Discussion:Fibré vectoriel

Topologie dans le cas de variétés

Je me mets dans le cas de variétés de classe $C^{\infty }$. Je prends un fibré $E$ sur la variété $M$.

La projection $\pi$ est de classe $C^{\infty }$ pour les structures de variétés de $E$ et de $M$.

Ensuite, la définition de fibré vectoriel introduit des "trivialisations locales" $\varphi :U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U).$

Or, à moins que je ne me trompe, l'ensemble de ces applications $\varphi$ lorsque $U$ parcours les ouverts de $M$ ne forme pas un atlas de $E$ pour sa structure de variété donnée à priori. Je crois cela parce que la topologie sur $E$ donnée par les "cartes" $\varphi$ ne permet pas de séparer deux points distincts du même espace vectoriel $\pi ^{-1}(x)$.

Bref, nommer ces applications "trivialisation locale" me semble induire en erreur.

Autre façon de poser la question : si $O$ est un ouvert de $\mathbb {R} ^{k}$ et $U$ un ouvert de $M$, est-ce que $\varphi (O\times U)$ est un ouvert de $E$ ?

Note : cette question est inspirée de celle-ci : https://math.stackexchange.com/questions/830679/vector-bundle-as-a-smooth-manifold (pour laquelle la réponse acceptée ne me convainc pas) Laurent.Claessens (discuter) 19 septembre 2023 à 06:45 (CEST)