne possède pas, à priori son extrémité A. Enfin les limites recouvertes par la construction euclidienne ne sont pas explicités.

Je ne comprends pas...

Si même toi tu ne comprends pas, je crains que l'objectif de l'article ne soit pas tout à fait atteint. Plaçons nous dans un repère orthonormal, les coordonnées du point A sont (1,1) celle du point A' devient racine de deux sur l'axe des x, qui n'existe pas sur les rationnels, le monde que les anciens avaient en tête. La question des limites dans ma tête est la suivante: Un ruban de Moebius est il un espace euclidien? si ce n'est pas le cas pourquoi? chez Euclide, on nage dans le flou. Est-ce plus clair? Je réécrit un texte et je te le soumets, tu me diras si cela fait sens, une réécriture de ta part après ne sera surement pas de trop.

Je me doutais bien que c'étaiy un truc comme ça. Je te laisse reformuler.

Généralisations

Opinion de HB

le renvoi aux géométrie non euclidien est trompeur puisque sont développées ensuite des généralistations "euclidiennes".

• Dimension infinie, rien à dire,
• espace hermitien rien à dire,
• distance négative rien compris : il me semble que dire qu'il existe des formes bilinéaires dans lequel la distance n'est pas positive n'a pas de sens. Comment définis-tu une distance dans ce cas-là (pour moi, la distance est la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui-même, elle nécessite que ce produit soit positif, si c'est le cas, le résultat ne peut pas être négatif)
• Variétés troisième fois que l'on entend parler des géométrie non euclidienne....

Bilan : à la fin de l'article, je ne sais toujours pas ce qu'est un espace euclidien (espace vectoriel sur R ? (je pense), sur C comme tu le dis parfois (pas d'accord), de dimension finie ou infinie ?)....

Opinion de Salle

• Parag 5 :Il existe en plus de nombreux cas où l'espace n'est pas vectoriel, Klein formalise des géométries non orientables, Georg Cantor (1845-1918) découvre un ensemble triadique dont la dimension n'est pas entière et qui maintenant est classé dans la catégorie des géométries fractales. La topologie ouvre la porte à la construction de nombreux autres cas.

Est-on vraiment dans un enjeu géométrique? Si oui, il faudrait développer. J'aurai tendance à être d'accord pour le problème de l'orientation ; ensuite, le terme de géométrie concernant les fractales recouvre des enjeux complètement différents de ce qui est évoqué jusque là. Pour moi, c'est de nature vraiment différente de toutes les évolutions décrites précédemment ; on est plus dans un glissement sémantique du terme géométrie que dans la découverte de nouvelles géométries. Salle 9 mai 2006 à 22:08 (CEST)

Pour les fractales, et le peu de théorèmes que l'on a à se mettre sous la dent, la réponse est naturellement flou. En fait quand je pense au fractales, je pense aux outils comme la dimension, la connexité sur le théorème de crotte de lapin de Douady la bifurcation de Hopf et Mandelbrot fait des jolis dessins mais ne produit pas un théorème. En bref, quand il y a un théorème c'est à ma connaissance essentiellement grâce à une approche géométrique. Maintenant, je suis pas en train d'ouvrir une polémique au lieu de la fermer? L'objectif est d'expliciter le fait que la géométrie euclidienne est loin d'être unique et pas uniquement à cause du cinquième postulat. Que parler de géométrie non euclidienne devient absurde car finallement fort peu de géométries sont euclidiennes et on ne décrit pas un objet par ce qu'il n'est pas. Sur la forme j'ai envie de défendre le fait que les fractales correspondent à une considération géométrique mais sur le fond je me range à ta position, les exemples sont suffisants pour que celui des fractales n'ajoutent rien. Sommes nous d'accord?

Là, je suis moins d'accord. Pour moi, la notion de géométrie non euclidienne reste un concept pertinent. Je ne connais pas le programme d'Erlangen (pas au-delà de ce qu'il y a dans l'article), mais si on en reste à : la géométrie, cela revient à se donner des points, des droites, une distance, et à étudier des propriétés d'incidence et des propriétés métriques, le cinquième postulat reste un critère de classification pertinent ; ensuite, si je prends l'exemple de la géométrie algébrique, ou de la géométrie des singularités, il me semble que souvent dans ces contextes, il y a certes beaucoup de choses qui ressemblent à des propriétés d'incidence, mais qu'il n'y a plus forcément de notion de distance ; je veux bien qu'on utilise le terme géométrie, mais j'ai quand même tendance à croire qu'il s'agit d'autre chose. A fortiori pour les fractales. Ce qui m'intéresserait, ce serait des exemples issus du programme d'Erlangen, où effectivement la question du cinquième postulat ne se pose pas, expliquer pourquoi, et où ça se situe. Si tu en as, je serais enchanté.

il y a la géométrie symplectique qui est une géométrie sans distance si je ne dis pas de bêtise (mais avec de l'orthogonalité et des volumes). La géométrie dans le sens de Klein c'est l'étude des espaces homogènes et c'est beaucoup plus touffu que les problèmes métriques : cf en:Klein geometry et en:homogeneous space. L'idée centrale c'est que tous les points sont pareils.

Néanmoins, on sort de la problématique initiale, et c'est un peu le piège avec Klein : on se retrouve à parler de géométrie en général alors que le sujet était géométrie euclidienne. Pour moi "géométrie non euclidienne" a un sens plus étroit que "géométrie". "Non euclidien" se rapporte explicitement au problème des postulats d'Euclide.

En reprenant le vocabulaire Sallien qui est très parlant, Riemann fait exploser les possiblités de constructions de modèles en apportant les variétés, Klein fait exploser les possibilités de constructions d'axiomatiques. Le tout se concrétise merveilleusement dans la notion de fibré principal, mais nous sommes en train de partir en chandelle loin de nos bases Peps 14 mai 2006 à 21:11 (CEST)

J'ai une vision un peu différente, jusqu'à Klein, il n'existe que des espaces homogènes, c'est ainsi que Gauss, Lobyai, Reimann imaginent la géométrie. L'idée centrale de Klein, c'est l'apport de l'algèbre au sens des groupes continus, qui formalise une géométrie (hélas simplectique et sans distance) mais qui est la formalisation naturelle qui amène au produit scalaire naturellement.'

oui mais la grande idée de Klein c'est de réaliser que "espace homogène" ce n'est pas seulement "les points sont pareils", mais "il existe une façon de transporter la situation en un point à la situationen un autre point". C'est-à-dire que c'est la bonne déf de l'espace homogène, avec un groupe agissant. Avant lui, la symétrie des situations entre deux points existe, sans mettre en premier plan le caractère dynamique. Peps 15 mai 2006 à 11:09 (CEST)

Des exemples, des exemples!!Salle 15 mai 2006 à 09:54 (CEST)

Jean-Luc s'est intercalé donc ça devient dfficile de savoir sur quoi porte ta question : cf plus bas Peps 15 mai 2006 à 11:05 (CEST)

Salle nous sommes d'accord, mais les exemples doivent explicités une pensée précise et bien décomposé dans les différentes articles. La géométrie de Minkowski enfant direct de Klein on la met où? et pourquoi?

Résumons les points d'accords et les difficultés encore présentes:

• Les fractales ne sont pas dans le cadre de l'article. Ma bêtise consiste à généraliser de géométrie euclidienne à géométrie tout court, en fait ce n'est pas la bonne généralisation. Conclusion, il faut préciser la signification du mot géométrie et du mot généralisation.

on peut dans cet article prendre Euclide pour guide : on parle ici de géométrie métrique (ce n'est malheureusement pas un pléonasme) et s'il doit y avoir des extensions c'est vers géométrie hilbertienne réelle ou complexe, riemannienne, pseudo-riemannienne, espace métrique (dangereux ? il y a pourtant tout un pan qui se traite avec de la géométrie riemannienne) Peps 15 mai 2006 à 11:18 (CEST)

• Les apports de Lobyai, Riemann, Klein en géométrie sont mal explicités. Pour moi Lobyai c'est la recherche du contre-exemple, cela ne va guère plus loin. Riemann, en revanche est dans une optique Gaussienne. Pour parler moderne, Riemann enrichit la notion de géométrie et l'applique à d'autres domaines comme les Edp, la géométrie devient un outil central dans l'analyse car il met à disposition de nouvelles méthodes. Klein normalise la notion de géométrie à l'aide d'un groupe topologique. Klein c'est la formalisation d'un espace géométrique homogène à l'aide d'une variété et d'un groupe. Klein c'est le produit scalaire qui quitte la notion d'anecdote avec la matrice d'inertie de Sylvester et ses invariants pour entrer dans le cadre général de la géométrie.

à peu près d'accord (sauf sur le massacre systématique de Lyai-Bo, qu'est ce qu'il t'a fait ?) sur le principe. Mais je trouve que la géométrie eulidienne illustre mal les idées de Klein, dont l'intérêt ne se voit bien que si on élargit la vision (par ex avec au moins le projectif), ce qui fait immanquablement partir sur du hors sujet. Je me demande si cet article est le bon lieu pour parler de Klein autrement quepar un renvoi ? Peps 15 mai 2006 à 11:18 (CEST)

(reprise réponse sur des exemples)

Bin toute la mécanique hamiltonienne et la mécanique quantique ont des propriétés symplectiques, avec la notion de variable conjuguée. Dans les plans formés par deux directions conjuguées, l'aire est conservée. Par exemple si tu étales un nuage au niveau position (coordonnée 1), il faut le rétrécir au niveau vitesse (coordonnée 2). Les transfos symplectiques sont celles qui respectent ces "aires par tranches". La déf technique est détaillée dans en:Symplectic vector space. Les sous-espaces en revanche ne sont pas indiscernables : par exemple on définit les sous-espaces isotropes, co-isotropes et lagrangiens (ces derniers ont pour orthogonal eux-mêmes). Est-ce que c'est ceci que tu demandais ? Il me paraît à peu près intuitif qu'on peut axiomatiser la géométrie symplectique à la façon de Hilbert, mais je ne sais pas si quiconque s'y est amusé puisque dans la pratique ce n'est pas utile.

Enfin pour faire le lien avec fibré principal, c'est pareil de munir (quand c'est possible) une variété d'une structure symplectique ou de définir une structure de fibré principal pour le groupe symplectique sur le fibré des repères (j'espère que je dis les choses correctement) : je regarde l'ensemble de tous les repères en tous les points de la variété et je regarde ceux qui se correspondent par symplectomorphisme ; l'analogue en géométrie riemannienne serait je regarde ceux qui se correspondent par une isométrie (globale). Peps 15 mai 2006 à 11:05 (CEST)

Relecture du 06/01/08 par HB

Lecture très agréable, la partie sur Minkowski est devenue très claire. Quelques points soulevés.

• Intro : Dans "Son aspect mathématique est traité de manière didactique dans l'article produit scalaire. Elle correspond à la formalisation d'un vecteur à l'aide d'un bipoint, développé dans vecteur. " à quoi se rapporte le mot "elle"?
• 1.2." Les trois grand problèmes de l'antiquité ... ne sont d'ailleurs montrés impossibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques : l'arithmétique. " Il me semble que les problèmes de non constructibilité font plus appel aux notions d'extensions galoisiennes que l'on peut difficilement classer dans l'arithmétique.

Gauss écrit ceci La théorie de la division du cercle ou des polygones réguliers, ..., n'appartient pas, par elle même à l'Arithmétique, mais ces principes ne peuvent être puisés que dans l'arithmétique transcendante. Recherche Arithmétique page XV. Si l'argument te convaint, je source, sinon je modifie.

• 1.2. "Le théorème de Thalès permet à Ératosthène (276–194 av. J.-C.) de mesurer la circonférence de la terre " Il ne me semble pas que le lien soit aussi immédiat : il s'agit plutôt de proportionnalité entre angle au centre et longueur d'arc.
• 1.2. "Cette technique, dite de triangulation, permet aux marins de connaître leur position" Si "cette technique" se rapporte au théorème de Thalès j'ai quelque doute, et j'en ai aussi concernant le travail d'Eratosthène : "cette technique" fait référence à la trigonométrie dont tu devrais parler dans cette rubrique
• 2 Modèle linéaire : le titre me parait mal choisi car je l'ai d'abord lu comme modèle en forme de ligne(?) et n'ai pas compris pourquoi on privilégiait les droites. Pourquoi ne pas titrer "Les apports de l'algèbre linéaire" ou "les apports de la la géométrie algébrique" ou autre... Je propose Approche algébrique de la géométrie, la géométrie algébrique est devenue bien différente
• 3.2."Klein définit une géométrie par l'ensemble de ses isométries c'est-à-dire les transformations laissant les distances invariantes" : il me semblait qu'à l'inverse Klein classifiait les géométries par des groupes de transformations qui n'étaient pas seulement le groupe des isométries ?
• 3.2. Je n'ai pas compris cette phrase : "Cet ensemble bénéficie d'une structure nouvelle pour l'époque, celle d'un groupe particulier puisqu'il possède lui même une géométrie. "
• 3.3 Illustration "cas ou les nombres ne sont pas réels" : ne faudrait-il pas mieux remplacer par "cas où les nombres ne sont pas rationnels" ?
• 4. Le titre "Généralisations" est ambigu et a contribué, il y a un an, à me rendre confuse la dernière partie. Pour moi, une généralisation c'est quand on étend une mêmenotion à un domaine plus vaste. Ici, il ne s'agit pas de la même notion, nous n'obtenons plus des espaces euclidiens. Ne pourrait-on pas trouver un autre titre indiquant clairement que l'on quitte le champ euclidien "Extension" , "ouvertures vers d'autres géométries", "Variations" ou autre....
• 4.3. A mon avis, on peut enlever l'allusion au théorème de Pythagore. Je mettrais bien la phrase "si on note.....en géométrie euclidienne le carré de la distance du point à l'origine est donnée par la formule.." car d'une part, on ne va pas le faire (on choisit une autre forme quadratique), d'autre part, je ne sais pas si on peut parler de repère orthonormal dans un espace de Minkowski (othogonalité?).

Voilà donc ces quelques (peu nombreuses) remarques sur ce qui me semble vraiment un bon article. HB (d) 6 janvier 2008 à 17:31 (CET)

Bilan des courses, 7 remarques où nous sommes d'accord, et une polémique. Si tu trouves ma justification douteuse, je modifie, sinon je source. Personnellement j'aime bien la vision de Gauss, mais je n'en fait pas une affaire d'état. Merci infiniment. Jean-Luc W (d) 6 janvier 2008 à 18:54 (CET)

Quelle réactivité ! Il ne reste que le problème de l'allusion à l'arithmétique dans les questions de constructibilité. J'ai vu que Claudeh5 avait des réticences analogues : le pb des nombres constructibles semblent pour nous faire appel à d'autres notions que l'arithmétique. Si on laisse il faut pour le moins sourcer avec le texte exact de Gauss mais avant peut-être faudrait-il clarifier ce que Gauss appelle l'arithmétique transcendante pour éviter un contresens éventuel. Cgolds pourrait je pense nous éclairer utilementHB (d) 9 janvier 2008 à 17:32 (CET)

Des critiques récurentes

Claude, Peps, Yelkrokoyade et HB font certaines critiques analogues sur l'article. Quatre contributeurs ayant un souci de même nature montrent qu'il existe cet axe d'amélioration. Je vais essayer de résumer tout ceci ainsi que les moyens qu'il faudrait mettre en oeuvre pour y répondre.

allez, je mets mon grain de sel

première remarque, il est tout à fait faux de dire (et donc de croire et laisser croire) que rien n'a été fait avant Gauss sur la question du 5e postulat: Saccheri en fait était à rien de la solution. A-t-il manqué d'audaces ?

Je pense qu'il n'avait pas les moyens de formaliser convenablement la géométrie. Tant que les démonstrations euclidiennes font autant appel à l'intuition que la logique, il est difficile de démontrer l'existence d'une géométrie non euclidienne. Pour Euclide, la droite est la ligne qui s’étend également par rapport à ses points. Comme le fait remarquer Enriques, une hélice répond à cette définition. Avec un tel flou, il est difficile de comprendre qu'une sphère est un exemple connu depuis l'antiquité de géométrie non euclidienne.

deuxième remarque: les éléments d'euclide ont été battus en brêche avec l'apparition du traité de Legendre. On n'en dit rien ?

Les éléments d'Euclide sont battus en brêche par Eudoxe (pourtant rédacteur probable d'une partie non négligeable des éléments), Clavius, Leibnitz et bien d'autres. Legendre est le didacticien important de la géométrie euclidienne ainsi que l'auteur de preuves subtiles et foireuses du cinquième postulat. Son apport n'est définitif ni en logique ni pour l'élaboration d'une géométrie non euclidienne. Voilà pourquoi je n'ai pas su l'intégrer.

troisième remarque: la question de la représentation géométrique des complexes (truel, wessel, argand, bellavitis, ...) est une question centrale qui mène à Hamilton, aux quaternions et aux octavions de Cayley. On cherche à algébriser la géométrie.

J'ai été extrêmement bref sur la modélisation linéaire de la géométrie. Je n'ai cité ni l'apport de Grassman, ni celui de Péano ni celui de Banach, qui finira pourtant par être celle qui s'impose. Je ne suis pas sur qu'il faille insister beaucoup plus sur Hamilton. Finalement son succès est plus un succès d'estime et a peu d'impact sur la modélisation linéaire. En revanche je n'ai cité ni les travaux de Grassman (deuxième modélisation qui ne s'impose pas) ni ceux de Péano ( troisième modélisation qui n'a pas plus de succès que celle de Grassman ou Hamilton). J'imagine que ce sujet doit avant tout être traité avec les espaces vectoriels.

quatrième remarque: il ne faut pas se laisser égarer à des propos manifestement faux: "Pour aller plus loin, comme par exemple pour l'étude des coniques[4] par Blaise Pascal (1623-1662) ou pour la naissance du calcul infinitésimal[5], l'introduction d'un repère est obligatoire." En lisant cela Appolonius de Perge s'est retourné dans sa tombe et a crié haut et fort une grossièreté que la décence interdit de rapporter même deux mille ans plus tard.Claudeh5 (d) 7 janvier 2008 à 16:38 (CET)

Corrigé.

cinquième remarque:"" Les trois grand problèmes de l'antiquité ... ne sont d'ailleurs montrés impossibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques : l'arithmétique. " Ah bon ? mais l'impossibilité de la quadrature du cercle est une question de pure analyse, non ? La démonstration de Lindemann n'a pas grand chose d'arithmétique, pas plus que celle de Hermite sur la transcendance de e. J'avais déjà fait remarqué que Liouville lui-même n'a pas utilisé la théorie de Galois pour démontrer ses théorèmes sur les "nombres de Liouville"...

Corrigé.

une dernière remarque concernant le style: Personnellement je n'écrirai jamais "un esapce ... s'appelle un espace hermitien". Cela pour une raison simple: j'ai pour prénom Claude mais jamais je n'ai besoin de m'appeller (car je sais à priori où je suis)! On m'appelle "Claude" mais je ne me suis pas appelé ainsi et même je ne me nomme pas ainsi, ce sont les autres qui m'ont nommés. i y a cependant quelques râres exceptions: les papes se nomment au moment où ils sont élus... Mais j'admets que je suis peut-être un peu "roide".Claudeh5 (d) 7 janvier 2008 à 16:55 (CET)

Corrigé. Jean-Luc W (d) 17 janvier 2008 à 19:17 (CET)

Analyse de Yelkrokoyade

Voici une source qui pourrait t’intéresser et qui reprend un article de Imre Toth parut en février 1977 dans la revue La Recherche : « La révolution non euclidienne » La Recherche en histoire des sciences, 1983, (ISBN 2-02-006595-9).

Le plan est le suivant :

• Un monde connu mais sans existence reconnue
• La géométrie non euclidienne n’a pas été refusée seulement par les ignorants
• Dühring et «  les parties dégénérées du cerveau de Gauss »
• Les luttes de Lobatchevski
• Les réserves de Cayley et l’intolérance de Frege
• La géométrie anti-euclidienne : un système cohérent mais considéré comme faux
• La lucidité d’Aristote
• Triangle euclidien ou triangle non euclidien ? Pour Aristote, l’alternative reste ouverte
• Une démarche clé : admettre la pluralité des mondes géométriques
• Fécondité de la négation
• Le résultat d’une libre création

Je n’ai pas lu Géométrie euclidienne en détail mais le paragraphe Géométrie euclidienne#Remise en cause de la géométrie d'Euclide démarre au XIXe siècle alors que d’après Imre Toth, il semble que « le ver soit dans le fruit » (ndlr : l’expression est de moi) depuis Aristote : « Aristote mentionne seize fois la proposition anti-euclidienne concernant la somme des angles du triangle, mais jamais il ne la qualifie explicitement d’absurde, d’impossible ou de fausse. Il mentionne cinquante-deux fois la proposition euclidienne correspondante, mais jamais il ne la présente comme une vérité nécessaire dont le contraire serait impossible, voire absurde, mais seulement comme un énoncé général […] Mais il parle de la somme des angles du triangle comme d’une quantité qui peut être aussi bien égale, supérieure ou inférieure à deux angles droits (180°) »

Plus loin « En critiquant les auteurs de cette tentative (ndlr : la démonstration d’un des lemmes fondamentaux de la géométrie euclidienne par le seul moyen des propositions de la géométrie de Bolyai, ce qui était vicié par l’introduction d’un raisonnement circulaire) Aristote laisse transparaître que, pour échapper à ce cercle vicieux, il faut consciemment adopter comme vrai , sans aucune démonstration, un des lemmes euclidiens figurant dans le raisonnement »

Peut-être faudrait-il que l’article apporte cette précision historique ? --Yelkrokoyade (d) 2 janvier 2008 à 20:35 (CET)

Tentative de réponse

1. L'analyse du cinquième postulat ne commence pas au XIX^e siècle. Saccheri était au bord d'une solution remarque Claude, et Legendre avait travaillé sur la question. Aristote mettait sérieusement en doute le postulat et les grecs en général avaient dès l'antiquité remarqué que la sphère est une géométrie où toutes les parallèles se croisent.

J'ai répondu ceci Voilà une question fascinante, elle tourne essentiellement autour du cinquième postulat, la raison qui m'a poussé à écrire l'article. Pour Euclide, la réponse n'était pas évidente. Il supposait l'unicité de la géométrie, mais n'était pas catégorique. Pour beaucoup de grecs comme Aristote la question était ouverte et ne préjugeait pas de la réponse. Le plus fascinant est qu'ils avaient bien compris qu'il est possible d'imaginer une géométrie de la sphère. Quel est donc le problème ? pourquoi le cinquième postulat reste ouvert si la solution est connue depuis si longtemps ?

La seule réponse qui semble faire sens est le fait que pendant 2000 ans, la sphère n'est pas considérée comme une géométrie. Elle n'est finalement qu'une partie d'un monde de dimension trois, pas une géométrie de dimension deux intrinsèque. Cette solution est considérée comme hors jeu. Aristote, comme d'autres grecs sont donc partiellement lucides. Il existait deux solutions, soit construire une géométrie, par exemple à partir d'une sphère et montrer qu'elle vérifiait les quatre premiers axiomes d'Euclide, soit définir une structure à partir d'axiomes. Seule la deuxième approche était considérer comme licite, mais démontrer le lemme s'avérait bien difficile. La réponse consistant à supposer vrai sans démonstration un lemme était et reste clairement choquante.

Le problème de fond réside dans le fait que l'axiomatique d'Euclide ne tient pas la route. Une approche rigoureuse montre que tu ne peux rien démontrer, ni Thalès ni Pythagore. Les 2000 ans de maths reposent sur des raisonnements du type il est bien évident qu'une rotation ne modifie pas l'aire d'une surface. Pour une géométrie euclidienne un raisonnement de ce type est admis. Pour un espace non euclidien, le monde reste sur la défensive et le lemme reste mystérieux. C'est la fin du XIXe siècle qui voit apparaitre des intolérants prétendant que rien n'est évident sans démonstration.

Je n'ai utilisé l'histoire que comme un support pour exprimer les grandes idées de la géométrie euclidienne. Elle est donc très partielle. Je le sais et c'est volontaire. Comme de plus, nous sommes trop haut en complexité. Un commentaire m'inquiète : un peu hard à vrai dire, mais il faut ce qu'il faut, pour une encyclopédie, non ? . Un article de cette nature vise surtout les gens qui ne connaissent pas la géométrie euclidienne, il ne faut donc pas complexifier l'article. La solution est encore à trouver.

Pour cette raison j'ai juste parler de Descartes, car l'objectif est uniquement de décrire l'utilité d'un repère. Que les repères datent de bien avant lui, c'est indéniable et que les coniques sont sujet d'étude depuis longtemps aussi. Ce n'est pas faux de dire qu'il va plus loin étudiant par exemple, à partir des coniques, des courbes dérivées de l'optique ou de la cinématique. Néanmoins, le propos est inutilement polémique. Que pour les calculs infinitésimal au sens de Leibnitz ou Newton, un repère est une quasi obligation, je serais un peu plus ferme.

Les trois grands problèmes de l'antiquité, indéniable, je pousse le cochonnet un peu plus loin que la décence ne l'autorise. Dans le fond, le terme arithmétique au sens moderne couvre autant les techniques analytiques que celle algébriques (cf les conférences sur le sujet à la rue d'Ulm) qui sont pléthore. Mais je reconnais que dans le texte le terme arithmétique fait référence aux travaux de Gauss, fort peu analytique en la matière.

La cinquième remarque me semble plus légère, mais indiscutablement pertinente.

Le fond est un parti pris d'utiliser des évènements historiques pour étayer un fond essentiellement mathématiques. On y gagne un style plus léger à lire, en revanche, les transitions sont sauvages avec des sautes de plusieurs siècles que l'histoire des mathématiques ne reconnait pas. Je ne suis pas sur que cette manière de procéder est la meilleure. Yelkrokoyade a fini par être d'accord, il admet que les lignes directrices sont imposées par la géométrie euclidienne et non pas par l'histoire, mais il vous reste tous un gout d'étrangeté sur un choix éditorial finalement peu pertinent.

Je vais corriger les erreurs locales, mais pas le fond. Cela demanderait trop de travail et je préfère me concentrer plus sur d'autres articles. Ensuite, je pense que le loup que soulève Proz est encore plus grave.

La vision de Proz

Je n'ai que parcouru sommairement mais cet article semble très bien (et une très bonne idée). Sur les paragraphes "Euclide et la rigueur" et la "réponse de Hilbert". Je réponds rapidement, mais je peux aller voir plus loin si c'est utile. Je n'ai jamais lu les fondements de la géométrie de Hilbert mais a priori, l'axiomatisation de Hilbert est une axiomatisation où la notion d'ensemble est implicite, c'est une axiomatisation au second ordre (comme on dit maintenant, à l'époque ceci est loin d'être clair). C'est exactement la même chose que pour l'axiomatisation des réels (on en a besoin pour les axiomes d'Archimède et de la borne sup, ou leurs équivalents). Comme pour les réels l'axiomatisation est "complète" (idem que tout corps archimédien complet est isomorphe à R), mais c'est relativement à un modèle implicite de la théorie des ensembles (une théorie assez faible, genre arithmétique du second ordre pour les réels doit suffire, mais ça ne change rien). Evidemment le th. de Gödel s'applique (comme pour les réels), mais à l'axiomatisation une fois complètée. Dit autrement, on ne peut pas décrire récursivement jusqu'au bout une telle axiomatisation (logique comprise) en restant complet. Donc comme je crois qu'Hilbert a laissé la notion d'ensemble implicite, ce n'est pas le bon cadre pour parler d'hypothèse du continu, ni trop du th. de Gödel.

Limpide, les remarques sont retirées.

Remarque : les droites et plans peuvent être vus comme des objets de base, ça ne pose pas de problème en logique du premier ordre. On peut donner une axiomatisation de la géométrie au premier ordre (Tarski), mais elle repose alors sur la notion de corps réel clos. Ca fait quand même une axiomatisation complète et décidable dans laquelle on peut traiter tout ce qu'on appelle d'habitude géométrie élémentaire (complexité théorique très mauvaise, mais il y a des logiciels qui résolvent quand même des choses non triviales en pratique).

Sa logique est d'ordre deux, je me demande néanmoins si une telle notion a sa place dans un article de cette nature.

Retour sur l'article lui même : il me semble qu'Hilbert a aussi montré la cohérence des axiomes (en se ramenant aux réels qu'il construit il me semble par les proportions de façon analogue à Euclide), et qu'il y attachait de l'importance. En tout cas Poincaré le souligne quelquepart. D'où viennent au fait les 3 critères que tu (je suppose ?) mets en avant ? Pour les motivations de Hilbert, le contexte, je ne suis pas très au courant, tout ça doit être lié à la formalisation de l'analyse. Je ne suis pas sûr que le programme d'Erlangen soit à opposer à l'axiomatisation de Hilbert. enfin l'axiomatisation de Hilbert peut se mettre "en kit" : on peut dire juste ce qu'il faut pour avoir un corps par ex.

Pour être précis, il rend facultatif la complétude et se limite dans son exemple à un corps commutatif archimédien dénombrable : la clôture quadratique des rationnels. Les trois critères étaient imprécis, j'utilise maintenant ceux de son introduction. Pour lui le programme d'Erlangen offre l'avantage de permettre une formalisation axiomatique plus sympathique car du premier ordre. Il précise (le texte est ici la traduction anglaise) We have thus excluded from our study the important question as to whether it is possible to construct a geometry in a logical manner, without introducing the notion of the plane and the straight line, by means of only points as elements, making use of the idea of groups of transformations, or employing the idea of distance. Il refuse néanmoins l'approche avec les groupes de Lie à cause de l'axiome de la différentiabilité qu'il juge intuitivement non nécessaire : First of all, it would seem to me desirable to discuss thoroughly the hypothesis of Lie, that functions which produce transformations are not only continuous, but may also be differentiated. As to myself, it does not seem to me probable that the geometrical axioms included in the condition for the possibility of differentiation are all necessary.

"Euclide et la rigueur" : je ne suis pas convaincu par la présentation (à dire vrai j'ai le même problème avec nombre réel). Autant que j'ai compris quelque chose (par ex. routes et dédales, Dahan-Dalmedico Peiffer, que je n'ai pas sous la main en ce moment), il y a une théorie des proportions, attribuée à Eudoxe et exposée dans Euclide, et qui traite tout à fait rigoureusement de ce que nous appellerions, sûrement de façon anachronique, les réels (positifs) en général (même s'il y a des hypothèses implicites au départ), avec la méthode appelée ensuite d'exhaustion, qui permet tout à fait de traiter des proportions irrationnelles, et même non algébriques (pi). certains y voient une préfiguration des coupures de Dedekind. Simplement cela repose sur l'intuition géométrique, et le lien entre proportions et nombres arithmétiques est laborieux. Mais il me semble que Hilbert montre justement que cette approche est possible.

J'ai intégralement refondu le texte. La théorie des proportions est son chapitre III. Étonnamment, il montre la non nécessité de l'axiome d'Archimède. Tu peux donc établir Thalès ainsi que les résultats sur les similitudes sans cet axiome. La méthode d'exhaustion peut se limiter aux cas des nombres algébriques et même aux nombres éléments de tours d'extensions quadratiques. Je n'ai pas creus" plus loin (il m'a déjà fallu quinze jours pour comprendre le texte de Hilbert ainsi que les principaux textes et construction auquel il fait référence, je n'ai fait que le stricte minimum). La nouvelle version te convient-elle ?

Orientation de l'espace : ça me semble possible. Pas de transformations : sûrement, mais est ce que ce n'est pas de la reconstruction a posteriori ? On ne pourrait pas se passer de transformations en parlant d'angles, de rapport de longueur ? Est-ce que justement Hilbert ne fait pas ce genre de choses ? Je ne sais pas moi même ce qu'il manque exactement dans Euclide et où ça peut se trouver, mais je suis, peut-être à tort, moyennement convaincu.

Tu as tout à fait raison d'être moyennement convaincu, ce n'est pas un sujet du texte. J'ai retiré. Suggestion : ne pourrait-on employer Géométrie d'Euclide, pour distinguer de géométrie euclidienne qui a pris un autre sens ?

Voilà un vrai problème. Le paragraphe n'est dans le fond pas convainquant du tout. Voilà une semaine que je réfléchis sur une manière simple de présenter cet aspect des choses. Je n'ai pas encore d'idée géniale. Ces remarques sont à mes yeux la priorité des corrections lourdes à faire sur l'article. Jean-Luc W (d) 10 janvier 2008 à 18:28 (CET)

un site à visiter

http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GNEIntro/PrecursG.htm Claudeh5 (d) 13 janvier 2008 à 12:40 (CET)

L'axiomatique de Hilbert est-elle complète ou non?

J'avoue que je me suis toujours posé la question.

L'article, dans la section "La réponse de Hilbert", dit que "non" mais l'argumentation porte totalement à faux car parle d'autre chose: les thms de Gödel mentionnés portent sur d'autres axiomatiques concernant, des nombres ou des ensembles (Principia mathematica de Russell et Whitehead, Axiomes de Peano ou théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel), pas sur la géométrie.

Donc :

1. qu'en sait-on?

2. En tout cas ce qui est mis dans l'article est hors sujet et doit être retiré. notamment la phrase "La complétude n'est pas non plus atteinte. En fait, le mathématicien Kurt Gödel (1906-1978) démontrera[20] en 1931 que, dans un tel contexte, la complétude n'est jamais accessible."

Absolument, c'est chose faite.

Je ne comprends pas non plus la phrase suivante qui mentionne l'hypothèse du continu, vu qu'elle me semble inexprimable dans le seul langage de la géométrie de Hilbert. Donc à supprimer aussi (?) 3. Si par hasard la réponse est connue et est que cette axiomatique est incomplète et qu'elle découle de celle de l'arithmétique, il faut le dire explicitement avec des sources fiables. Je lis dans Axiomes de Hilbert :

"Tarski a donné une axiomatisation au premier ordre de la géométrie, qui repose de fait sur la notion de corps réel clos (et non sur le corps des réels), et qui est décidable et complète, à la différence de l'axiomatisation de Hilbert. " (mis en italique par moi). Comme tu le dis au point deux, la question est hors sujet, il me semble donc inutile de préciser.

Ce qui résout le pb, quelqu'un pour confirmer, expliciter et apporter des sources?. --Epsilon0 ε₀ 16 janvier 2008 à 18:43 (CET)

Relecture par un physicien

Nous travaillons sur l'article Géométrie euclidienne. La fin de l'article, plus précisément les deux paragraphes Espace de Minkowski et Variété font appel à la physique mais écrit par des matheux (pour un large publique, l'article est à vocation généraliste). Aurions nous commis des impairs ? Merci, si d'aventure tu avais le temps et le désir, pour ta relecture des deux paragraphes incriminés. Jean-Luc W (d) 3 janvier 2008 à 11:47 (CET)

je regarde ça dans quelques jours, mais pas tout de suite tout de suite, pas le temps, désolé... David Berardan 8 janvier 2008 à 09:00 (CET)

1. pour Espace de Minkowski, j'ai tout compris sans soucis. Maintenant je pense qu'il serait positif de faire deux ou trois modifs. Muni de cette forme, l'espace est dit de Minkowski : ça serait pas mal d'expliciter un peu ce que signifie "muni de cette forme" (si j'ai bien compris il s'agit de la définition de la norme, c'est ça ?). Pour aller du centre noté A sur la figure de droite au point C, il est nécessaire de dépasser la vitesse de la lumière pas de soucis, mais ça ne prendra que deux lignes d'écrire pour quoi et ça éclairera la compréhension je pense. L'ensemble des points à distance nulle de A forment un cône appelé cône de lumière de A là je pense qu'un peu plus d'explication est nécessaire : ce n'est pas intuitif d'associer "distance nulle" à "x²+y²+z²+(ct)²=0", donc je pense qu'il faudrait être plus descriptif sur ce que tu appelles distance. Corrigé
2. pour Variété. Aucun soucis, juste une remarque mineure : La surface de la Terre donne un exemple immédiatement accessible. Le plus court chemin entre deux points se situe toujours le long d'un grand cercle dont le centre est celui de la Terre. : euh... oui mais à condition d'oublier qu'il y a des montagnes ^^ ne vaudrait-il pas mieux prendre pour exemple une simple sphère ?. Corrigé

j'espère que mes remarques seront utiles ! amicalement, David Berardan 26 janvier 2008 à 17:54 (CET) J'imagine, tes remarques ont été pris en compte. Jean-Luc W (d) 28 janvier 2008 à 18:12 (CET)

Vulgarisation

Ne faudrait-il pas indiquer rapidement dans l'article que c'est la géométrie qui est apprise à l'école? Plutôt de dire qu'elle est axiomatisée?--Tooony (d) 30 mai 2008 à 09:29 (CEST)

Evidemment! Les évidences, ce n'est pas toujours ce qui se voit le plus facilement. Merci pour cette judicieuse remarque. Jean-Luc W (d) 30 mai 2008 à 09:42 (CEST)

Relecture par un autre physicien

Avant tout bravo et merci pour les auteurs et cet article de qualité! Je suis favorable de ne rien enlever, mais d'ajouter un detail dans l'expression de la distance dans l'espace de Minkowsky, s2=r2-(ct)2 au lieu de r2-(ct)2. D'autre part mentionner quelque part que l'espace de Hilbert est celui utilisé en mécanique quantique serait pas mal.

Distance négative dans l'espace temps de minkowski

Il me semble qu'il y a une erreur, lorsqu'il est dit que la distance entre un point A (centre du cone de lumiere) et un point C situé à l'exterieur du cone de lumiere est de carré négatif et donc imaginaire. Il me semble que le point C a une coordonné temporelle plus faible que la coordonnée spatiale (t<x) et que donc la distance définie un peu plus haut comme dx²+dy²+dz²-c²t² devrait être positive (c = 1 dans la figure du cone de lumière).

Ce sont les distances "time-like" (dans le cone de lumière) qui sont imaginaires il me semble.

Ajouts non justifiés

Les ajouts de la nuit du 31 aôut au 1er septembre semblent plutôt de l'ordre de digressions ou réflexions personnelles : aucune justification, souvent peu clair, ou franchement faux, comme la longue digression sur le plan Q^2 ("il est pourtant toujours possible de trouver le point unique d'intersection d'une droite et d'une de ses normales passant par un autre point" : pas de normale ; la continuité nécessaire pour l'intersection de deux cercles : c'est une condition algébrique) il y a des choses très contestables sur "l'introduction de postulats supplémentaires pour étendre la géométrie classique euclidienne" (si c'est celle axiomatisée par Hilbert ça n'est pas possible). Bref je ne vois pas d'autre solution que de revenir à la version du 30 août. Proz (d) 1 septembre 2011 à 21:11 (CEST)

Quel est le titre exact du livre d'Al Kwarizmi ?

Bonjour,
Dans son diff d'aujourd'hui, un contributeur remplace ce texte : "Le traité d'[[Al-Khawarizmi]], un mathématicien persan du {{VIIIe siècle}}, intitulé ''La transposition et la réduction ...''
par celui-ci : "Le traité d'[[Al-Khawarizmi]], un mathématicien persan du {{VIIIe siècle}}, intitulé [[Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison|''La transposition et la réduction ...'']].
Vérification faite, le titre de la page est bien celui du lien, et je ne trouve nulle part la mention de "transposition etc." Vu ma faiblesse en cette matière, au secours quelqu'un ???
Cordialement, et Hop ! Kikuyu3 ^{Sous l'Arbre à palabres} 10 mars 2015 à 20:52 (CET)

Le titre exact (en translitéré) est Kitab al-jabr wa al-mukabala (ou al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa'l-muqābala) . Tout le reste n'est que traduction dont une classique est bien Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison. Cependant rien de choquant à parler de transposition pour al-jabr et de réduction pour al-mukabala, car ce sont les traductions de Roshi Rashed dans l'article qui est consacré à l'algèbre dans le tome 2 de Histoire des sciences arabes, p. 31. HB (discuter) 10 mars 2015 à 21:41 (CET)

 HB : merci, c'est beaucoup plus clair, mais dans ce cas, pourquoi ne pas mentionner le traité sous le nom retenu pour l'article correspondant ? Au nom du Principe de moindre surprise, et parce qu'un profane (comme moi, par exemple) peut s'interroger.

Je notifie ici  Dfeldmann : avec qui nous avons eu un échange en parallèle sur le Thé. Il a d'ailleurs procédé à cette modif.

Merci à tous les deux : chaque fois que je croise l'un de vous par là, vous ajoutez à mon plaisir de collaborer (petitement, j'en suis désolé) à ces pages.

Cordialement, et Hop ! --Kikuyu3 ^{Sous l'Arbre à palabres} 11 mars 2015 à 10:25 (CET)

 Kikuyu3 : C’etait "mon" IP… Fou de Bassan / ^{Argument(s) ?} 30 juin 2015 à 19:56 (CEST)

Modification de l'introduction

"Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d'applications. Par exemple, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne, l'astronomie étant l'exception la plus notoire."

A la lecture de ce passage, j’ai été surpris qu'il ne soit pas fait mention des échelles infinitésimales de la matière avant de rencontrer, plus loin :

"La géométrie euclidienne reste maintenant valable à trois exceptions près :

- les distances astronomiques, dans le cadre de la relativité générale ;

- les vitesses proches de la lumière, avec la géométrie de la relativité restreinte ;

- les dimensions inférieures à la taille des particules, dans le cadre de certaines théories contemporaines comme les supercordes."

Tout va donc bien excepté que le premier passage était lacunaire. Je l’ai donc reformulé ainsi :

"Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d'applications. A l’exception des échelles cosmiques et microscopiques, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne. "

--Emmanuel Laude (discuter) 26 août 2015 à 18:54 (CEST)