Discussion:Axiomes de Peano

J'ai changé le début

parce que les axiomes écrits ne sont pas ceux donnés par Peano (tout au moins dans la source à ma disposition) ; par exemple, pour Peano, les entiers commencent par 1. J'ai supprimé l'allusion au théorème de complétude parce qu'elle était fausse. Le théorème de complétude assure qu'une proposition est démontrable (au sens syntaxique) si et seulement si elle est vraie dans TOUT modèle. Ce qui était dit était en contradiction avec le théorème d'incomplétude de Gödel, première forme : pour toute théorie des entiers rausonnablement formalisée, il existe des propositions vraies (dans le modèle usuel) et non démontrables (incomplétude ou indécidabilité - il y a une subtile différence - de l'arithmétique). CD 8 fev 2005 à 13:21

Analyse non standard

J'ai enlevé le lien avec l'analyse non-standard : il était erronné. L'analyse non-standard utilise soit une extension élémentaire de N (donc pas un modèle non-standard de l'arithmétique de Péano construit à partir du thérème d'incomplétude), soit une extension de ZF (axiomes IST de Nelson). Comme de plus, la méthode de Robinson utilise un ultraproduit (en fait une extension élémentaire sur un langage beaucoup plus large que celui de l'arithmétique : le langage contient toutes les fonctions de N dans N), je n'ai pas pensé pertinent de faire le lien entre l'analyse non standard et les modèles de Péano élémentairement équivalents à N.

J'ai aussi donné une autre méthode de constructions de modèles non standards.

CB — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 83.199.80.250 (discuter), le 24/03/2006.

J'ai rétabli le lien avec l'analyse non standard, car l'idée me semblait tout de même intéressante, mais dans une version qui j'espère vous conviendra (vous êtes manifestement plus au courant que moi, n'hésitez pas à resupprimer), et fait passé votre méthode, qui est plus "standard", en premier. Proz 11 mai 2006 à 22:16

Nombre d'axiomes

Heu dans le chapitre "Arithmétique de Peano" on dit qu'il y a 7 axiomes, et après on voit une liste de 8 axiomes. Erreur de frappe ou axiome qui n'en est pas un? Valvino 22 juin 2006 à 23:52

Il était précisé : "ainsi qu'une infinité dénombrable d'axiomes" ; c'est le schéma d'axiomes qui est numéroté 8 et qui représente une infinité d'axiomes. C'était donc correct. J'ai quand même un peu reformulé et complété. Proz 24 juin 2006 à 16:01

Envisager N différemment

Cet article ainsi que celui sur N laissent penser qu'on ne peut pas envisager N différemment qu'avec les axiomes de Peano (et donc le principe de récurrence). Exagération? Ou vérité? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 86.213.63.132 (discuter), le 16/01/2009.

Nuance de vocabulaire qui me semble peu claire et peu usuelle

La distinction faite dans l'article entre :

• les 5 axiomes de Peano (originels semble t-il) exprimés en 2nd ordre et
• les 7 axiomes de Peano (dérivés semble t-il) de l'arithmétique de Peano, eux exprimés en 1er ordre,

me semble peu clairement exprimée (même si je comprends bien la différence). Et surtout cette distinction me semble avaliser un vocabulaire qui ne me semble pas forcément usuel à savoir : si on parle des axiomes de Peano on serait dans le 2nd ordre mais si on parle de l'arithmétique de Peano on serait dans le 1er ordre. J'avoue que je ne connais pas une telle nuance d'expression, et vous ? --Epsilon0 ε₀ 25 mars 2011 à 17:26

Il me semble très très usuel d'appeler "arithmétique de Peano" la théorie du 1er ordre. On doit avoir une ref dans Cori-Lascar (?). "Axiomes de Peano" : considérés "au 2nd ordre", disons modulo la théorie des ensembles, comme d'habitude en math (hors logique). Je en comprends pas les "quoi". Proz (d) 25 mars 2011 à 18:59

Ah, donc j'ai du ne pas remarquer cette distinction de vocabulaire usuel alors. Je vais regarder dans Cori et Lascar et dans les ouvrages que j'ai. Sinon, les quoi que j'ai mis étaient pour souligner, avant de songer d'aller sur cette pdd, les passages qui m'interloquaient ; vu que c'est dit ici je m'en vais les supprimer. Sinon même si ton intervention m'amène à penser que je me gourre, je me permets de mettre à la suite le texte que je voulais ajouter en précision au mien avant d'avoir vu ta réponse, quitte à ce qu'il soit en partie caduc. --Epsilon0 ε₀ 25 mars 2011 à 21:45

Pour préciser mon intervention, Pour moi (= mon savoir passif du à mes études/lectures) on a une distinction essentielle qui s'exprime en distingant :

• L'arithmétique du 1er ordre = théorie arithmétique définie comme ensemble (infini : car shéma d'axiomes de récurrence) d'axiomes du 1er ordre, et
• L'arithmétique du 2nd ordre = théorie arithmétique définie comme ensemble (fini: sans shéma d'axiomes de récurrence) d'axiomes du 2nd ordre,

Et nullement une distinction qui s'exprime en disant que d'un côté (2nd d'ordre) on a des axiomes et de l'autre (1er ordre) on a l'arithmétique. Sinon la précision de Peano est utile

• dans ce cadre uniquement pour préciser la forme (apparemment du 2nd ordre selon l'article ) originelle qu'avaient les papiers de Peano (que je ne pssède pas) ; "uniquement" car cela relève d'une question historique et non théorique OU
• pour préciser que c'est l'arithmétique incomplète (avec la multiplication) de Peano à distinguer de l'arithmétique complète (sans multiplication) de Presburger. En passant, sans être sûr, cette distinction complet/incomplet ne fait p-e. sens que dans une présentation du 1er ordre, vu qu'en 2nd ordre on n'a pas un vrai thm de complétude.

Sinon j'ai ajouté "=" dans le langage de l'arithmétique, à la réflexion ce n'est pas forcément judicieux (n'hésitez à supprimer), car dans ce cas la théorie doit inclure les axiomes de l'égalité qui sont quasi toujours admis implicitement dès que l'on use de ce symbole et ... qui sont quasi toujours omis dans les présentations usuelles.

Aussi pour reprendre mon interrogation, de quoi parle précisément cet article ?

• De l'arithmétique exprimé en 1er ou 2nd ordre, donc pour faire simple de N et des autres modèles de la théorie qui ont N comme segment initial puis des flopées de Q à sa suite ? chose, de nouveau dit en pssant en digression, mais c'est p-e. du à une malcompréhension de ma ^part, qui semble être incomprise quand on parle d'arithm non standard .... comme si c'était LA bonne et définitive théorie arithmétique, lors qu'elle est évidemment elle aussi incomplète ; mais il y a sans doute qqch que je n’ai pas compris.OU
• Des axiomes initialement donnés par Peano qui ultérieurement on pu être formulés différemment, ce que laisse suggérer l'entête de l'article ?

--Epsilon0 ε₀ 25 mars 2011 à 21:48

J'ai beaucoup de mal à te suivre. Quelle serait LA bonne théorie arithmétique ? Quel est le rapport avec Presburger ? L'égalité : il y a un calcul des prédicats égalitaire, un th. de complétude pour ce calcul. 2nd ordre a deux sens en logique, et je ne sais pas trop duquel tu parles. Cela a un sens de parler de structures vérifiant les axiomes de Peano en th. des ensembles, ce n'est juste pas une théorie autonome, il n'y a pas à ajouter "+" et "x" qui se définissent. On doit pouvoir trouver des choses dans Moschovakis, Notes on set theory par ex. Proz (d) 26 mars 2011 à 00:26

Oui désolé j'ai digressé sur trop de choses, j'y reviendrai p.-e. mais pas avant 4-5 jours. Là mon pb était bcp + basique (simple vocabulaire) et ta modif va dans le bon sens : laisser croire que si on dit "arithm" on est dans le 2nd ordre et que si on dit "axiome" on est dans le 1er. Mais c'est plus une petite ambiguïté que je pourrais reprendre mais un peu + tard. --Epsilon0 ε₀ 26 mars 2011 à 21:09

Mon impression (et qui correspond à peu près ce qui est dans l'article, qui doit venir de en:) est que l'on parle d'axiomes de Peano aussi bien pour les axiomes 2nd ordre (disons "modulo la th. des ens."), que pour la théorie du 1er ordre, et que par contre, en logique au moins, arithmétique de Peano renvoie à l'arithmétique du 1er ordre avec au moins + et *. L'arithmétique du 2nd ordre désigne aussi une théorie axiomatique en logique du 2nd ordre, qui peut être vue comme une théorie du 1er ordre déguisée (donc complétude avec des modèles ad hoc, incomplétude etc.). Ce questions, autour des sens différents de "théorie" ne sont jamais très claires. Proz (d) 27 mars 2011 à 22:39

Pb de numéros

Suite à ça, compréhensible autant que le revert qui a suivi, j'étais à 2 doigts de renuméroter la 2^e série d'axiomes en remplaçant 1. par « 1. et 2. », 2. par « 3. » etc., et (dans la phrase litigieuse) « proposition 4 » par « proposition 5 », pour mettre en concordance les numérotations des 1^e (informelle) et 2^e (formelle) séries, mais ça risque de perturber des liens internes qui par exemple feraient référence à « l'axiome formel n°4 » (actuel). Ce serait pourtant l'idéal àma (mieux que de renuméroter la 1^e série à partir de 0, car j'imagine (?) que ces numéros de 1 à 5 sont standard) mais j'ai la flemme de fouiller les liens internes. Si personne n'a ce courage, un pis-aller facile serait préciser cette phrase. Anne 31 mai 2011 à 20 h 42

J'ai harmonisé : il n'y a aucune numérotation standard à mon avis, d'autant que ce ne sont pas les axiomes "historiques", et on peut toujours ne pas faire références dans les autres articles à des numéros (ça devient illisible). Il me semble bien l'avoir reformulé quand j'ai vu ce genre de trucs. On pourrait aussi regrouper les deux listes en une (pas sûr que d'appeler (N,0,s) (E,x,f) apporte grand chose). Il faudrait aller voir des bouquins à l'occasion (Moschovakis, Halmos ?). Proz (d) 31 mai 2011 à 22:44

Un peu d'archéologie wikipédique : les "structures de Dedekind-Peano" viennent très probablement de la version anglaise qui a abandonné ce vocabulaire (pour lequel je n'ai pas de source) en 2007, ils parlent maintenant simplement de modèle des axiomes de Peano (ce qui parait clair). Je ne suis pas pour reprendre les axiomes historiques de Peano avec l'égalité comme le fait la version anglaise (plus personne ne fait ça, ça pourrait être mentionné dans une section histoire). On pourrait cependant simplifier ce double énoncé et cette histoire de structure de Dedekind-Peano. Par ailleurs je confirme que la numérotation n'est pas standard : les deux seuls bouquins dans lesquel j'ai cherché, Halmos (naive set theory) et Moschovakis (notes on set theory) donnent deux listes numérotées différemment, entre elles et de celle-ci. Proz (d) 1 juin 2011 à 20:40

Un axiome redondant ou pas ?

Bonjour,

Je suis peut‑être simpliste, mais si c’est le cas, je veux savoir où.

J’ai l’impression que dans …

1. $E$ est un ensemble, $x$ est un élément de $E$,
2. $f$ est une application de $E$ dans lui-même,
3. $x\notin f\left(E\right)$,
4. $f$ est injective,
5. Tout sous-ensemble $F$ de $E$ contenant $x$ et stable par $f$ (c'est-à-dire que $f\left(F\right)\subset F$) est égal à $E$.

… le quatrième axiome est une conséquence des trois premiers, et qu’il est redondant. --Hibou57 (d) 8 août 2012 à 20:06

Exemple d'un triplet (E,f,x) satisfaisant les axiomes 1, 2, 3 et 5 mais pas le 4 : E={0, 1, 2}, x=0, f(0)=f(2)=1, f(1)=2. Anne 8 août 2012 à 21 h 22

En plus simple vu la question précise, E={0, 1}, x=0, f(0)=f(1)=1 satisfait 1, 2 et 3 mais pas 4. D'ailleurs, sauf erreur, si E est un ensemble fini, on a : (1 et 2 et 3) --> non 4. Sinon, attention, p.-e. n'est-ce pas clair dans l'article, mais ces points 1. -- 5. ne sont pas des axiomes de Peano. --Epsilon0 ε₀ 8 août 2012 à 21:58

Source des axiomes

Il est un peu perturbant de constater que si l'on compare à l'article anglophone , le nombre et la nature des axiomes divergent. En effet l'article anglais fait état de 9 axiomes de logique du premier ordre et 15 axiomes pour l'arithmétique de Peano du second ordre. N'y a-t-il pas de consensus international sur cette axiomatisation ? Quelles pourraient être les sources aujourd'hui consultables concernant les travaux de Peano ? Nico⁹² 12 mars 2014 à 11:24

pour le second ordre : l'article sur en: a choisi une présentation historique des axiomes du second ordre (qui n'a plus qu'un intérêt historique), ici c'est une présentation modernisée, celle de Moschovakis "Notes on Set theory" par ex. Pour le premier ordre : le 2nd axiome de la liste actuelle est conséquence de la récurrence, donc pourrait être omis. Il l'est ou non suivant les auteurs (pas leur nationalité ama), Cori-Lascar le conserve par ex. il y a une infinité d'axiomes dont certains seront redondants de toute façon. Je suis d'accord que l'article devrait signaler ses sources, et éventuellement la version historique des axiomes, mais dans une section histoire cf. § précédent. Proz (discuter) 2 août 2015 à 00:10

Puissances en arithmétique de Peano

Lorsqu'on contemple la liste des axiomes de l'arithmétique du premier ordre on voit les équations de définition de l'addition et de la multiplication mais pas celles des fonctions puissances (alors que les puissances font indéniablement partie de l'arithmétique élémentaire). Il faudrait peut être expliquer pourquoi -c'est à dire qu'une construction (non triviale !) fournit des formules d'arithmétique P(a,b,c} de Peano équivalentes à c=a^b -c'est a dire telles que l'unique c' tel que P(a,b+1,c') est le produit par b de l'unique c tel que P(a,b,c) et que (bien sûr !) P(a,0,1) est vraie, du moins si a n'est pas nul (voire P(a,1,a) si on veut faire commencer les entiers à 1). Il n'est peut être pas nécessaire de donner le détail d'une telle formule P et on pourrait se contenter d'un renvoi. On pourrait d'ailleurs aussi inclure une discussion similaire pour la factorielle. Un sujet relié est le théorème de Robinson-Matijasevic (duquel il résulte que la formule ci-dessus peut s'exprimer par un problème diophantien).

Alain Gen -7 octobre 2015

C'est juste, il faudrait citer la représentation des fonctions calculables ceci-dit (pour l'essentiel, sans énoncé aussi général, dans Gödel 1931), l'astuce qui permet de représenter la puissance par ex. en utilisant le th. des restes Chinois est décrite Théorèmes_d'incomplétude_de_Gödel#La_fonction_β c'est plus simple que Matjacevic. E t pourquoi pas détailler dans le cas de l'exponentiation (pas forcément une formule mais la méthode pour en construire une). Il s'agit d'arithémtique du premier ordre (pour les autre lecteurs qui passeraient et pour qui ça n'est pas forcément évident). Proz (discuter) 8 octobre 2015 à 17:18

Merci pour votre réponse. Oui, je pense que ça vaudrait le coup -avec éventuellement un renvoi, pour les détails, à la section sur la fonction beta de l'article sur les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Si ce n'est pas trop lourd, l'idéal serait de généraliser ensuite en disant qu'on peut "implémenter" de cette manière toute fonction primitive récursive par une formule de PA, ce qui explique pourquoi l'arithmétique de Peano étend l'arithmétique primitive récursive sans avoir besoin d'introduire explicitement des symboles pour les fonctions primitives récursives.

Alain Gen -10 octobre 2015

Pas vraiment d'accord avec l'axiome 5

(5) Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N. On pourrait ainsi définir N' = N union {zero'} avec S(zero') = zero'. Cet ensemble N' satisfaisant tous les axiomes on aurait N' = N (par axiome 5), ce qui me semble assez surprenant (mais je peux me planter). En regardant le wiki anglophone, on a une formulation différente de cet axiome: (9) If K is a set such that: 0 is in K, and for every natural number n, n being in K implies that S(n) is in K, then K contains every natural number. Par analogie avec l'axiome 9 de la version anglophone, on peut changer "alors cet ensemble est égal à N" en "alors cet ensemble contient N". --Jean-François Baget (discuter) 4 octobre 2016 à 11:17

• Cette modif ne s'imposait pas : le sens est inchangé mais je trouve ça moins clair.
• Ici, « entiers naturels » ne peut rien signifier d'autre que « éléments de N ». Si bien que quand on remplace N par ton N' (« entiers naturels » signifiant alors « éléments de N' »), l'axiome 5 (dans sa version antérieure ou dans ta version modifiée, équivalente) est faux : l'ensemble N d'éléments de N' contient 0 et est stable par successeur mais n'est pas égal à N' (ou ne contient pas N', c'est pareil).
• L'axiome 9 anglophone (qui parle d'un ensemble quelconque K, non nécessairement inclus dans N) est équivalent à notre axiome 5 (qui parle d'une partie de N) : 9 implique trivialement 5, et 5 appliqué à K∩N implique 9.

Anne, 7/10/16, 14 h

OK, j'avais déconné, mais il reste que "contient" suffit, alors que "egal" est plus fort. Quand on définit une axiomatique, on essaie d'avoir les axiomes les plus faibles non?--Jean-François Baget (discuter) 11 octobre 2016 à 09:16 (CEST)

Formulation du huitième axiome

Je ne peux me prétendre spécialiste, mais je ne comprends pas l'utilité de formuler le huitième axiome sous une forme aussi compliquée que dans l'article en plus, je suis un peu gêné de parler de n+1 variables au moment d'axiomiser la notion d'entier naturel, je sais bien que la notion de langage utilise déjà des notions d'arité des fonctions ou de relation n-aire mais bon... La formule incriminé de l'axiome est recopiée ci-dessous:

Pour toute formule $\phi (x,x_{1},\ldots ,x_{n})$ à n + 1 variables libres, $\forall x_{1}\ldots \forall x_{n}\left(\left(\phi \left(0,x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\wedge \left(\forall x\left(\phi \left(x,x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\rightarrow \phi \left(sx,x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)\right)\right)\rightarrow \forall x\phi \left(x,x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)$

Dans un livre que j'ai sous la main ("Introduction à la logique" de René David, Karim Nour et Christophe Raffalli) on définit l'axiome sous cette forme: (enfin à peu près, parce qu'ils s'embêtent avec une histoire de clôture universelle, il est possible que le "pour toute formule" ne soit pas trop légal)

Pour toute formule (F) $(F(0)\land \forall yF(y)\rightarrow F(sy))\rightarrow \forall xF(x)$

On notera que cette formule est équivalente à la première par utilisation réitérée de la règle d'introduction du quantificateur universel dans un sens ou d'élimination du même quantificateur dans l'autre (les $x_{i}$ ne sont pas si libres que ça dans la formule puisqu'on utilise ce f).

Je viens de consulter deux autres livres qui présentent d'autres formulations ("Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation" de Jean de Biasi et "Les objets fondamentaux en mathématiques - Les nombres" de Marcel Grangé). En substance, ces deux-là présentent cet axiome sous des formes qui nécessitent au préalable d'admettre les notions d'ensemble, d'appartenance et de partie et qui sont équivalente à ça:

 $[(A\subset \mathbb {N} )\land (0\in A)\land (x\in A\rightarrow sx\in A)]\rightarrow A=\mathbb {N}$

Je veux bien admettre que cette deuxième formulation serait moins rigoureuse, à cause des notions "ensemblistes" qui laisse penser qu'on se trouverait dans un système d'axiome plus large, mais dans le genre de littérature que je consulte (préparation à des concours), c'est très répandu. Voilà, ne pensez-vous pas que l'utilisation d'une ou l'autre des deux formules simplifierait un peu la lecture de l'axiome?

--Un autre type (discuter) 5 décembre 2018 à 20:10 (CET)

Ce n'est pas une question de rigueur. Il s'agit de l'arithmétique de Peano du 1er ordre, la récurrence est un schéma d'axiomes (une infinité, un pour chaque formule). Les paramètres (x_i) sont indispensables, on peut ne pas les expliciter en parlant de clôture universelle (dans la seconde formulation F dépend également de variables libres qu'on peut appeler x_1 ... x_n), mais ça n'est pas forcément plus clair. Dans un contexte ensembliste, il doit s'agir de l'arithmétique du second ordre, probablement dans un contexte plus général (ce n'est pas un"système formel") ce n'est pas la même chose, c'est ce dont il est question dans le premier paragraphe, la récurrence s'exprime de façon ensembliste par un seul axiome. L'article n'est pas très clair sur ce point (et les "structures de Dedekind-Peano" c'est non standard). Proz (discuter) 6 décembre 2018 à 01:27 (CET)

Ok, merci pour votre réponse et notamment d'avoir souligné le concept de schéma d'axiome, jusque là je n'avais pas de problème pour mettre des quantificateurs portant sur des formules partageant des propriétés communes et je me rend compte que je me suis permis de faire du méta là où j'avais l'impression de faire du premier ordre (je reste gêné par le fait qu'on fasse appelle à "n" variables, mais je crois que je dois m'y faire). Pour ce qui est de la dernière formules, je suis tout-à-fait d'accords avec vous, j'étais de base assez dérangé parce que je ne savais pas comment définir un ensemble ou l'appartenance, je l'ai ajouté parce que j'ai constaté que son usage dans un domaine disons "scolaire" était répandu et "estampillé Peano".

--Un autre type (discuter) 8 décembre 2018 à 19:57 (CET)

La possibilité de creer des boucles d apres cette formulation des axiomes de peano?

Bonsoir, il me semble bien qu une telle structure veriferait les axiomes de peano ainsi decrits:

S(0)=1 S(1)=2 S(3)=4 Etc...

Mais si on rajoute des symboles a,b et c vérifiant ceci: S(a)= b S(b)=c Et S(c)= a

Alors aucun axiome ne serait contredit N contiendrait en plus des nombres des boucles! Il faudrait preciser que cest le plus petit ensemble creer de cette manière... et encore ce serait pas parfaitement rigoureux.

Bien a vous Nicobzz (discuter) 18 avril 2019 à 22:13 (CEST)

Bonjour, les boucles ne sont pas possibles. Tout modèle de AP est de la forme N + des copies de Z. S'il y avait une boucle, amaha l'axiome 3 serait violé. On doit pouvoir démontrer par récurrence qu'un entier (càd un point du modèle) aurait 2 prédécesseurs. --Epsilon0 ε₀ 18 avril 2019 à 22:52 (CEST)

Je suis désolé d insister un peu, mais dans mon exemple de structure aucun point du modèle n a deux predecesseurs. Je me demande si quelque chose a été mal recopié sur les axiomes de peano par rapport a l original, si jamais je ne me trompe pas. Nicobzz (discuter) 19 avril 2019 à 10:59 (CEST)

Même si on ne voit pas l'image sur la page cette question est exactement celle posée ici avec 2 réponses une par récurrence, l'autre en faisant intervenir une relation d'ordre. En fait il faut prouver que S est une fonction strictement croissante sur une relation d'ordre à définir (Sur N c'est la relation d'appartenance qui est un bon ordre sur les ordinaux, mais les autres modèles de AP ne sont pas des ordinaux). --Epsilon0 ε₀ 19 avril 2019 à 11:43 (CEST)

La récurrence n'est pas satisfaite. S'il s'agit des axiomes du 2nd ordre c'est évident. S'il s'agit des axiomes du 1er ordre, ∀x x ≠ ssx se démontre très facilement par récurrence en utilisant qu'un successeur est non nul, et l'injectivité du successeur (idem pour x ≠ s...sx avec autant de successeurs que l'on veut, au moins un). Proz (discuter) 19 avril 2019 à 17:49 (CEST)

Bonsoir. Aujourd'hui que je comprends mieux la logique mathématique j'ecris a nouveau sur le sujet de ces boucles... Et je pense toujours un peu pareil mais je m'étais mal expliqué : Si dans l'ensemble E , en plus des nombres entiers on rajoute une ou plusieurs de ces boucles alors tout les axiomes restent vérifiés, y compris le cinquième axiomes de la deuxième définition des axiomes de peano nicobzz2

Désolé, je me souviens maintenant que j'avais beaucoup réfléchi au problème et j'avais fini par comprendre, en fait c'est le cinquième axiome que j'ai eu du mal à comprendre et qui effectivement provoque que E est le plus petit ensemble qui vérifie la stabilité. donc qu'il n'y a pas de boucles.--Nicobzz2 (discuter) 17 septembre 2022 à 23:29 (CEST)

Injectivité du successeur

Pour moi, le successeur n'est injectif que sur l'ensemble N défini comme dans l'article ou sur les ordinaux de Von Neumann. C'est pas le cas en règle générale. J'ai ajouté la précision pour tout ensembles a,b pris dans N. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2A02:8440:2441:ADE1:F476:E25C:CDA4:39D0 (discuter), le 20 avril 2021 à 13:16 (CEST)

Et bien vous avez tort, voyez les axiomes indiqués dans les 2 premières sections de l'article. --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x = Y 20 avril 2021 à 13:21 (CEST)

Il est écrit :

   On définit la « fonction » (au sens intuitif) successeur s en posant, pour tout ensemble a,

       s(a) = a ∪ {a}.

On remarque que pour tous ensembles a et b :

       s(a) ≠ 0 ;   s(a) = s(b) ⇒ a = b.

A aucun moment dans ces définitions, on ne précise que les ensembles a et b vérifient les axiomes de Peano situés plus haut dans l'article, c'est des ensembles généraux de la théorie des ensembles ZFC. D'ailleurs le but du paragraphe est de montré qu'il existe un modèle des axiomes de Peano dans le cadre de la théorie des ensembles (ZFC). D'ailleurs on le voit bien avec la citation dans ce paragraphe de l'axiome de l'infini qui n'est pas un axiome de Peano. Le but est de montrer que s définit comme au dessus est bien un modèle du successeur dont parle les axiomes de Peano.

Dans le cadre de la théorie des Ensembles ZFC, s n'est pas injectif avec le contre-exemple suivant : B={A} et A={B}={ {A} }. A différent de B (sinon B appartient à B et A appartient à A ) et pourtant s(B) = B∪{B} = {A}∪{ {A} } = {A}∪A = s(A).

D'ailleurs je rajoute que dans le texte plus bas, il y a : La construction ci-dessus fournit a fortiori un modèle de l'arithmétique de Peano, et donc une preuve de cohérence de cette théorie relativement à une théorie dans laquelle on peut définir ces structures, et formaliser la preuve de correction, par exemple la théorie des ensembles de Ernst Zermelo.

C'est donc bien une preuve de cohérence de la théorie des axiomes de Peano dans une théorie plus large qu'on construit dans le paragraphe (de manière sous entendu dans celle de Zermelo). — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2A02:8440:2141:302A:80:E588:F866:359E (discuter), le 20 avril 2021 à 14:48 (CEST)

Juste un point, si B={A} et A={B}={ {A} } comme vous l'écrivez, on n'est pas dans ZFC car l'axiome de fondation n'est pas respecté (mais c'est possible si on a l'axiome d'antifondation, mais on n'est plus dans ZF). --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x = Y 20 avril 2021 à 16:15 (CEST)

Merci à l'IP pour la correction. Y : s'il existe un modèle de ZFC (avec ou sans AF), il en existe un de ZFC sans AF, avec un tel cycle, (construction en utilisant une bijection ad hoc sur l'univers, c'est dans le livre de Krivine, voir modèles de Fraenkel-Mostowski), donc ça montre bien que l'injectivité du successeur n'est pas conséquence de ZFC sans fondation, si ZFC est cohérente bien-sûr. Je ne connais de démonstration que sur N (ou les ordinaux), même avec fondation. Proz (discuter) 20 avril 2021 à 18:37 (CEST)

Merci pour ces précisions très intéressantes. J'ai trouvé le contre-exemple avec des explications en plus ici : https://www.ilemaths.net/sujet-montrer-que-le-successeur-injectif-737841.html Peut-être serait-il utile de lister les axiomes de ZFC qui sont utilisées pour la démonstration de l'injectivité du successeur et pour la construction de N telle que décrite dans le paragraphe. --PadawanDesMaths (discuter) 20 avril 2021 à 21:39 (CEST)

En fait le raisonnement n'est pas tout à fait correct, il faut construire un modèle où existent A et B tels que A ≠ B, B={A} et A={B}, ce qui est possible. Mais on ne peut pas déduire A ≠ B de B={A} et A={B} car il est tout à fait possible que A={A} (c'est appelé dans ce contexte "atome", voir la ref. déjà donnée). Par ailleurs www.ilemaths.net confond deux sens différents de "ensemble inductif" , un qui s'utilise parfois quand on construit N, ensemble ayant 0 pour élément et clos pas successeur), l'autre, ensemble inductif, lié au lemme de Zorn. Ça se fait dans la théorie de Zermelo (sans AC, sans fondation, compréhension mais pas remplacement), j'ai l'impression que l'axiome de l'ensemble des parties n'est pas nécessaire, mais je ne pense pas qu'il faille donner une liste minimale d'axiomes. La démonstration n'est pas très compliquée : il faut étudier la relation d'ordre sur N qui est définie par l'inclusion. Par exemple si on montre que le successeur est strictement croissant c'est gagné. Il y a une démonstration là https://www.irif.fr/~krivine/articles/LTA-ens.pdf, ou très certainement dans le livre de Moschovakis en biblio (qui devrait permettre de sourcer ce paragraphe). Proz (discuter) 20 avril 2021 à 23:16 (CEST)

J'avoue que l'enjeu de la discussion m'échappe un peu, 1/ parle t-on de la fonction S qui fait partie de la signature du langage de AP et dont les axiomes affirment qu'elle est injective (donc sur tous les modèles de AP, qui sont pour rappel de la forme N+ alpha*Z, avec alpha ordinal) ou 2/ parle t-on de la fonction f(n) = n U {n} qui 2.1/ n'est qu'un exemple de fonction qui fait le job (peut-être que g(n) = {n} marche aussi, à voir) 2.2/ sans doute peut ne pas être injective dans d'AUTRES structures que celles modèles de AP ?

Pour moi la seule fonction appelée dans cet article successeur est la première et elle est injective. Quelque chose m'échappe ? --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x = Y 21 avril 2021 à 21:35 (CEST)

L'univers ensembliste n'est pas un modèle de PA. De plus il s'agit de la première version de PA (pas la théorie du 1er ordre). Proz (discuter) 22 avril 2021 à 01:57 (CEST)