Discussion:Compacité (mathématiques)

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Cf. Discuter:Théorème de Borel-Lebesgue pour l'explication du transfert de texte le 23/5 — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Peps (discuter), le 23/5/2006.

A propos du théorème : tout compact A d'un espace topologique E est fermé dans E.[modifier le code]

Bonjour,

Avec attention j'ai regardé la démonstration de ce théorème. Il me semble un peu plus clair de le démontrer directement : On suppose que x appartient au complémentaire de A dans E et on démontre qu'il existe un ouvert contenant x dont l'intersection avec A est vide. Ainsi ce complémentaire est ouvert et donc A est fermé :

Soit . E étant séparé, pour tout il existe un ouvert contenant y et un ouvert (dépendant du choix de ) contenant x tel que . La réunion de tels ouverts est un recouvrement de A par une famille d'ouverts. On peut donc en extraire un recouvrement fini de A: , I étant un sous ensemble fini de A. Alors pour tout les implications successives : prouvent que l'ouvert contenant x possède une intersection vide avec A. Ainsi est ouvert et A est donc fermé.

Est-ce mieux ?

Lanh le 9 janvier 2007 modifié le 8 février 2007

OUI, c'est beaucoup mieux. Non seulement c'est mieux, mais en plus tu établis aussi par là une propriété de séparation entre un point et un compact dans un espace séparé. Plus généralement deux compacts disjoints dans un espace séparé peuvent être séparés par deux ouverts discjoints. Cette propriété n'est pas plus difficile à démontrée, et connait beaucoup d'applications. En pratique, on peut être intéressé par des séparations beaucoup plus fortes. Par exemple, un point d'un espace vectoriel réel disons de dimension finie peut être séparé d'une partie convexe compacte ne le contenant pas par un hyperplan. Je vais écrire un article sur le sujet.
La propriété de séparation de deux compacts une forme faible d'un théorème d'existence de bonnes fonctions continues sur un espace compact. Dans un espace topologique localement compact, pour tout compact A fortement inclus dans un fermé B, il existe une fonction f continue valant 1 sur A à support compact inclus dans B (support = complémentaire du plus grand ouvert sur lequel f s'annule). Cette propriété des espaces localement compacts implique de même la séparation des compacts.
Ektoplastor 9 janvier 2007 à 20:06 (CET)[répondre]
Je vote aussi pour une modification. La preuve actuelle est confuse. Par exemple ce passage (un poil trop elliptique et dont la première phrase n'exprime sans doute pas ce qu'a voulu dire son auteur) :
<<
Et tout recouvrement fini extrait ne rencontre pas l'intersection des Ba associés. Or cette intersection finie est un ouvert (car il est défini comme une intersection finie d'ouverts) contenant b. Elle possède une intersection non vide avec A car tout voisinage d'un point adhérent à un ensemble rencontre cet ensemble. Et A n'est pas compact.
>>
Grippe 26/2/2007, 22 h 46‎
Même si les idées de base sont essentiellement les mêmes, moi aussi je préfère la présentation façon Lahn car elle apporte un résultat de séparation intéressant sans coup férir.en plus à l'époque j'avais déplacé ce pavé de texte d'un autre article et je ne suis pas sûr que la GFDL ait apprécié, alors je suis bien content qu'il disparaisse :) Peps 26 février 2007 à 23:55
Y a un truc qui me chagrine : Elle est où la définition de la compacité sur la page ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 89.85.60.99 (discuter), le 28/4/2009.

preuve(s) que tout compact d'un séparé est fermé[modifier le code]

Bonsoir, je viens de "fignoler" ça, mais je me demande :

  • est-ce vraiment utile de laisser la seconde preuve ? (c'est vraiment la même)
  • dans la première, à quoi bon écrire "dépendant du choix de U_y", alors que U_y et V_y sont choisis simultanément ?(si on veut vraiment insister sur l'utilisation de l'axiome du choix, il faudrait formuler les choses autrement, et si - comme moi - on n'y tient pas, il faudrait supprimer cette remarque)

Anne 7/11/2009

Image d'un compact : continuité et espace séparé ?[modifier le code]

Dans la démonstration de "l'image d'un compact par une application continue est un compact si l'espace d'arrivée est séparé" on ne mentionne à aucun moment la continuité ni le fait que l'espace soit séparé... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 78.113.60.213 (discuter), le 8/11/09.

Fait (le 27/9/11 et simplifié depuis). Anne 27/10/13

Une définition SIMPLE !?[modifier le code]

A la recherche d'une définition toute simple d'un espace compact, je suis tombé sur cet article et j'avoue qu'il m'a apporté tout sauf une réponse. Pourquoi les articles concernant les mathématiques sur Wikipedia et en particulier la topologie sont-ils toujours aussi obscurs ??? Il ne s'agit pas ici de faire étalage de sa science, mais plutôt de partager ses connaissances, et pour cela il faut en premier lieu se mettre au niveau des autres. Je pense donc qu'il faudrait revoir le texte introductif de cette article, en y ajoutant D'ABORD une définition simple, qui n'a nullement besoin de faire appel à la propriété de Borel-Lebesgue ou aux filtres !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Message non signé du 4 avril 2010 à 15:02 de Spécial:Contributions/82.67.69.152

D'accord pour les filtres (qui ne sont d'ailleurs pas cités en intro), mais comment proposez-vous d'éviter Borel-Lebesgue ? J'ai tâché de rendre ça plus fluide, mais quand (comme souvent en topologie) une notion mathématique est intrinsèquement compliquée (ou plus exactement : peu connue des "autres", comme vous dites), comment la rendre "simple" (subjectivement, là aussi) ? On peut soit la déformer et la vider de son sens précis, soit - plus honnête et plus utile, je trouve - donner des exemples et contre-exemples. Dans les 2 cas, ça peut se peut faire éventuellement dans le paragraphe qui suit le résumé introductif, mais à mon avis pas directement dans celui-ci, qui doit rester encyclopédique. Anne 4/4/2010, 16 h 09
Rebonjour, et tout d'abord merci pour votre réponse et modification de la page. La définition qui apparaît désormais dans le résumé introductif est beaucoup moins "brutale" que la précédente :o). Ce que je ne comprends pas (mais sans doute par manque de connaissance en le sujet, je le reconnais volontiers !!!), c'est pourquoi la toute première définition n'est pas celle d'un ensemble fermé et borné (qui est pourtant la première enseignée, me semble-t-il) ? Message non signé du 4 avril 2010 à 20:43 de Spécial:Contributions/82.67.69.152
Rebonsoir, et merci de contribuer ainsi à améliorer. (moins "brutale" que la précédente ? euh ... il n'y en avait aucune, juste du bla-bla). J'ai modifié encore l'article pour prendre en compte votre 2ème réaction, mais pour vous répondre directement (moins en détail) : c'est d'une part parce que "les compacts sont les fermés bornés" n'est vrai "que" dans Rn, et surtout parce que la compacité est une propriété "intrinsèque", contrairement à cette "caractérisation usuelle". Anne 4/4/2010, 23 h 56
Bonjour, je suis complètement d'accord avec la première remarque. Je crois qu'on touche ici une des causes du piètre niveaux des élèves Français en mathématiques, tout en ayant les meilleurs mathématiciens du monde. Les excellents élèves adorent la langue Française, les autres ont besoin d'image. Je vous suggère d'aller voir l'article Anglais, (sans le modifier par pitié). Imaginons qu'un élève de premier cycle désireux d'avoir une notion intuitive de la compacité (oui je sais l'intuition est l'ennemie de la rigueur) tombe sur cette page, il quittera immédiatement la page pour aller s'acheter une corde.Klinfran (discuter) 5 mars 2021 à 22:32 (CET)[répondre]

Erreur...[modifier le code]

Bonsoir, Il me semble qu'il y a une erreur sur cette page, dans la partie "Autres propriétés": il est dit "Toute partie discrète d'un compact est finie". C'est faux si l'on ne suppose pas la partie fermée (prendre l'ensemble des 1/n, n parcourant les entiers naturels non nuls, dans [0,1] muni de la topologie induite de celle usuelle de R). De plus on n'a pas besoin de supposer l'espace séparé... Serait-il possible de modifier en "Toute partie discrète et fermée d'un quasi-compact est finie"? Merci d'avance. (Helv (d) 26 décembre 2011 à 02:48 (CET))[répondre]

Merci ! C'est moi qui avais déplacé cette vieille erreur sans contrôler. Je corrige (la prochaine fois, WP:NHP). Anne 26/12/2011, 12 h 08

Mauvais lien[modifier le code]

Dans "Théorème de Bolzano-Weierstrass et compacité séquentielle", le lien "caractérisation séquentielle" renvoie vers l'article "compacité séquentielle" qui n'a pas grand chose à voir. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Hferee (discuter), le 18 janvier 2012 à 15:34‎.

Émoticône Ben si, l'article "compacité séquentielle" traite exactement de la "caractérisation séquentielle" (de la compacité dans les espaces métriques, comme dit ici). Anne 18/1/2012, 17 h 36

Propriété de Borel-Lebesgue : J au lieu de I[modifier le code]

"C'est-à-dire que pour toute famille (Ui)i∊I d'ensembles ouverts recouvrant [a,b], il existe une partie finie J de I telle que la sous-famille (Ui)i∊I recouvre déjà [a,b]."

Mettre "la sous-famille (Ui)i∊J" à la place de "la sous-famille (Ui)i∊I".

86.76.248.100 (d) 18 avril 2012 à 20:16

Fait, merci ! et la prochaine fois : WP:NHP ! Anne 18/4/2012, 20 h 37

Je me suis permis de rajouter chaîne « décroissante » de fermés etc. Les chaînes peuvent être croissantes ou décroissantes. D'accord, le contexte résout l'ambiguïté, mais moins on s'appuie sur des sous-entendus, mieux on se porte ! --JC.Raoult (discuter) 23 mars 2019 à 09:05 (CET)[répondre]

Compact vs Quasi-Compact[modifier le code]

Il me semble qu'il reste encore dans l'article quelques ambiguïtés sur le sens anglais et français de Compact. L'article prend globalement la définition française (un compact est séparé).

Mais le "N. B. : la plupart de ces propriétés ne s'étendent pas au cas non séparé. " donnent des contre-exemples dans des espaces non séparés en les nommant compact.

Pour le lecteur habitué, on comprend ce que cela signifie. Mais ce n'est pas très intelligible pour celui qui découvre ces nuances.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Bbh (discuter), le 10 octobre 2013 à 05:29‎.

Il n'y a pas ambiguïté dans les contre-exemples, grâce aux « même pas quasi-compacte », et les sous-espaces dits compacts sont bien des compacts (séparés). Anne 10/10/2013, 7 h 48

Effectivement, c'est l'espace global qui n'est pas séparé, mais le sous-espace déclaré compact est bien séparé. Merci pour la clarification. Bbh (discuter) 10 octobre 2013 à 10:11

Union d'une suite convergente et de sa limite[modifier le code]

Est-ce qu'on peut le (contre-)dire pour une suite généralisée ? (réf. ou contre-exemple) Anne 29/1/2014

A propos des titres de paragraphe[modifier le code]

--> Titre "Articles connexes" S'agissant de topologie (et de compacité), cette notion a ses limites... :-) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 217.108.170.8 (discuter), le 23/7/2014.

Demande de précision dans une démonstration[modifier le code]

Demande de précision dans une démonstration de la propriété suivante :

Un espace topologique X est quasi-compact si (et seulement si) l'intersection de toute chaîne non vide de fermés non vides de X est non vide

Bonjour,

1: Dans les dernières étapes de la démonstration pour la partie 'si', il a été indiqué la chose suivante: M est stable par intersection avec chaque Fi donc il contient tous les G∩Fi.

2: J'en déduit formellement: pour tout i∈I, G∩Fi ∈ M, avec G minimal pour l'inclusion.

3:J'en déduit, en repartant de la définition de M: pour tout i∈I, pour tout j∈I, (G∩Fi)∩Fj est non vide et contient F.

4: J'en déduit: G∩(Fi∩Fj) est non vide et contient F.

5: Cependant, à ce moment de la démonstration, on n'a toujours pas prouvé que F est non vide. Du coup qu'est-ce qui garantie que G∩(Fi∩Fj) est non vide ? J'ai l'impression qu'il y a l'hypothèse G∩Fi est non vide ET G∩Fj est non vide => G∩(Fi∩Fj) est non vide. Cette implication est fausse si on s'en tiens à la théorie des ensembles. Il y aurait quelque chose lié à la minimalité de G ? Si ce n'est pas le cas, alors qu'est-ce qui garantie que M est stable par intersection avec chaque Fi ?

Ma conclusion: Il faut préciser la définition de M: C'est l'ensemble de tous les fermés non vides G de X, tels que pour toutes partie finie P⊂I, G∩ est non vide et contient F. Avec cela, on a toujours que M contient les Fi donc non vide et on obtient en plus que G∩(Fi∩Fj) non vide et contient F.

N.B: Attention également à la confusion que peux apporter la réutilisation de la lettre G (une fois pour la définition de M et une autre fois pour la définition du fermé minimal). — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Jlamitousa (discuter), le 23 décembre 2017 à 16:13 (CET)[répondre]

--Jean-Luc Amitousa (discuter) 23 décembre 2017 à 16:14

Bonjour, la preuve est correcte, inutile de modifier la définition de M. N'oubliez pas que la famille (Fi)iI est supposée stable par intersections finies. Anne, 24/12, 16 h 30

Propriétés... et Autres...[modifier le code]

Ces paragraphes contiennent des contre-exemples et démonstrations que je ne comprends pas :

1) Pourquoi ({0}×[–1, 0])∪({1}×]0, 1]) est-il compact ? Il faudrait peut-être l'expliquer ; un novice le comprendrait encore moins que moi.

2) Dans la démonstration du théorème de K-M,le fait que pour une application propre l'image réciproque de tout quasi-compact est quasi-compact, la topologie engendrée sur X est la topologie discrète, puisque les singletons sont dans B. Du coup, le reste est obscur. Là encore, il faudrait peaufiner. JC.Raoult (discuter) 4 octobre 2018 à 09:20 (CEST)[répondre]

1) : ??? Cet exemple n'est pas dans l"article... et n'est évidemment pas compact  : (1,0) est dans son adhérence (dans R^2), mais pas dans l'ensemble. --Dfeldmann (discuter) 4 octobre 2018 à 13:53 (CEST)[répondre]

C'est dans l'article : j'ai fait un « copier-coller » du texte des contre-exemples, dans le paragraphe Propriétés, juste après le N.B. avertissant que ces propriétés ne sont pas conservées quand l'espace n'est pas séparé. JC.Raoult (discuter) 4 octobre 2018 à 14:47 (CEST)[répondre]

2) La démonstration me paraît fautive : pY() n'est pas X mais Y tout entier, puisque les parties Z sont des voisinages de l'infini. Je suggère une démonstration plus ou moins pompée sur Bourbaki, mais sans invoquer la notion de filtre, que voici :

Soit (Fi) une famille de fermés non vides de X, dont les intersections finies sont non vides, et soit (Gj) la famille de ces intersections finies. On va montrer que l'intersection des Fi (ou, ce qui revient au même : des Gj) n'est pas vide. Soit ∞ un point n'appartenant pas à X et soit Y l'ensemble X ∪ {∞}. On considère la famille suivante de parties de Y :

1) toutes les parties de X,

2) toutes les parties de la forme Gj ∪ {∞}.

On vérifie aisément que cette famille de parties est fermée par intersections finies. Elle forme donc une base d'une topologie sur Y. Pour cette topologie, X est dense car tout voisinage de ∞ contient une partie du type (2), or une telle partie rencontre X.

Soit Δ la diagonale de X×X qui est donc une partie de X×Y, et soit Δ son adhérence dans X×Y. Par hypothèse, l'image pY(Δ) est fermée dans Y. Comme elle contient X qui est dense, elle contient aussi ∞, lequel est donc l'image d'un point (x,∞) de Δ, adhérent à Δ. C’est dire que tout voisinage V×({∞} ∪ Gj) de (x,∞) rencontre Δ, ou encore que tout voisinage V de x coupe tout ensemble Gj, et comme Gj est fermé, x ∈ Gj et ce pour tout j, cqfd.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par JC.Raoult (discuter), le 21 octobre 2018 à 17:37 et 22 octobre 2018 à 15:19‎.

Bonsoir, j'ai répondu à 1) et 2) à même l'article. Inutile d'y remplacer la preuve, qui est correcte (pY() est bien X et non pas Y tout entier). Cordialement, Anne , 23/10, 1 h 43
Bonsoir, Anne. La démonstration du point (2), un peu allongée et curieusement différente de celle de Bourbaki, me convainc. Mais pour (1), j'ai toujours un peu de peine. Je vois bien que vous voulez considérer [-1,1] avec l'origine dédoublée, genre l'espace obtenu en recollant deux copies de [0,1] le long de leurs ouverts ]0,1]. Mais les termes de la réunion étant disjoints, on a tendance à considérer la réunion de leurs topologies (induites par celle de R). Dans ce cas, {0,1}×[-1,0] est un ouvert du premier terme, et {0,1}×]1/n,1] des ouverts du second terme, je me trompe ? Et comment en extraire un recouvrement fini ? JC.Raoult (discuter) 23 octobre 2018 à 17:55
Bonsoir JC,
la démonstration de (2) ne me semble pas plus longue que la vôtre ci-dessus (que je me suis permis de rectifier), et cette adaptation-là de celle de Bourbaki va jusqu'à la formulation en termes — plus familiers — de recouvrements ouverts.
Pour le point (1), je ne comprends rien à ce que vous dites :
  • je ne considère rien de tel ;
  • ({0}×[–1, 0])∪({1}×]0, 1]) n'est pas muni de la topologie union disjointe mais, comme précisé dans l'énoncé, de la topologie induite par celle du produit de {0, 1} grossier par ℝ usuel ;
  • {0, 1}×[–1, 0] et les {0, 1}×]1/n, 1] ne sont inclus ni dans {0}×[–1, 0] ni dans {1}×]0, 1] ;
  • {0, 1}×[–1, 0] n'est pas voisinage de (0, 0) dans ({0}×[–1, 0])∪({1}×]0, 1]).
J'ai indiqué que les deux bijections canoniques (réciproques l'une de l'autre) entre ({0}×[–1, 0])∪({1}×]0, 1]) et [–1, 1] sont continues. C'est facile à vérifier.
Anne , 24/10, 0 h 15
OK. En effet, je ne voyais que la topologie de la réunion disjointe. Toutes mes excuses. JC.Raoult (discuter) 24 octobre 2018 à 16:02 (CEST)[répondre]

Renommage ?[modifier le code]

Cet article s'appelle « Compacité (mathématiques) », et il y a aussi « Compacité séquentielle », mais « Espace dénombrablement compact ». Ne serait-il pas plus harmonieux de renommer « Compacité (mathématiques) » en « Espace compact » et « Compacité séquentielle » en « Espace séquentiellement compact » ? Jean Abou Samra (discuter) 5 janvier 2024 à 14:09 (CET)[répondre]