Discussion:Extension de corps

Purement transcendant

"Si tout élément de L est transcendant sur K, l'extension est dite purement transcendante."

cela parait bizarre car L contient des éléments de K et ces éléments sont nécessairemnt algébriques sur K. Quelle est la bonne définition? HB 8 avr 2005 à 21:50 (CEST)

J'ai proposé ceci: Si $L$ est engendré par une famille d'éléments transcendants sur $K$, l'extension est dite purement transcendante. Cela paraît moins faux (ref wikipedia anglo-saxon ou springerlink. Jean-Luc W 17 octobre 2006 à 13:24 (CEST)

En fait cela permet de dire que l'extension L de K est transcendante. Pour être purement transcendante, il faut que la famille en question soit algébriquement indépendante. Par exemple si K=Q et L=Q(\pi, \sqrt{2}). Elle est engendrée par \pi et \pi+\sqrt{2} qui sont transcendants, mais l'extension elle-même n'est pas purement transcendante. Liu (d) 14 avril 2008 à 00:33 (CEST)

Questions sur le degré

une tite question (d'un bac+1 => réponse simple svp :) ) est-ce que [L:K]=n <=> L isomorphe à K^n ?? et pourquoi est-ce que [R:Q]= ce N tordu qui est (à ce que j'ai compris) un infini ?

merci bcp :)

[L:K]=n <=> L isomorphe à K^n ? Réponse oui

$[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=\aleph _{1}$. (se lit aleph1) . En effet R est un espace vectoriel sur Q, Quand on cherche une base de cet espace vectoriel, on prouve qu'il n'en existe pas de fini donc R est un espace vectoriel de dimension infinie sur Q. mais il existe plusieurs infinis. On démontre que R ne possède pas de base infinie dénombrable, donc le degré de R n'est pas Aleph0 (qui est le cardinal de N ou celui de tout ensemble infini dénombrable). Une base qui permettrait d'engendrer R comme espace vectoriel sur Q comporterait une infinité non dénombrable d'éléments. On démontre que cet infinité correspond à aleph1 qui est le cardinal de R. HB 5 mai 2007 à 08:49 (CEST)

Je ne sais pas si c'est utile de donner la notation [L:K] lorsque l'extension est infinie. Je suis en effet un peu inquiet sur la validité de la formule [M:K]=[M:L][L:K] dans le cas infini. Question subsidiaire: pourquoi dans d'autres articles sur les extensions on parle de dimension au lieu du degré ? Liu (d) 14 avril 2008 à 00:42 (CEST)

Définition d'une extension

Une fois qu'on a défini les extensions comme des couples (L, j), on a naturellement la notion d'isomorphismes d'extensions. La propriété que j'évoque dans l'article dit que (L, j) est toujours isomorphe, en tant qu'extension de K, à un (N, i) avec i = inclusion. C'est plus naturel que d'identifier K à j(K) et ça éviter le paradoxe avec les automorphismes de K. Liu (d) 14 avril 2008 à 00:33 (CEST)

Ré-organisation

Je pense qu'il faudrait ré-organiser les sections de l'article en

extensions

extensions algébriques

extensions finies

extensions séparables

extensions simples

extensions galoisiennes

extensions transcendantes

extensions transcendantes pures

bases de transcendance

extensions de type fini

Si personne n'est contre, je peux me charger de faire le boulot. Liu (d) 22 novembre 2009 à 19:43 (CET)

Fait. Liu (d) 29 novembre 2009 à 00:32 (CET)