Discussion:Caractère d'une représentation d'un groupe fini

Conventions de nommage

Je propose les conventions de nommage suivantes

Représentations

Le mot est mis au pluriel car ce sont les représentations d'un groupe qui représentent l'objet intéressant et non pas une représentation, de plus un mini-vote semble prouver que tout le monde est convaincu.

L'exception à la règle correspond au cas particulier de l'analyse d'une représentation particulière, par exemple la représentation régulière, la représentation standard, la représentation unité etc...

J'aurai plutôt tendance à parler d'une représentation induite, car on en étudie une à la fois.

On dit : une représentation et des représentations. Je ne comprends pas d'où vient le problème. Désolé. Ekto - Plastor 28 mars 2007 à 17:30 (CEST)

Caractère

La même règle que celle du paragraphe précédent s'applique. Par défaut caractère est au pluriel. Je ne connais pas d'exception, car il existe en général plusieurs caractère unitaires, caractères irréductibles etc...

Que signifie caractère unitaire pour un groupe fini ? Ekto - Plastor 28 mars 2007 à 17:30 (CEST)

Groupe

groupe n'a pas de raison d'être au pluriel, un unique groupe est un objet d'analyse, je propose donc :

• Représentations d'un groupe fini
• Théorie des caractères d'une représentation d'un groupe fini
• Produit tensoriel et représentations d'un groupe fini

etc...

On étudie une représentation d'un groupe fini. Ou on étudie la classification des représentations d'un groupe fini, ou la théorie des représentations des groupes finis. Et dans le dernier cas, le mot groupe est au pluriel. J'imagine que personne ne sera choqué. Ekto - Plastor 28 mars 2007 à 17:30 (CEST)

Caractère d'un groupe

Contexte

Le mot caractère prend deux sens différents:

• En analyse harmonique un caractère est un morphisme du groupe dans C* le groupe multiplicatif des complexes non nuls. Cette définition est répandue à la fois dans WP par exemple Fonction booléenne ou Caractère (mathématiques), elle correspond à la généralisation du caractère de Dirichlet. Le groupe dual est défini comme les caractères d'un groupe. Il est bien évident que l'analyse harmonique ne se limite plus depuis longtemps aux groupes abéliens.

• En théorie des représentations, un caractère correspond à la trace d'une représentation. En effet, ne considérer que les morphismes dans C* revient à ne considérer que la composante abélienne du groupe et ne permet pas d'analyser le groupe entier. Le choix de la trace d'une représentation amène à considérer des caractères qui n'ont pas d'inverses, les caractères ne forment alors plus un groupe et l'analyse harmonique est impossible. On parle souvent de caractères des représentations et parfois avec ambiguité de caractères d'un groupe.

Ma position (Jean-Luc W)

Dans le cas de WP ou le double sujet est traité, il me semble bien inutile d'innover soit en créant une ambiguité (qui n'est à mon sens acceptable uniquement si l'analye harmonique n'est pas couvert) soit en donnant une nouvelle définition du groupe dual et en corrigeant les articles associés.

Arguments de Jean-Luc W

• En analyse harmonique quand on parle de caractère on ne parle jamais de caractère d'un groupe au sens des représentations mais toujours de morphisme, c'est le cas de l'article Fonction booléenne, sur le net on trouve structure des groupes abélien fini, dans le livre de référence Godement Cartan Théorie de la dualité et analyse harmonique dans les groupes abéliens localement compacts. c'est la même définition qui est utilisée.
• En cas d'ambiguité, c'est à dire si le sujet traite d'analyse harmonique pour un groupe non abélien, à ma connaissance la convention toujours utilisée est de parler de caractère d'un groupe au sens du morphisme et de caractère d'une représentation au sens de la trace (cf analyse harmonique d'un groupe non commutatif). Je ne connais pas de contre exemple.
• En cas d'analyse uniquement sur les représentations, le terme caractères d'un groupe désigne parfois le caractère au sens de la trace, ce n'est pas du tout général, cf Serre, Duflo (qui parfois utilise dans le titre le terme de caractères des groupes au sens de la trace mais pas à ma connaissance dans le coeur de son texte). En revanche le terme de caractère d'une représentation n'est jamais ambigu.

Arguments d'Ektoplastor

Pour un groupe commutatif compact, une représentation est effectivement un morphisme à valeur dans $C^{*}$. Dans le cas d'un groupe non commutatif, un caractère est la trace d'une représentation irréductible de dimension finie. Si la représentation est de dimension 1, les opérateurs sur une droite complexe sont des homothéties et leurs traces est leurs rapports : de fait, la trace d'une représentation irréductible de dimension 1 est un morphisme de groupes. Je considère cela comme un cas particulier de caractère d'un groupe.

Le livre de Cartan traite apparemment des groupes commutatifs, pour lesquels la définition ne prête apparemment pas à discussion (on est d'accord sur ce point ?). Pour le cas non commutatif, on peut lire par exemple Kirillov (Representation theory and noncommutative harmonic analysis). Ou lire n'importe quel article de recherche sur ArXiv : ce n'est qu'un exemple (lire le paragraphe 1, characters). A noter les nuances de vocabulaires (certains parlent de caractères, caractères irréductibles, caractères normalisés, caractères simples, ... sans vraiment de différence de sens).

Je ne suis pas du tout spécialiste. Je le précise au passage. Apparemment, on considère justement tous les caractères (pas seulement les morphismes de groupes) pour pouvoir décrire une véritable isométrie de l'espace des fonctions de carré intégrables dans un certain espace de Hilbert, défini sur l'ensemble des caractères irréductibles muni d'une certaine mesure, la mesure de Plancherel. La transformée d'une fonction est une fonction qui à chaque caractère associe un opérateur de l'espace de la représentation irréductible associée (à ce que j'ai compris). La description de cette transformation, appelée transformation de Fourier, est à mon goût plus jolie pour les fonctions centrales. Les opérateurs associés à une représentation irréductibles par la transformée de Fourier d'une fonction centrale appartiennent à son commutateur, et donc sont des homothéties, on peut se contenter de regarder leurs traces, ce qui fournit une honnête fonction à valeurs complexes.

Voilà. Ekto - Plastor 28 mars 2007 à 17:30 (CEST)

De toute manière si je te comprend, nous sommes d'accord pour dire que le titre Caractère d'un groupe topologique compact et la définition associée dans l'article sont fausses car tu ne précises pas que le groupe choisi n'est pas abélien. J'imagine que tu ne contestes pas que le terme de caractère d'une représentation est utilisé de manière non ambigu, le titre Théorie des caractères d'une représentation d'un groupe fini est donc bon car il couvre les cas abélien et non abélien. Si d'aventure tu ne limites pas aux complexes, tu couvriras en plus le cas des groupes compacts sur les corps p-adiques, ce qui feraient plaisir à Chevalley et aux spécialistes des corps de classes et de plus les définitions du cas fini et du cas compact deviendront rigoureusement identiques.Jean-Luc W 28 mars 2007 à 18:09 (CEST)

Non, tu ne m'as pas compris. Je trouve que théorie des caractères d'une représentation d'un groupe fini est un titre trop lourd à porter pour un article. L'article Caractère d'un groupe topologique compact est très incomplet, mais le titre n'est pas un problème. La définition qui y est donnée est pour moi correcte et acceptable.

Pourquoi introduirais-je l'hypothèse non commutatif ou non abélien alors qu'elle est inutile et nulle part utilisée ? Ce qu'on fait avec un groupe commutatif compact, on le fait de manière identique avec un groupe non commutatif mais seulement pour les fonctions centrales !

Ekto - Plastor 28 mars 2007 à 18:29 (CEST)

En effet je ne comprend pas, soyons simple :

• La définition de l'article s'applique-t-elle aux groupes abéliens (simple il suffit de répondre par oui ou non)
• L'article couvre-t-il les cas abéliens ? (il suffit encore de répondre par oui ou non) Jean-Luc W 28 mars 2007 à 18:36 (CEST)

• Oui.
• Oui.

Réponse plus explicative : une représentation complexe irréductible d'un groupe commutatif compact est de dimension 1. Les caractères irréductibles d'un groupe compact commutatif sont donc exactement les morphismes de groupes à valeurs dans C^*.

Définir les caractères comme des morphismes de groupe, c'est rayer de la carte les groupes non commutatifs.

Si un livre traite uniquement des groupes commutatifs, la définition comme morphismes de groupes est valable ; dans le cas général, elle devient inexploitable.

Ekto - Plastor 29 mars 2007 à 13:28 (CEST)

Alors il faut appeler l'article caractères irréductibles ce qui n'est guère plus léger et pose toujours un problème de cohérence. Oui dans le cas commutatif les caractères correspondent aux caractères irréductibles, mais caractère à partir de la trace est beaucoup plus général. Pour l'instant tu n'indiques nulle part cette restriction (qui me semble bien étrange, l'intérêt des caractères réside aussi sur le fait qu'ils forment une base d'un espace qui ne contient pas qu'eux mais entre autres tous les caractères des représentations sans compter les caractères virtuels d'Artin). Tu définis une représentation comme d'habitude tu définis un caractère comme le caractère d'une représentation ce qui est encore logique, tu rajoutes dans l'explication qu'il faut penser irréductible, c'est écrit nul part et à juste titre.

Pour les groupes non commutatifs et le cas de l'analyse harmonique, tu ne peux pas t'en tirer comme tu le crois, un cas fini suffit pour s'en convaincre, S₃ contient 6 éléments, les caractères du groupes 2 les caractères irréductibles 3, le compte n'y est pas de toute manière. La technique utilisée correspond à celle de l'article que tu cites, tu changes le corps. De C ou K, tu passes à un anneau contenant suffisamment d'éléments, le groupe dual est toujours abélien, sinon pas d'analyse harmonique mais l'anneau qui opère est enrichi. C'est celle de l'article que tu cites, il ne considère pas les caractères irréductibles mais une famille bien choisie orthogonale qui forme un groupe et sur lequel opère un corps habile.

Jean-Luc W 29 mars 2007 à 14:48 (CEST)

Aïe, aïe, aïe, ... S3 comporte trois représentations irréductibles à équivalence près. Donc trois caractères irréductibles. Les caractères irréductibles forment une base de l'espace des fonctions centrales. Une question simple :

• Serais-tu en train d'affirmer que les caractères (irréductibles) d'un groupe compact ne forment pas une base hilbertienne de l'espace des fonctions centrales mesurables de carré intégrable ?

Parmi les trois représentations irréductibles de S3 : une est de dimension 0 et donne le morphisme trivial, une est de dimension 1 et donne la signature, et enfin la troisième est de dimension 2 et donne une fonction centrale non triviale qui est le troisième caractère.

• Où est le problème ? Je n'ai jamais dit que les caractères étaient nécessairement des morphismes !

le groupe dual est toujours abélien, sinon pas d'analyse harmonique. Affirmation personnelle. A ce que j'ai pu en lire jusqu'à présent, le groupe dual se définit pour les groupes commutatifs. Pour les groupes non commutatifs, il n'y a pas de loi de groupe, et il n'y a pas nécessairement d'inversion de la transformée, car d'après les ouvrages, il est difficile d'en décrire l'image.

• Affiremerais-tu que tu peux caractériser les fonctions sur l'ensemble dual qui sont transformées de Fourier d'une fonction (pas nécessairement centrale) de carré intégrable pour les groupes compacts ?

La transformée de Fourier comporte une information sur toutes les représentations irréductibles. C'est un petit miracle si les représentations irréductibles d'un groupe commutatif sont de dimension 1 (miracle au sens où la théorie se simplifie largement). La transformée d'une fonction mesurable f sur un groupe compact G est :

${\widehat {f}}(\lambda )={\frac {1}{n}}\int _{G}f(s)\lambda (s)^{*}ds$

où $\lambda$ est une représentation complexe irréductible de dimension n. Si f est centrale, pour tout $\lambda$, ${\widehat {f}}(\lambda )$ est écidemment une homothétie et dans ce cas seulement, on peut se ramener à :

${\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(s){\overline {\xi }}(s)$

• Contestes-tu cette définition de la transformée de Fourier ?

Ekto - Plastor 29 mars 2007 à 16:47 (CEST)

Restons ciblé, tu dis que ta définition s'applique au cas abélien, or le caractère d'une représentation non irréductible perd la propriété de morphisme dans le cas abélien. Il existe donc au moins une incompatibilité entre ta définition et celle par les morphismes dans ce cas. Pour éviter cette ambiguité je parle de caractère d'une représentation et non pas de caractère d'un groupe. Si tu penses que la définition des caractères par les morphismes empêche l'étude des groupes non commutatifs et donc qu'il n'y a pas d'ambiguité voilà deux personnes qui ne le savaient pas et qui continuent à faire la distinction :

• Lie par Chambert-loir
• Réinterprétation de l'analyse de Fourier dans le cas non commutatif

Enfin, toutes les références sur lequel je m'appuie pour écrire les articles parlent de caractère d'une représentation pour les traces et de caractère d'un groupe pour les morphismes, je ne me sens pas l'autorité pour prendre l'initiative d'écrire un texte non conforme aux sources citées. Jean-Luc W 29 mars 2007 à 21:33 (CEST)

Commentaires sur les r2f2rences :

• La première ne traite pas des caractères, mais des représentations : c'est une brève introduction à l'étude des groupes de Lie. Seules les représentations sont définies avec l'énoncé du théorème de PW.
• La seconde définit en effet les caractères comme des morphismes de groupes, et cette définition est donnée comme une extension de la définition pour les groupes commutatifs. Mais il n'y a aucune étude centrée sur les caractères pour un groupe non commutatif ; l'auteur définit les représentations et en fournit une étude introductive. Seulement dans les trois-quatre dernières pages il revient sur la définition de caractères (paragraphe transformation de Fourier). Il explique qu'il est naturel a priori de vouloir se limiter aux morphismes de groupes, mais malheureusement c'est insuffisant car la transformée de Fourier qu'on définirait alors ne comporte pas suffisamment d'informations sur la fonction. Il faut considérer tous les caractères (de représentation) d'un groupe (citation). Au passage, le terme de représentation est mis entre parenthèses.

En général, on peut définir un caractère (d'un groupe) entre parenthèses, on peut aussi parler d'autres structures comme une fonction centrale définie positive normalisée. La seule obstruction à ce que ça soit effectivement un morphisme est uniquement mesuré par $f(x)f(x^{-1})$.

Ekto - Plastor 30 mars 2007 à 18:20 (CEST)

PS : Bien, je vais réécrire l'article Caractère d'un groupe topologique compact ; mais en ce moment, je n'ai pas le temps de le faire. Peux tu patienter quelques semaines ? Merci.

Excuses moi je n'ai pas été précis dans les références :

Chambert-Loir: p 21 définition d'un caractère : Si V est de dimension 1 GL(V) =k*, on parle alors de caractère.

p 39 définition d'un caractère d'une représentation : On appelle caractère de ρ la fonction continue g -> tr(ρ) sur G. Jean-Luc W 30 mars 2007 à 19:11 (CEST)

J'ai déjà commenté ces références plus haut. Bon, voilà des références dans lesquelles caractère d'un groupe est défini comme le caractère associé à une représentation :

• Weil, Intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Chap. V, par. 22, et Chap. VII ;
• James et Liebeck, Representations and characters of groups, Définition 13.4 ;
• Claudio Procesi, Lie groups. An approach trough Invariants and Representations. (y est aussi défini un caractère virtuel d'un groupe comme la différence de deux caractères, afin d'obtenir une algèbre) ;
• Fulton et Harris, Representation theory. A first Course. ;
• Kirillov, Representation theory and noncommutative harmonic analysis.

Comme cette discussion s'éternise, je propose d'effectuer un vote (ci-après).

Ekto - Plastor 3 avril 2007 à 19:01 (CEST)

Résumé de la position de Jean-Luc W

Soyons simple et Clair. On parle de caractères d'un groupe et de caractère d'une représentation d'un groupe. Ils sont définis différemment :

Les caractères d'une représentation possèdent une définition fixe il correspond à la trace de la représentation.

Les caractères d'un groupe possèdent des propriétés algèbriques, comme par exemple former un groupe pour étendre le dual à autre chose que le centre de l'algèbre du groupe.

Les deux sont définis mais ne signifie pas la même chose.

Exemples d'utilisations du mot caractère d'un groupe dans un sens différent de celui de caractère d'une représentation dans WP : Fonction booléenne ou Caractère (mathématiques)

Un texte qui introduit les besoins d'une définition différente pour les caractères d'un groupe et d'une représentation analyse harmonique d'un groupe non commutatif

Pour les références que j'ai utilisé dans cet article :

Caractère est défini page 2 dans : Cours de représentation des groupes finis par M. Broué de l'université de Paris VII

Caractère est défini page 32 dans Représentation linéaire des groupes finis, une introduction par D. Ferrand de l'université de Renne

De manière plus générale, l'essentiel des références que j'ai utilisé pour les représentations sont là Références générales et là Références XXeme siècle. Jean-Luc W 3 avril 2007 à 21:29 (CEST)

Proposition de renommage de la page

Cet article doit-il être renommé en Caractère d'un groupe fini ?

Pour comprendre le sens et la portée de la question, veuillez prendre connaissance des arguments développés respectivement par Jean-Luc W et Ektoplastor ci-dessus.

Veuillez ne pas commenter cette question dans cette section ou dans une sous-section (hormis l'éventuelle justification du vote), veuillez ne pas commenter non plus le vote d'autrui.

Pour le renommage proposé ou pour un renommage allant dans le sens proposé

1. Voir mes commentaires plus haut. Ekto - Plastor 3 avril 2007 à 19:01 (CEST)

Sans aucun avis

1. connaissance insuffisante :( VIGNERON * ^discut. 3 avril 2007 à 19:25 (CEST)
2. Le débat est particulièrement hermétique, je n'ai pas compris sur quoi il portait. Tout ce que je peux dire, c'est qu'il faut supprimer "théorie de"... R 3 avril 2007 à 19:42 (CEST)
3. Désolée de vous abandonner mais le débat me passe à 10 km au dessus. Pouvu que Peps puisse trancher. Sinon pourquoi ne pas laisser le créateur de l'article (J-L W) juger du titre et du contenu  : Il semble insister en intro sur le fait que caractère d'une groupe et caractère d'une représentation d'un groupe sont deux choses différentes donc modifier le titre va conduire à modifier aussi le contenu. (m'est avis que "théorie de ..". est en trop mais ...)HB 3 avril 2007 à 22:23 (CEST)
4. je vais contrarier HB mais... je me sens incapable de donner un avis tranché. D'abord parce qu'on ne doit pas « voter » sur des questions de contenu éditorial ou de titre. Ensuite parce que j'avoue avoir du mal à suivre les méandres de certains arguments un peu allusifs : la distinction n'est elle pas celle qu'on trouve sur en: avec en:Character group et en:Character theory ? voyant que JLW et Ekto citent tous les deux des grands auteurs, je présume qu'il s'agit d'une ambiguïté dans l'usage, et que le problème ne se réglera pas d'un claquement de doigts. S'il faut donner un avis, ce sera de type Salomon

   - je suis assez d'accord avec la remarque de HB, l'ensemble titre + article est un tout, donc je laisserais a priori le dernier mot à Jean Luc

   - mais sur le fond, je ne vois pas d'objection à avoir un titre légèrement imprécis dans la mesure où l'intro précise bien les choses. Ceci pour éviter d'avoir un titre à rallonge Peps 3 avril 2007 à 23:51 (CEST)

Crevettes

1. Bon, j'ai beau avoir fait deux années de maths, je préfère aller manger des crevettes al ajillo plutôt que d'essayer de tenter de comprendre à moitié le problème. — Régis Lachaume ✍ 3 avril 2007 à 21:20 (CEST)

Demande de précision

Je rejoins Jean-Luc en cela que caractère et caractère d'une représentation sont deux notions qu'on peut (je ne me prononce pas sur un éventuel qu'il faut) distinguer. Cela dit, je trouve aussi le titre trop lourd. Plus généralement, je ne suis pas certain d'être d'accord avec la tournure prise par une partie des articles sur les représentations, où j'ai l'impression qu'on est en train de recopier le bouquin de Serre (même si Jean-Luc ne le cite pas tellement dans ses références, peut-être y a-t-il une filiation sur plusieurs générations ?), en rajoutant des répétitions pour adapter au format Wiki. En tout cas, l'étude des caractères (*) des groupes finis ne forme pas une théorie en tant que telle ; ce n'est qu'un morceau de la théorie des représentations ; et c'est d'ailleurs un morceau central (he he). (*) : oups, j'ai oublié d'une représentation, mais c'est une omission qu'on fait en pratique ; et le fait qu'en pratique on fasse cette confusion me pousserait à penser qu'on peut regrouper en une page Caractère d'un groupe fini. Jean-Luc, comment souhaites-tu développer la notion de Caractère d'un groupe fini, je veux dire, celle qui n'est pas liée à la notion de représentation ? Pourquoi est-ce qu'un regroupement te paraît nuisible à un exposé clair des deux notions ?Salle 4 avril 2007 à 10:41 (CEST)

Je commence par plusieurs mea culpa. Pour ce qui est de l'accusation de recopier le bouquin de Serre, je me suis mal exprimé (et du coup, je ne répondrai qu'indirectement aux trois questions que tu poses) : je voulais critiquer le choix rédactionnel qui consiste à ce que chaque article soit indépendant de tous les autres, que certaines notions sont redéfinies dans plein d'articles différents ; j'ai l'impression que le corpus qui est en train d'être constitué est lourd et difficile d'usage ; personnellement, je ne vois pas comment on est censé naviguer dedans. Comme je ne veux pas m'investir dans un remaniement éventuel, je vais rester très évasif sur ce que seraient mes préférences, mais je les signale quand même : un gros article long, riche, avec l'historique, la mise en perspective, lien avec d'autres théories, et à côté, des articles plus techniques, qui doivent être courts (typiquement, pas plus d'un écran à mon avis), comportant essentiellement l'énoncé, avec les démos éventuelles (mais on peut s'en passer) en boîtes déroulantes. Pour prendre un exemple, je couperais dans Théorème de Maschke les parties Exemple et Contexte, puisque le matériau figure déjà ailleurs. Mais ce n'est que mon avis, à première vue, de loin, et je ne prétends pas détenir la vérité.

Deuxième mea culpa : en ce qui concerne ce que Jean-Luc appelle l'aspect semi-simple, je ne l'ai jamais (enfin, à part la réduction des endomorphismes) étudié sérieusement en tant que tel, donc je passe.

Ensuite, le vrai point, les caractères tels qu'utilisés en analyse harmonique. Je ne connais pas l'analyse harmonique (en revanche, j'ai un cours de DEA sous les yeux, qui pourrait être intitulé Vers le programme de Langlands, et où un caractère est effectivement défini comme un morphisme de groupe (topologique) à valeurs dans S¹. Première proposition : dualité de Pontryagin). Si je ne suis pas convaincu par une séparation en deux articles, ce n'est pas que je trouve que les deux notions sont les mêmes (contrairement à Ekto ?), c'est à cause du choix rédactionnel que je ferais ; celui qui consiste en ce qu'un article qui n'est pas choisi comme article pivot est très bref. Du coup, on peut sans dommage regrouper les deux, cela fera bref+bref = pas trop long (< deux écrans), avec en plus un endroit naturel pour bien souligner que les deux notions existent, plus la remarque (très intéressante) sur la réponse par Frobenius à une question de Dedekind. Mais, cela ne s'adapte pas du tout au style de rédaction choisi par Jean-Luc.

Du coup, ma position est la suivante : je ne trouve pas que la manière de Jean-Luc d'écrire une encyclopédie soit optimale, même si les articles sont bons voire très bons. Mais tant que c'est lui qui bosse le plus sur un sujet, je pense que cela introduirait encore plus de déséquilibre de casser son point de vue sur un article précis. Qu'en penses-tu Ekto ?Salle 4 avril 2007 à 14:36 (CEST)

Les absents ont toujours tort. Il faut que je reparte, désolé. Ai lu en diagonale. Ekto - Plastor 4 avril 2007 à 16:01 (CEST)

Réponse de Jean-Luc W sur Serre

Pour le contenu :

• Je suis un peu étonné à propos des références, en général je cite toujours mes sources, y aurait-il un oubli?

• Je vise une synthèse entre trois visions : celle très didactique de Serre pour les caractères, celle de Chambert-Loir pour l'aspect semi-simple et essentiellement Yam pour l'histoire. Je vise une synthèse avec 33% pour chacun. Pour moi les fondements de la théorie des représentations sont 50% semi-simple et 50% caractères et les caractères ne forment pas une théorie à part entière, je dirais pour te paraphraser c'est la moitié du morceau central.

Pour l'aspect semi-simple, as tu regardé les articles Théorème d'Artin-Wedderburn, Algèbre d'un groupe fini, Algèbre semi-simple ou encore Représentations du groupe des quaternions. J'ai l'impression d'une influence très faible voir nulle de Serre (même si je l'ai cité).

Pour les articles à la croisée des chemins comme Théorème de Maschke, Représentations des groupes finis, Théorie des représentations d'un groupe fini le plan est radicalement modifié par rapport au livre de Serre. Il intervient dans les définitions et les notations, mais les siennes semblent faire autorité dans les cours de fac que j'ai pu voir (à l'exception de ceux qui partent des algèbres semi-simples). L'aspect semi-simple tend à devenir la moitié du texte alors qu'il n'est presque pas présent chez Serre.

Pour les articles plus spécifiquement liés aux caractères, le terme de recopie me semble abusif, même si l'influence est grande. Par exemple pour les Fonction centrale d'un groupe fini l'essentiel des démonstrations se fondent sur une algèbre semi-simple et donc et en dehors de Serre.

Je reconnais que le choix de partir de Serre pour traiter Produit tensoriel et représentations de groupes finis est probablement peu judicieux une approche semi-simple était plus logique.

Je te propose de parcourir Théorème d'Artin-Wedderburn, Théorie des représentations d'un groupe fini et Représentations des groupes finis dans un premier temps. Si tu trouves que le rapport 1/3 1/3 1/3 pour les articles de synthèse n'est pas respecté, alors tu as raison et il va falloir que je comprenne pourquoi.

Mes questions sont donc : Pour les articles de Synthèses : Théorie des représentations d'un groupe fini Représentations des groupes finis ou en plus technique Théorème de Maschke trouves tu le rôle de Serre trop important?

Pour les articles semi-simples : Théorème d'Artin-Wedderburn, Algèbre d'un groupe fini, Algèbre semi-simple ou encore par exemple Représentations du groupe des quaternions Où vois tu l'influence de Serre?

Pour les article sur les caractèristiques : Le semi-simple se trouve essentiellement dans Fonction centrale d'un groupe fini ou les démo changent donc de nature (même si j'ai laissé celle avec une approche caractère pure). Trouves-tu que Serre est trop important et si oui pourquoi ?Jean-Luc W 4 avril 2007 à 13:54 (CEST)

Réponses de jean-luc W sur les caractères

Il existe deux théories bien différentes pour les groupes finis: l'analyse harmonique qui vise à trouver un dual à autre chose que le centre de l'algèbre du groupe et la théorie des représentations. In fine les représentations s'appuient sur la théories des anneaux et l'arithmétique et l'autre largement plus sur l'algèbre linéaire et les polynômes. Si les deux sont mélangés c'est parceque à l'origine Frobenius (découvreur des caractères des représentations) a répondu à une question de Dedekind (généralisateur des caractères comme morphismes de groupe) en tordant totalement le concept. Le pont me semble minime.

Pour moi, à terme il doit exister deux articles comme dans WP anglais l'un plutôt dans l'analyse harmonique et l'autre plutôt du coté des représentations.

T'ai-je convaincu ? Jean-Luc W 4 avril 2007 à 13:49 (CEST)

Non, pas du tout. La structure algébrique sur le dual n'a pas d'importance, seule l'introduction d'une mesure en a une. Tu sembles croire que l'analyse harmonique s'oppose aux représentations. Faux : les représentations sont le point de départ de l'analyse harmonique non commutative. Lire les références que je donne. Ekto - Plastor 4 avril 2007 à 15:54 (CEST)

Ne pas perdre de vue qu'il n'y a pas qu'en analyse harmonique que le mot caractère est utilisé sans signifier caractère d'une représentation. Typiquement, moi, j'aimerais bien qu'on suive comme référence The local Langlands conjecture for GL(2) de Bushnell et Henniart  ; ce n'est pas très raisonnable de chacun donner ses références, plus ou moins spécialisées - vous m'avez perdu en prononçant les mots analyse harmonique ; chacun d'entre nous a un point de vue haut sur le sujet, mais depuis un point précis qui est celui de sa spécialité. Pour s'accorder, le mieux serait peut-être de regarder les choses du plus bas possible, non ? En gardant à l'esprit qu'une fois qu'on ira vers l'écriture d'articles plus spécialisés, les articles de base pourront être remaniés en conséquence.Salle 4 avril 2007 à 16:50 (CEST)

Je reviens pour repartir : L'analyse harmonique n'est pas du tout ma spécialité. J'ai seulement fait l'effort d'ouvrir quelques livres sur le sujet, livre que j'ai cité plus haut :

• Weil, Intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Chap. V, par. 22, et Chap. VII ;
• James et Liebeck, Representations and characters of groups, Définition 13.4 ;
• Claudio Procesi, Lie groups. An approach trough Invariants and Representations. (y est aussi défini un caractère virtuel d'un groupe comme la différence de deux caractères, afin d'obtenir une algèbre) ;
• Fulton et Harris, Representation theory. A first Course. ;
• Kirillov, Representation theory and noncommutative harmonic analysis.

Ces livres ne sont pas des livres spécialisés et sont largement abordables !

Dans tous ces livres, il est clairement écrit qu'on définit un caractère d'un groupe comme un caractère associé à une représentation ; ensuite, il se trouve que ces caractères sont exactement les fonctions centrales définies positives normalisées (ouf). Les caractères irréductibles d'un groupe commutatif sont exactement les morphismes de groupes.

Donc, soit on ne parle que du cas commutatif et dans ce cas, il est légitime de définir un caractère comme un morphisme de groupes (c'est ce qui fait dans 90% des ouvrages sur les groupes commutatifs) ; soit on s'intéresse au cas général, avec la définition donnée ci-dessus de caractère, donnée dans les ouvrages cités. (Il existe je crois une extension de la définition pour les C*-algèbres, et des applications possibles à la physique moderne, je crois, mais là je deviens incompétent. Il faudrait que je consulte des livres sur la géométrie non commutative pour voir si la notion de caractère n'y jouerait pas par hasard un rôle central.)

Si maintenant en algèbre, un caractère désigne seulement un morphisme, y compris pour un groupe non commutatif, alors il faut faire une coupure des articles entre algèbre et analyse. C'est dans ce cas dommage.

Ekto - Plastor 4 avril 2007 à 17:23 (CEST)

Ben, dans l'algèbre que je connais, je confirme que le caractère d'un groupe, c'est précisément un morphisme du groupe dans S¹, et pas autre chose. Maintenant, quand je dis algèbre, tous les groupes que je considère sont topologiques (localement profinis), alors, les morphismes sont continus... En gros, aucun de nous ne sait précisément quel est l'emploi le plus général du mot caractère, ni précisément comment les divers emplois s'imbriquent, c'est bien ça ? Je pense aussi à caractère de Dirichlet, par exemple. Du coup, je vais être lâche : je ne sais pas ce qu'il convient de faire.Salle 4 avril 2007 à 17:46 (CEST)

Pour moi un morphisme à valeurs dans $\mathbf {C} ^{*}$ est un cas particuliers de caractère d'un groupe. Un morphisme de groupes à valeurs dans $\mathbf {C} ^{*}$ est la trace d'une représentation de rang 1.

Les caractères de Dirichlet peuvent être vus comme le prolongement par 0 d'un caractêre irréductible du groupe $[\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ]^{*}$.

Ekto - Plastor 4 avril 2007 à 18:33 (CEST)

Dernière réponse pour Ektoplastor

J'ai bien du mal à comprendre.

Après notre polémique, j'ai recommencé à contribuer sur un terrain différent des mathématiques pour éviter les conflits. Suite à une période que j'estimais suffisante pour un retour au calme j'ai recontribué en mathématiques sur le sujet de représentations. A l'époque il était très largement vierge et aucun signe ne laissait présager de ta part un intérêt soudain.

Erreur, dans la demi-journée tu as écrit un commentaire intitulé mauvaise direction et dont la première phrase est désolé, Cet article part dans la mauvaise direction.

Voulant éviter une polémique inutile, j'ai immédiatement reverté toutes mes modifications pour te laisser le champs libre. Et je t'ai dit que je ne m'occuperais uniquement du cas fini.

Tu as d'ailleurs commencer à contribuer avec quelques articles comme fonction centrale ou Caractère d'un groupe topologique compact.

Cela n'a pas duré longtems. Depuis 15 jours, tu délaisses le cas général, c'est exclusivement le cas fini qui t'intéresse. Tu passes maintenant l'essentiel de ton temps sur Wikipédia à vouloir m'imposer ton point de vue.

Moi non plus tu t'en doutes, je ne suis pas d'accord avec beaucoup de tes choix. Personnellement je pense qu'il est plus grave de définir comme tu le fait, une représentation comme n'importe quelle application continue dans un espace vectoriel que de préciser que le caractère s'applique à une représentation. Je ne pense pas non plus qu'une fonction centrale soit nécessairement à valeur dans le corps des réels ou des complexes. Mais je ne passe pas l'essentiel de mes contributions à vouloir t'imposer mon point de vue.

Je t'en prie, arrètes de passer toute ton énergie sur les articles sur lequel je contribue. Contribues activement à construire la description de la théorie dans le cas général si elle t'intéresse ou trouve d'autres centres de préoccupation que mes contributions. Jean-Luc W 4 avril 2007 à 21:58 (CEST)

J'ai bien du mal pour ma part à comprendre. Parano ? Si depuis quyelques temps, je passe clairement mon temps sur Wikipédia sur cette page de discussion, c'est pour ne pas émietter la conversation, et pour pouvoir la suivre. Uniquement. Et aussi, parce que je n'ai pas beauicoup le temps de faire autre chose, bien que j'aimerais bien.

N'oublie pas qui a commencé la polémique : voir ici. Je ne peux pas donner la définition exacte à un endroit, et renvoyer le lecteur à un autre article pour le cas fini où il est clairement dit l'exact contraire.

Rassures-toi : tu es à nouveau seul, position idéale pour avoir toujours raison.

(Au vu de la "dernière réponse", je vois ce qui m'attendrait si je continuais.)

Ekto - Plastor 5 avril 2007 à 16:10 (CEST)

Réponse aux nouvelles précisions

Voilà des questions beaucoup plus difficile à répondre. Si, sur l'affaire Serre, je me sens tranquille, autant les nouvelles remarques de Salle sont largement interessantes. Si je partage un point de vue légèrement différent. Il y a évidemment beaucoup de juste. Je vais réfléchir et me faire une opinion. Jean-Luc W 4 avril 2007 à 14:54 (CEST)

• En quoi nos positions convergent :

En préambule je dirais que beaucoup, dont moi sont admiratifs du style conçis et précis de Salle. J'ai en mémoire la contribution sur les corps finis qui a instantantément mis tout le monde d'accord. Mais j'ajouterais si la critique est facile, l'art au moins pour moi est difficile. Sur le fond nous avons donc un accord sur l'objectif.

• En quoi nos position divergent :

Tu pousses le bouchon trop loin à mon avis. Une démonstration ou une idée, une fois qu'elle est comprise, devient limpide. En revanche, tant qu'elle n'est pas assimilée elle est asbconde pour le lecteur, des exemples ont ainsi pour moi leur rôle.

C'est vrai que j'ai souvent tendance à aller trop loin. Mais, je précise un peu la divergence : je ne crois pas que Wikipedia puisse se substituer à un cours. Je n'ai donc pas le souci de mener le lecteur d'une connaissance nulle sur un sujet à une connaissance précise. J'ai d'autres types d'usage en tête : la personne qui ne connaît rien trouvera un article général, où on lui présente enjeux, historiques, philosophie générale, applications, et s'arrête là ; et si elle veut tout apprendre en détail, c'est le format wikilivres qui convient, pas wikipedia. La personne qui s'y connaît un peu, ou beaucoup, ne vient que pour vérifier un point de détail, et a besoin d'une fiche précise et concise, où l'info est rapidement accessible.

• Soyons pratique :

Pas la peine de disserter pendant des heures, quelques règles me semblent pouvoir être fixées et directement appliquées.

Le gain obtenu par des définitions et un contexte initial clair est inférieur au dommage causé par la longueur de l'article. L'idée d'une relative indépendance des articles développée n'est à l'expérience pas bonne. Il faut établir des reverts précis, mais sur une quinzaine d'articles ce n'est pas bien difficile je les connais par coeur.

Les liens doivent être utilisés avec force, si une idée est exprimée dans un article, alors point n'est besoin d'un rappel, ceci est aussi valable aussi pour les exemples. Cette idée permet encore de gagner pas mal.

Une incarnation dans un article me semble une meilleure approche. Si tu es d'accord Salle, je prend comme terrain de jeu Maschke. Je fais une passe pour essayer d'aller dans la direction indiquée, quand nos avis divergent je justifie dans la page de discussion et on essaye de trouver un point d'équilibre satisfaisant? Jean-Luc W 4 avril 2007 à 17:27 (CEST)

D'accord, bien sûr. Comme je l'ai dit, c'est toi qui bosses, je me permets déjà de faire des remarques alors que je fais à peine une ébauche tous les deux mois, je ne vais pas en plus te dicter dans quelle direction tu dois aller. Encore une fois, merci pour tout le boulot.Salle 4 avril 2007 à 17:59 (CEST)

Explications d'Ektoplastor

Selon Jean Luc W (arrêtes-moi si je ne me trompe), un caractère d'un groupe désignerait exclusivement un morphisme d'un groupe dans $\mathbf {C}$ et la trace d'une représentation devrait être appelée caractère de la représentation.

Mais, je dis qu'un caractère d'un groupe désigne n'importe quelle trace d'une représentation de dimension finie. Si la représentation est de rang 1, la trace est effectivement un morphisme de groupe. Pour un groupe commutatif (fini ou compact), une représentation irréductible est nécessairement de dimension 1. Donc, un caractère irréductible d'un groupe commutatif est nécessairement un morphisme. Donc, pas de souci sur la définition d'un caractère irréductible ou simple d'un groupe commutatif.

Que les gens ne s'inquiètent pas : il est possible de définir pour les groupes compacts les caractères de manière intrinsèque comme des fonctions centrales définies positives et normalisées. Les caractères irréductibles apparaissent comme des points extrémaux, et on les appellent aussi caractère simples ou caractère pur (peut-etre par analogie avec la physique avec un gros point d'interrogation ?). J'aurais déjà développé tout ça dans Caractère d'un groupe topologique compact ...

Le fait que l'ensemble des caractères d'un groupe non commutatif ne forme pas un groupe peut effectivement être un problème, mais si on se restreint uniquement aux morphismes de groupes, on perd trop d'informations sur les fonctions lorsqu'on définit la transformée de Fourier.

Je m'appuie sur des références faisant un traitement systématique du cas non commutatif.

Ekto - Plastor 4 avril 2007 à 12:48 (CEST)

Caractéristique finie

J'ai un gros doute: les morphismes de corps sont égaux (sur un corps fini) à un $x\mapsto x^{p^{k}}$. Si on veut un autmorphisme $\varphi$ sur un corps fini qui vérifie en plus $\varphi \circ \varphi ={\text{id}}$, il ne peut s'agir que de l'identité ou, si le corps est de dimension $d$ (paire) sur son corps premier, de $x\mapsto x^{p^{d/2}}$. Le $d$ ne peut pas dépendre de $\alpha$ (comme dans le texte de l'article). En outre $\alpha \varphi (\alpha )$ sera dans le corps premier (pour tout $\alpha$) si et seulement si $2|1+p+\cdots +p^{d-1}$ et $\varphi ={\text{id}}$ ou si $d$ pair, $1+p^{d/2}|1+p+\cdots +p^{d-1}$ et $\varphi (x)=x^{p^{d/2}}$.

Enfin, $1+1+1+\cdots +1+1=0$ en caractéristique $p$ (si on ajoute un multpiple de $p$ fois $1$ à lui-même). Donc le «truc» qui marche pour $\mathbf {C}$ de faire $a{\overline {a}}+b{\overline {b}}+\cdots +x{\overline {x}}$ pour être de sûr d'btenir quelque chose de différent de $0$ marche beacoup moins bien en caractérisique finie.

La partie «caractéristique finie» me semble donc à vérifier: des choses restent vraies, mais je pense que l'utilisation d'un équivalent de la conjugaison complexe et du module est vouée à l'échec.

Le cas de la caractéristique finie demande beaucoup plus de travail que ce simple paragraphe pour apporter quelque lumière à un lecteur curieux. Le plus prudent est de tout reverter. Jean-Luc W (d) 20 septembre 2008 à 11:45 (CEST)

Introduction par l'exemple

Pour calculer a, b, c à la fin, on peut soit calculer explicitement χ_ρ à l'aide d'une base bien choisie (mais c'est très laborieux, et après ce n'est plus la peine de calculer a, b, c : χ_ρ=χ_λ, où λ est la représentation régulière, donc ρ=λ, dont on a précisé auparavant la décomposition), soit invoquer le théorème de la base normale, qui permet de dire tout de suite que ρ=λ. Je ne trouve pas d'autre méthode, donc je ne vois pas comment sauver cette section. Anne (d) 5 avril 2012 à 02:06 (CEST)

Bon, je vais tenter un "sauvetage" en admettant, liens à l'appui, le théo de la base normale (de même qu'on admet que le groupe de Galois est S3). Anne (d) 23 avril 2012 à 22:59 (CEST)

Fusion ?

Il existe trois articles : Caractère (mathématiques), Caractère d'un groupe fini, Caractère d'une représentation d'un groupe fini, traitant de sujets fort proches. Ne serait-il pas envisageable de regrouper ces articles ? Theon (discuter) 8 novembre 2013 à 16:07 (CET)

Vues les chamailleries ci-dessus (rappelées dans Discussion:Caractère d'un groupe fini#Caractères linéaires VS Caractères), il me semble mieux de garder "caractère" comme un article chapeau expliquant qu'il y a 2 notions, et liant vers ces 2 dans le cas d'un groupe fini. Anne (discuter) 8 novembre 2013 à 18:47 (CET)

Bah oui, mais je me demande bien quel est l'article chapeau qui oriente vers les deux notions. Le pauvre internaute erre d'un article à l'autre avant de découvrir enfin celui qui l'intéresse. Même si on garde les deux notions distinctes, il faudrait quand même une réorganisation, mais j'ai compris que c'était compliqué à mettre en place.Theon (discuter) 9 novembre 2013 à 11:19 (CET)

L'article chapeau auquel je pensais est Caractère (mathématiques), prédestiné par son titre et qu'il suffirait peut-être de rendre plus efficace pour l'internaute. Anne (discuter) 9 novembre 2013 à 22:29 (CET)