Discussion:Anneau euclidien

Crochets

bonjour

écrire un mot entre crochets correspond à faire un lien externe dans la syntaxe wiki. Cet article a donc été repéré par les bots comme un repaire de liens cassés...vu le nombre de fois où l'expression [X] a été utilisée !

Y aurait-il moyen de modifier cela ? Merci d'avance VonTasha 24 octobre 2006 à 15:22 (CEST)

Il faut que la syntaxe corresponde et que ce qui est entre crochet commence bien par http://, ce qui n'est pas le cas ici donc ... no pb (de plus un lien, même cassé, serait apparu avec un codage bleu). HB 24 octobre 2006 à 16:08 (CEST)

Je partage un peu l'opinion de HB. Si le problème ne concerne que les bots, ce n'est pas si grave, sinon. Jean-Luc W 24 octobre 2006 à 20:06 (CEST)

Evaluation

Il reste encore du travail sur les sthasmes euclidiens, mais à ce détail près, je ne vois pas très bien quoi ajouter. Degré d'avancement B me semble juste. Jean-Luc W 20 août 2007 à 22:01 (CEST)

Memento

Je viens de transférer les preuves de la partie premières propriétés dans l'article sur anneau principal, puisqu'elles sont vraies dans ce contexte plus général. Sinon, il faudra penser à ajouter la caractérisation des anneaux d'entiers quadratiques euclidiens (liste finie dans le cas imaginaire, je ne me rappelle jamais dans le cas réel). Contre-exemple : polynôme à plusieurs variables. A regarder : lien avec anneau de valuation discrète. Bon, c'est quelque part dans ma liste de choses à faire, mais si quelqu'un l'a fait avant que ça remonte, je ne râlerai pas :). Salle 5 septembre 2007 à 19:31 (CEST)

Il y a aussi le problème de l'algorithme d'Euclide. Il n'apparaît qu'à la dernière ligne et je ne suis pas certain qu'on puisse évacuer si facilement : l'existence de la division euclidienne assure-t-elle qu'on dispose d'un algorithme pour la calculer ? Je ne suis pas sûr. Et la non unicité de la division euclidienne peut-elle poser des problèmes pour l'algorithme d'Euclide ? Salle 8 septembre 2007 à 00:31 (CEST)

Il y a peut-être une réponse dans l'article de Motzkin, qui commence par : "In this note a constructive criterion for the existence of a Euclidean

algorithm within a given integral domain is derived" ici.

Marvoir (d) 24 février 2008 à 17:30 (CET)

Voilà deux bonnes questions à mon gout et la mise en évidence d'une vraie faiblesse de l'article. Je partage l'opinion que l'une des forces des anneaux euclidiens est leur algorithmique. Quelle est le domaine d'application de l'algorithme d'Euclide ? au moins Z les anneaux euclidiens d'entiers algébriques et les polynômes à coefficients dans un corps, au moins. Je cherche pour le cas général, car je ne connais pas la réponse. Dans les trois cas cités, la non unicité ne semble pas un problème, mais en général ? Jean-Luc W 8 septembre 2007 à 11:19 (CEST)

Une phrase qui pourrait peut-être être rendue plus claire.

Voici la définition donnée dans l'article : « Soit A un anneau commutatif unitaire et intègre.

• Un stathme euclidien est une application v de A - {0} dans l'ensemble des entiers positifs N, tel que si a et b sont deux éléments de A tel que b divise a, alors $v(b)\leq v(a)$.

Cette application sert de mesure pour la division euclidienne.

• Un stathme euclidien v définit une division euclidienne si, et seulement si :

$\forall (a,b)\in A\times A-\{0\}\;,\;\exists q,r\in A\quad /\quad a=b.q+r\quad avec\quad r=0\;ou\;v(r)<v(b)$

• Un anneau est un anneau euclidien si, et seulement s'il existe un stathme euclidien définissant une division euclidienne.

La propriété du stathme n'est pas toujours considérée comme nécessaire pour la définition d'un anneau euclidien. »

Le sens de cette dernière phrase devrait peut-être être précisé.
Si je ne me trompe, on peut prouver que si A est un anneau intègre (commutatif unitaire), s'il est possible de définir une application v de A - {0} dans l'ensemble des entiers positifs N, telle que :

$\forall (a,b)\in A\times A-\{0\}\;,\;\exists q,r\in A\quad /\quad a=b.q+r\quad avec\quad r=0\;ou\;v(r)<v(b)$

(c'est la seconde des propriétés ci-dessus), alors il existe un stathme euclidien sur A. (Edit : dans la terminologie de l'article, il faudrait dire : un stathme possédant la propriété de division euclidienne. Mais la terminologie de l'article ne me semble pas standard.) (On peut même préciser qu'il existe un stathme euclidien qui est la plus petite des applications du type v considéré.)
Je l'ajouterais à l'article si j'avais des références livresques, mais je n'en ai pas. (C'est un exercice que je me suis prescrit à moi-même dans le temps.)
Marvoir (d) 21 février 2008 à 18:51 (CET)

Oui, tout ceci mérite plus d'explication. Non on ne peut pas prouver que si A est un anneau intègre, il existe une application v ... Le contre exemple le plus simple est probablement celui des nombres a + b.i√3, ou a et b sont des entiers naturels. Dans un tel anneau, (1 + i.√3)(1 - i.√3) = 2x2. Aucun des trois nombres (1 + i.√3), (1 - i.√3) et 2 n'admettent de diviseurs autres qu'eux-même et 1 (au signe près), dans un sens ils sont premiers. Dans un tel anneau, les nombres de la forme 2.c + d.(1 + i.√3) où c et d sont des entiers naturels, forment un idéal mais il n'est pas principal, or tout anneau ayant une division euclidienne est principal. Un tel anneau est pourtant commutatif unitaire intègre. Cette erreur fût commise en son temps par le grand Euler. Jean-Luc W (d) 21 février 2008 à 19:40 (CET)

Attention : je n'ai pas dit qu'il existe forcément une application du type v (seconde propriété dans l'article), j'ai dit que s'il en existe une, alors il en existe une qui est un stathme (première propriété dans l'article). Cela me semble justifier (et surtout clarifier) la phrase à laquelle je reproche de ne pas être très claire.

Si cela vous intéresse, je pourrais mettre ici la démonstration de ce que j'avance, mais ce ne serait pas avant samedi.

Marvoir (d) 21 février 2008 à 19:48 (CET)

Effectivement, j'ai trouvé ça par la méthode bête qui consiste à taper stathme euclidien sur un moteur de recherche, et la propriété 1 est bien celle souhaitée. Salle (d) 21 février 2008 à 19:51 (CET)

Si je comprends bien, cette référence me donne raison (puisqu'elle dit que tout anneau admettant un préstathme admet un stathme). Je me propose de réfléchir à cela samedi et de préciser en conséquence la phrase un peu obscure de l'article, en renvoyant à la référence donnée par Salle. Mais, évidemment, on peut me devancer.

Merci pour les réponses.

Marvoir (d) 21 février 2008 à 20:02 (CET)

Comme quoi répondre trop vite semble une erreur. Bravo Marvoir et merci Salle, je m'incline et prie Marvoir d'excuser ma trop rapide réponse. Jean-Luc W (d) 22 février 2008 à 09:41 (CET)

Pas de problème, d'autant que ma rédaction n'était pas d'une claté absolue non plus. Comme je l'ai dit, j'essaierai samedi de voir bien clair dans les relations logiques entre les différentes définitions d'un stathme euclidien qu'on trouve dans la littérature et j'essaierai de faire une proposition de modification de l'article.

Marvoir (d) 22 février 2008 à 11:57 (CET)

Remarques et propositions sur les aspects délicats de la définition

Cette section fait suite à celle sur la phrase qui devrait peut-être être rendue plus claire, à savoir la phrase : "La propriété du stathme n'est pas toujours considérée comme nécessaire pour la définition d'un anneau euclidien."

Voici quelques commentaires.

Je rappelle la définition d'un stathme donnée dans l'article de Wikipedia : « Soit A un anneau commutatif unitaire et intègre.

• Un stathme euclidien est une application v de A - {0} dans l'ensemble des entiers positifs N, telle que si a et b sont deux éléments de A tel que b divise a, alors $v(b)\leq v(a)$. »

Tout d'abord, cette définition est un peu illogique, puisqu'elle parle de $v(a))$ et de $v(b)$ sous des hypothèses ("a et b sont deux éléments de A") où les valeurs $v(a)$ et $v(b)$ ne sont pas forcément définies (elles ne sont définies que si a et b sont non nuls). Outre qu'ainsi formulée, la définition est illogique, elle peut devenir fausse si on essaie d'étendre v à A tout entier. (Exemple : sur l'anneau Z, le stathme euclidien usuel, prolongé par v(0) = 0.) Il faut donc sûrement corriger comme suit :

• Un stathme euclidien est une application v de A - {0} dans l'ensemble des entiers positifs N, telle que si a et b sont deux éléments de A - {0} tels que b divise a, alors $v(b)\leq v(a)$.

Même sous cette forme, cette définition d'un stathme euclidien ne me semble pas standard.

Étant donné un anneau A commutatif, unitaire et intègre et une application v de A - {0} dans l'ensemble N des nombres naturels ($\geq 0$), considérons les trois conditions suivantes :

condition (1) :
si a et b sont deux éléments de A - {0} tels que b divise a, alors $v(b)\leq v(a)$.

condition (1') :
si a et b sont deux éléments de A - {0} tels que b divise a strictement (autrement dit , tels que b divise a et que a ne divise pas b, autrement dit tels que a soit de la forme cb avec c non inversible), alors $v(b)<v(a)$.

condition (2) :

$\forall (a,b)\in A\times A-\{0\}\;,\;\exists q,r\in A\quad /\quad a=b.q+r\quad avec\quad r=0\;ou\;v(r)<v(b)$

L'article de Wikipedia (tel que je me permets de le corriger) dit donc que, par définition, la fonction v est un stathme euclidien (je dirai "stathme" tout court, pour abréger) si elle satisfait à la condition (1).

Or, d'après Bourbaki, Algèbre, ch. 7, § 1, exerc. 7, Paris, 1973, p. 125, un stathme est une fonction v qui satisfait aux conditions (1) et (2).

D. Perrin, Cours d'algèbre, éd. Ellipses, 2004, déf. 3.28, p. 50, dit qu'une application v satisfaisant à la condition (2) est "appelée parfois stathme" (et il ne parle pas des conditions (1) et (1') ). On pourrait rêver de quelque chose d'un peu plus net, mais il me semble qu'on peut dire que Perrin définit un stathme comme une application satisfaisant à la condition (2) (division euclidienne).

R. Goblot, Algèbre commutative, Masson, p. 23, définit un stathme euclidien comme une application de A tout entier dans N telle que :

condition (2bis) :

$\forall (a,b)\in A\times A-\{0\}\;,\;\exists q,r\in A\quad /\quad a=b.q+r\quad avecv(r)<v(b)$

Goblot fait remarquer que v(0) est alors la plus petite valeur de v et que cette valeur n'est prise qu'en 0. (Justification : soit b un élément non nul de A; dans (2bis), prenons pour a n'importe quel élément de A; nous trouvons qu'il existe un r tel que $v(r)<v(b)$, donc v(b) n'est pas la valeur minimale de v.) Goblot note aussi que, quitte à remplacer v par $v-v(0)$, on peut supposer :

condition (3) $v=v(0)$

Dans la référence donnée par Salle, F. Dress prend comme ensemble d'arrivée un ordinal quelconque $\Pi$, non forcément égal à l'ensemble des nombres naturels (qui peut être considéré comme le plus petit ordinal infini) et donne les définitions suivantes :

Une application v de A dans $\Pi$ est dite préstathme euclidien si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

condition (3) (déjà rencontrée plus haut) : v(0) = 0;

condition (2ter) :

$\forall (a,b)\in A\times A-\{0\}\;,\;\exists q,r\in A\quad /\quad a=b.q+r\quad avecv(r)<v(b)$

C'est la condition (2bis) de Goblot, mais dans le cas plus général où v arrive dans un ordinal quelconque.

Donc un préstathme de Dress est un stathme de Goblot, plus particulier en ce sens qu'il applique 0 sur 0 et plus général en ce sens qu'il arrive dans un ordinal quelconque.

(Dress dit ensuite que A est appelé anneau euclidien s'il possède un préstathme euclidien, c'est-à-dire s'il existe une application de v dans un ordinal satisfaisant aux conditions (3) et (2ter). )

Dress définit ensuite un stathme euclidien comme un préstathme v qui, en plus d'être un préstathme, satisfait à la condition suivante :

condition (1 Dress) :
si a et b sont deux éléments de A - {0} tels que b divise a, alors $v(b)<v(a)$.

Je suppose qu'il y a une faute d'impression et qu'il faut lire :

condition (1 Dress corrigée) :
si a et b sont deux éléments de A - {0} tels que b divise a, alors $v(b)\leq v(a)$.

(En faisant a = b dans la forme non corrigée, on obtient une absurdité.)

Dress montre ensuite que s'il existe un préstathme, il existe un stathme.
Voici sa démonstration.
Supposons qu'il existe un préstathme v. nous allons définir un stathme w. Posons w(0) = 0 et, pour tout élément non nul x de A, désignons par w(x) la plus petite des valeurs v(y), y parcourant les multiples non nuls de x. Puisque x est lui-même un tel y, nous avons :

$w(x)\leq v(x)$

Il est clair que la condition (1 Dress corrigée) est satisfaite par w. Pour être sûr qu'on est d'accord, voici une démonstration.

Démonstration

Soient a et b deux éléments non nuls de A tels que a soit multiple de b. Il s'agit de prouver que w(a) est supérieur ou égal à w(b). Si nous désignons par $E_{a}$ l'ensemble des v(a') où a' parcourt les multiples non nuls de a et par $E_{b}$ l'ensemble des v(b') où b' parcourt les multiples non nuls de b, w(a) est, par définition, le plus petit élément de $E_{a}$ et w(b) le plus petit élément de $E_{b}$. Puisque a est multiple de b, l'ensemble $E_{a}$ est contenu dans l'ensemble $E_{b}$, donc inf($E_{a}$), c'est-à-dire w(a), est supérieur ou égal à $E_{b}$, c'est-à-dire à w(b).

 

Il reste à prouver que w est un préstathme. Puisque nous avons posé w(0) = 0, il s'agit de prouver que la condition (2ter) est satisfaite, à savoir :

$\forall (a,b)\in A\times A-\{0\}\;,\;\exists q,r\in A\quad /\quad a=b.q+r\quad avecv(r)<v(b)$

Par définition de w, il existe un élément non nul $c_{0}$ de A tel que $w(b)=v(bc_{0})$.
Puisque v est un préstathme, nous pouvons appliquer la division euclidienne aux éléments a et $bc_{0}$. Nous trouvons qu'il existe $q_{0}$ et $(r_{0}$ dans A tels que

$a=bc_{0}.q_{0}+r_{0}\quad avecv(r_{0})<v(bc_{0})$

Nous avons vu que $w\leq v$, donc $w(r_{0})\leq v(r_{0})$; d'autre part, nous avons choisi $c_{0}$ tel que $w(b)=v(bc_{0})$.
La relation $v(r_{0})<v(bc_{0})$ nous donne donc $w(r_{0})<w(b)$. Nous avons donc obtenu une "division de a par b" qui est euclidienne par rapport à w (avec quotient $c_{0}.q_{0}$ et reste $r_{0}$).

CONCLUSIONS.

1° Pour tous les auteurs cités, un stathme satisfait nécessairement à la condition de la division euclidienne. Il me semble donc que la définition d'un stathme donnée dans l'article de Wikipedia ne correspond pas à la littérature.

2° Ce qui est un stathme pour un auteur n'en est pas forcément un pour un autre auteur (on peut donner des contre-exemples, mais c'est un peu fastidieux). En revanche, puisque si l'anneau admet un préstathme au sens de Dress, il admet un stathme au sens de Dress, l'existence d'un stathme au sens d'un auteur entraîne l'existence d'un stathme selon les autres auteurs. (Je fais abstraction ici du fait que Dress considère des ensembles d'arrivée plus généraux que N.)

3° La définition de v dans A tout entier plutôt que dans A - {0} (comme le font Goblot et Dress) a peut-être l'avantage de rendre la définition de la division euclidienne plus élégante, mais elle a l'inconvénient que v doit prendre des valeurs > 0 en tout élément non nul; donc le degré d'un polynôme (à coefficients dans un corps commutatif) ne peut pas être pris comme stathme euclidien (puisque les constantes non nulles ont un degré nul). Il faut donc chipoter en augmentant le degré d'une unité, ou en considérant le stathme "2 exposant le degré". Il me semble préférable de ne pas vouloir définir v en 0.

4° La possibilité de généralise à des ordinaux ne me semble pas devoir être indiquée, sauf peut-être en note. Noter que la démonstration donnée par Dress du fait que l'existence d'un préstathme entraîne celle d'un stathme se recopie telle quelle pour un stathme prenant ses valeurs dans N.

5° A ma connaissance, le seul intérêt de la notion d'anneau euclidien est que tout anneau euclidien est principal.
Or ce fait peut se démontrer immédiatement à partir de la seule hypothèse (2) (existence de la division euclidienne) : si J est un idéal non nul, raisonner sur un élément non nul a de J pour lequel v(a) est minimal.
On pourrait donc se demander à quoi sert l'hypothèse (1). (Comme on l'a vu, Perrin et Goblot s'en passent.)

Une réponse possible est que (si je ne me trompe) le fait qu'un anneau principal soit toujours factoriel ne se démontre, dans le cas général, qu'à l'aide de l'axiome du choix. (Pour prouver que tout élément non nul non inversible est décomposable en produit d'éléments irréductibles, on montre que tout élément non décomposable aurait un diviseur strict non décomposable. A l'aide de l'axiome du choix, on en conclut qu'il existe une suite infinie $x_{0},x_{1}$, ... d'éléments de l'anneau telle que, pour tout n, $x_{n+1}$ soit un diviseur strict de $x_{n}$. Alors la suite des idéaux $Ax_{n}$ est une suite infinie strictement croissante, ce qui est impossible dans un anneau noethérien, et en particulier dans un anneau principal. (En fait, nous avons prouvé, à l'aide de l'axiome du choix, que dans un anneau commutatif unitaire intègre noethérien, tout élément non nul non inversible est décomposable en produit d'éléments irréductibles.)

Or, en utilisant la condition (1), on peut prouver l'existence de la décomposition sans recourir à l'axiome du choix.
Pour le montrer, montrons tout d'abord que (dans l'hypothèse (2)) la condition (1) entraîne la condition (1'), c'est-à-dire :
si a et b sont deux éléments de A - {0} tels que b divise a strictement (autrement dit , tels que b divise a et que a ne divise pas b, autrement dit tels que a soit de la forme cb avec c non inversible), alors $v(b)<v(a)$.

(C'est la première fois que (1') intervient ici. Noter que l'article de Wikipedia fait observer que si (1) et (2) sont satisfaites, (1') l'est aussi.)

Soit a un élément de A - {0}, soit b un multiple strict de a dans A - {0}, c'est-à-dire un élément de la forme ac, où c est un élément non nul et non inversible de A. Il s'agit de prouver que v(b) > v(a).
Supposons que, par absurde, $v(b)\leq v(a)$ (d'où v(b) = v(a). La division euclidienne de a par b fournit un élément q et un élément r tels que a = b.q + r, avec r = 0 ou v(r) < v(b). On ne peut pas avoir r = 0, puisque a n'est pas multiple de b, donc v(r) < v(b). Puisque, dans notre hypothèse (absurde), $v(b)\leq v(a)$, on doit avoir v(r) < v(a), ce qui est impossible, car l'égalité a = b.q + r montre que r est multiple de a. La contradiction obtenue prouve (1') (dans l'hypothèse où (1) et (2) sont satisfaites).

A l'aide de (1'), il est facile de prouver sans recours à l'axiome du choix que tout élément non nul non inversible de A est décomposable en produit d'éléments irréductibles. (Raisonner sur un élément non décomposable pour lequel la valeur de v est minimale. Cet élément n'est pas irréductible, donc s'écrit comme produit de deux de ses diviseurs stricts. Par hypothèse de minimalité, ces deux facteurs sont décomoposables, donc leur produit l'est.)

Propositions pour la section Définition.

Définir un stathme euclidien comme une fonction v de A - {0} possédant la propriété (2) (division euclidienne). Dire que c'est la définition d'un stathme donnée par Perrin (mettre référence). Dire (peut-être en note) que les auteurs ne définissent pas tous un stathme de la même façon. Ne pas indiquer les différentes définitions, dire que ce qui est un stathme pour un auteur n'en est pas forcément un pour un autre auteur, mais que même si deux auteurs définissent différemment les stathmes, l'existence d'un stathme au sens d'un de ces auteurs entraîne l'existence d'un stathme au sens de l'autre.
Montrer que tout anneau euclidien (défini comme anneau admettant un stathme au sens proposé ci-dessus) est principal. Ajouter que, comme tout anneau principal, il est donc factoriel (et possède d'autres propriétés, par exemple Bezout, mais je me demande si, là, il ne vaudrait pas mieux renvoyer à l'article Anneau principal).
Noter que la démonstration générale de "principal entraîne factoriel" repose sur l'axiome du choix mais que, dans le cas particulier d'un anneau euclidien, on peut éviter l'axiome du choix, pare que l'existence d'un stathme entraîne l'existence d'un stathme possédant la propriété (1'). Démontrerait-on cela (comme ci-dessus) ou se contenterait-on de renvoyer à Dress ? Pour ma part, je mettrais une démonstration dans une boîte déroulante.
Je signalerais qu'un anneau principal n'est pas forcément euclidien (l'article de Wikipedia ne le dit pas, je crois). Par exemple, l'anneau des entiers du corps $Q({\sqrt {-19}})$ est principal et n'est pas euclidien. (Perrin, pp. 53-54, exercice, avec indications détaillées. Cet anneau n'a pas de stathme euclidien, ni sa norme, ni aucune autre application.) (Edit : j'avais aussi renvoyé à Goblot, prop. 27,p. 41, mais ce n'est pas pertinent.)

Je mettrais des références (avec numéros des pages) à Perrin, Goblot, Dress (+ url de son PDF). Comme Dress s'appuie sur T. Motzkin et P. Samuel, on pourrait peut-être ajouter ces deux références, en signalant (pour ne pas avoir l'air de vouloir faire croire qu'on les a lues - en tout cas, moi, je ne les ai pas lues...) qu'elles sont citées par Dress. Ce serait peut-être utile pour notre lecteur si un jour Dress disparaissait d'Internet.

Je pense qu'il y aurait encore d'autres petits changements à faire dans l'article, mais nous pourrions peut-être commencer par essayer de nous mettre d'accord sur ceci.

Marvoir (d) 23 février 2008 à 14:48 (CET)

Remarques sur les propositions

Tout d'abord un grand merci pour avoir rendu si clair une définition que je ne maitrisais pas. Quelque soit l'action que se propose Marvoir, il me semble évident que l'article sera bonifié.

Je suis partagé entre deux sentiments, la majorité des lecteurs trouveront les différentes définitions de stathmes un peu lourdes pour une utilisation en général modeste. D'un autre coté, ne pas enrichir l'encyclopédie du savoir rassemblé dans cette page de discussion me semble dommage, surtout si un contributeur parvient à l'exprimer de manière aussi limpide. J'imagine trois solutions, soit un paragraphe détaillé sur le stathme qui apparaît plutôt en fin d'article, soit un article spécifique, soit non pas un mais trois références distinctes explicités par un commentaire de la même nature que celui que propose Marvoir en page de discussion.

Un intérêt, modeste pour les anneaux euclidiens est l'existence d'un algorithme permettant des décompositions effectives. Cette idée, sous-entendu par Marvoir sous forme du nécessaire appel à l'axiome du choix, pourrait être exprimée de manière plus directe.

Le rééquilibrage de l'article au profit de anneau principal puis anneau factoriel me semble sage. Une toute petite remarque, j'aurai plutôt imaginé Z[√-7] comme exemple d'anneau principal non euclidien, le seul argument est qu'il est le premier dans la liste à posséder cette propriété.

Je suis persuadé que les propositions actuelles ne peuvent que largement éclairer les part d'ombres de cet article. Je n'avais fait que le service minimal pour les usages dont j'avais besoin pour divers articles d'arithmétique, ce service minimal a bien besoin de la limpidité et la précision de Marvoir. Jean-Luc W (d) 23 février 2008 à 16:06 (CET)

Merci pour cette réponse aimable, Jean-Luc W. J'avoue qu'entrer dans les différentes définitions des stathmes ne me sourit guère (surtout s'il faut se mettre à chipoter avec une valeur en zéro...). Je crois que je vais faire comme je l'ai proposé et que, si quelqu'un a le goût d'entrer dans les différentes définitions, il pourra adopter une de vos trois suggestions. Normalement, je travaillerai à l'article demain.

Petite remarque : l'anneau $Z[{\sqrt {-7}}]$ n'est pas intégralement clos, car l'anneau des entiers du corps $Q({\sqrt {-7}})$ est l'anneau plus grand $Z[{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$. N'étant pas intégralement clos, $Z[{\sqrt {-7}}]$ n'est pas principal. (D'ailleurs, 2 est irréductible dans $Z[{\sqrt {-7}}]$ et y divise le produit de $1+{\sqrt {-7}}$ par $1-{\sqrt {-7}}$ sans y diviser aucun de ces deux facteurs.)

Quant à l'anneau $Z[{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$, il est euclidien (Goblot, prop. 27, p. 41).

Je pense donc que Perrin n'a pas tort de choisir l'anneau $Z[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}]$ (anneau des entiers du corps $Q({\sqrt {-19}}))$ comme exemple.

Cordialement,

Marvoir (d) 23 février 2008 à 18:24 (CET) Oups je n'avais même pas calculé la congruence, désolé. Jean-Luc W (d) 23 février 2008 à 18:28 (CET)

Légende du "portrait" d'Euclide

Une tout autre question : l'image d'Euclide reproduite dans l'article est donnée comme une peinture du 18^e siècle. Je ne prétends pas être un connaisseur, mais à mon avis, c'est plutôt la plastique du 15^e siècle ou des premières années du 16^e. La mention erronée de l'origine mégarienne d'Euclide le mathématicien, qui correspond aux idées de l'époque de Dürer (voir ici) me semble aller dans ce sens.
J'ai fait une recherche d'images par Google sous "Euclide". Cela fournit pas mal de pages où cette peinture est reproduite, mais on n'indique jamais son auteur ni sa date.
Marvoir (d) 24 février 2008 à 10:44 (CET)

Il suffit de lire les informations sur common : il s'agit d'une peinture de Juste de Gand de 1474 (environ) et cela est aussi précisé sur ce site. Je modifie en conséquence la légende. HB (d) 24 février 2008 à 11:03 (CET)

Faut-il parler de valuations ?

Dans l'article, section "Stathme euclidien", il est dit que les applications v considérées (et notamment le degré d'un polynôme) sont des valuations.
D'après l'article Valuation, une valuation v doit, par définiition, satisfaire à cette condition :

• $v(x+y)\geq \min(v(x),v(y))$.
  

Il me semble que ceci n'est pas vrai si v est la fonction "degré d'un polynôme". (Prendre deux polynômes de même degré et de coefficients dominants opposés.)
En fait, l'article Valuation dit que c'est l'opposé du degré qui est une valuation. Mais là, les valeurs sont négatives, donc on ne peut pas parler de stathme.
La valeur absolue dans Z n'est pas non plus une valuation. Par exemple, $\vert 5+(-3)\vert$ n'est pas $\geq \min(\vert 5\vert ,\vert -3\vert )$.
Ne vaudrait-il donc pas mieux éviter de mentionner les valuations ?
Marvoir (d) 24 février 2008 à 13:14 (CET)

Même tout simplement |ab| n'est pas égal à |a|+|b| . Valuation à supprimer de l'article - à ma plus grande confusion car je fus la première à l'introduire en la confondant avec le stathme. HB (d) 24 février 2008 à 13:28 (CET)

Je vais essayer de faire le travail.

Marvoir (d) 24 février 2008 à 14:03 (CET)

Stathme ou préstathme ?

Bon. J'ai adopté la définition d'un stathme donnée par Perrin et, en conséquence, j'ai désigné comme stathmes d'un type particulier ceux qui donnent à tout produit une valeur au moins égale à celles de ses facteurs.
Vu le rôle important joué par les stathmes du second type, il vaudrait peut-être mieux appeler les premiers "préstathmes" et les seconds "stathmes" (ce qui serait grosso modo conforme à F. Dress et allégerait l'expression).
Seulement, pour ma part, je suis saturé...
Marvoir (d) 24 février 2008 à 16:52 (CET)

Typo

Personnellement je préfère une typo cohérente, latex pour les formules et typo normale pour le texte. Cela évite l'irrégularité dans les écarts entre les lignes et la fatigue oculaire engendrée par la modification de fonte.

Le problème est que la moitié des contributeurs suivent cette convention et l'autre met du latex dans les parties rédigées. Rapidement on arrive à un équilibre ou la moitié est en latex et la moitié en fonte normale, bricolage que je trouve difficile à justifier. Jean-Luc W (d) 26 février 2008 à 13:02 (CET)

Il est vrai que j'ai été déçu après avoir utilisé \mathbb{N} dans le texte. Je crois qu'à l'avenir, je vais suivre la méthode que vous préconisez.

Marvoir (d) 26 février 2008 à 17:17 (CET)

Modification du style

J'ai un peu modifié le style pour simplifier la lecture et homogénéiser la présentation. L'objectif est de garder la ligne éditoriale que propose Marvoir indiscutablement meilleure que la précédente : ne pas doublonner les informations présentes dans les autres articles et insister sur le concept de stathme aux multiple définitions.

En revanche j'ai retranché l'information indiquant que l'axiome du choix est nécessaire pour établir qu'un anneau principal est factoriel (cf la démonstration dans anneau factoriel qui ne l'utilise pas) et ajouté des liens vers les différents articles de l'encyclopédie où se trouve le savoir présenté dans cet article. Jean-Luc W (d) 26 mars 2008 à 12:10 (CET)

Axiome du choix

Je pense que l'axiome du choix est bel et bien utilisé.

Dans l'article "Anneau factoriel", la démonstration de "principal entraîne factoriel" contient la phrase suivante : "En effet, un anneau principal est noethérien, la première propriété est ainsi vérifiée."

La première propriété en question est :

"Toute suite d'idéaux principaux croissantes est stationnaire à partir d'un certain rang."

À ma connaissance, on ne peut tirer de cela l'existence de la décomposition en facteurs irréductibles qu'à l'aide de l'axiome du choix ou d'un théorème qui repose sur lui.

Voici un exemple de démonstration. S'il existe des éléments non inversibles et non décomposables, choisissons-en un, soit x, tel que l'idéal (x) soit maximal dans l'ensemble des idéaux de la forme (a), avec a non inversible et non décomposable. Alors, puisque x n'est pas décomposable, il est de la forme yz, où y et z sont non inversibles et non tous deux décomposables. Alors, par exemple, l'idéal (y) est strictement plus grand que (x), avec y non inversible et non décomposable, ce qui contredit la maximalité de (x).

Très bien. Mais qu'est-ce qui nous a permis d'admettre l'existence d'un idéal maximal dans un certain ensemble non vide d'idéaux ? Le faLit que si un anneau est noethérien dans le sens que chacun de ses idéaux est engendré par un nombre fini d'éléments, tout ensemble non vide d'idéaux de cet anneau admet un élément maximal. Et comment se démontre ce dernier fait ? En supposant qu'un certain ensemble non vide d'idéaux n'admet pas d'élément maximal et en construisant à partir de là une suite croissante non stationnaire d'idéaux. Seulement, il me semble que pour construire cette suite non stationnaire, on utilise le théorème de Zorn dans ce cas particulier : si X est un ensemble non vide, si, pour tout élément x de X, il existe un élément y de X qui est dans une certaine relation avec x, alors il existe une suite $x_{n}$ d'éléments de X telle que $x_{n+1}$ soit toujours dans la relation en question avec $x_{n}$. (Prendre alors la relation "est un idéal strictement plus grand que".) Cette forme particulière du théorème de Zorn, aussi bien que sa forme générale, me semble dépendre de l'axiome du choix.

Qu'en pensez-vous ?

Marvoir (d) 26 mars 2008 à 13:52 (CET)

Réponse sur ma page de discussion, que je copie ici :

J'ai regardé, l'existence d'un idéal maximal dans un anneau principal peut être faite de manière différente. Soit (J_n) une suite croissante d'idéaux construite de la manière suivante, J₀ est l'idéal contenant un élément a non inversible et non nul, si J_n n'est pas maximal, J_n+1 contient strictement J_n. Soit J l'union de tous ces idéaux, c'est un idéal car la suite est emboitée. Il est principal car l'anneau l'est donc engendré par, par exemple j. L'élément j est dans l'union des idéaux de la suite, donc, il existe m tel que J_m contient j, la suite est alors stationnaire à partir de m, ce qui montre l'existence d'un idéal maximal J_m sans axiome du choix. La démonstration est proposée dans Anneau principal. Jean-Luc W (d) 26 mars 2008 à 14:16 (CET)

Vous démontrez correctement que (dans un idéal principal) toute suite croissante d'idéaux est stationnaire, mais comment pouvez-vous en tirer sans l'axiome du choix que tout ensemble non vide d'idéaux admet un élément maximal ?

Marvoir (d) 26 mars 2008 à 16:13 (CET)

Je ne sais pas si un ensemble non vide admet un idéal maximal, mais je sais que si a est non inversible et différent de zéro, alors il est inclus dans un idéal maximal. Cette proposition me semble suffisante pour conclure.

Transfert de la discussion : Soit (J_n) une suite croissante d'idéaux construite de la manière suivante, J₀ est l'idéal contenant un élément a non inversible et non nul, si J_n n'est pas maximal, J_n+1 contient strictement J_n. Soit J l'union de tous ces idéaux, c'est un idéal car la suite est emboitée. Il est principal car l'anneau l'est donc engendré par, par exemple j. L'élément j est dans l'union des idéaux de la suite, donc, il existe m tel que J_m contient j, la suite est alors stationnaire à partir de m, ce qui montre l'existence d'un idéal maximal J_m sans axiome du choix. La démonstration est proposée dans Anneau principal. Jean-Luc W (d) 26 mars 2008 à 16:21 (CET)

Je viens d'aller vérifier dans Consequences of the Axiom of Choice, de Paul Howard et Jean E. Rubin, coll. « Mathematical surveys and monographs », vol. 59, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 0821809776), Ils font du théorème "principal => factoriel" la forme 243 de l'axiome du choix dans leur fabuleuse liste, ce qui confirme que Marvoir a bien raison mathématiquement. Je n'ai pas encore regardé sur quelle rédaction vous vous disputez, il me semble en tout état de cause que si ça doit être dit (et pourquoi pas) ça doit l'être dans un paragraphe annexe que la plupart des lecteurs sauteront. Touriste ✉ 26 mars 2008 à 16:28 (CET)

Pour Jean-Luc W : Sur la suite (J_n), j'ai sans doute fait la précédente réponse trop vite. Dans votre construction de la suite (J_n), J_n+1 n'est pas défini de manière unique à partir de J_n, donc vous faites une infinité de choix, donc vous utilisez l'axiome du choix.

Merci Touriste. Je propose de remettre dans l'article Anneau euclidien le développement que j'avais fait sur l'axiome du choix, en donnant la référence à Paul Howard et Jean E. Rubin, coll. « Mathematical surveys and monographs », vol. 59, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 0821809776). Libre, évidemment au lecteur de sauter ce développement.

Marvoir (d) 26 mars 2008 à 16:42 (CET)

La source ici n'est peut-être pas indispensable, vu qu'elle concerne l'article anneau principal. Je suis entre temps allé voir la phrase litigieuse, il me semble admissible de la mettre ici sans la sourcer (et d'ailleurs le bouquin que je suggère ne la source pas, puisqu'il s'agit de la possibilité de montrer que les anneaux euclidiens sont factoriels SANS l'axiome du choix). Même si ce n'est écrit nulle part, ça me semble intéressant et "aisément" vérifiable pour qui sait lire une preuve. Si on veut en dire plus (et ça mériterait alors de creuser quelle forme de l'axiome du choix est exactement nécessaire) et citer la source que j'ai indiquée, c'est plutôt dans l'article anneau factoriel que ça me semble mériter d'être développé (ou dans anneau principal difficile de dire que c'est plutôt l'un que l'autre...) Touriste ✉ 26 mars 2008 à 17:04 (CET)

Merci touriste, et merci Marvoir pour cette explication limpide. Je comprend maintenant pourquoi vous avez raison. Je partage totalement la remarque de touriste, il existe deux formes d'axiomes du choix bien différente, celle utilisée pour les anneaux quelconques et celle pour les anneaux noethériens. Je cherche des sources et compte suivre, sauf avis contraire la ligne que propose Touriste. Jean-Luc W (d) 26 mars 2008 à 17:13 (CET)

D'accord avec la proposition de Touriste, si je la comprebnds bien : noter dans l'article Anneau principal que la preuve de "principal => factoriel" dépend de l'axiome du choix et donner la référence à Paul Howard et Jean E. Rubin (mais que disent-ils exactement ? Je n'ai pas leur livre); dans l'article Anneau euclidien, ne pas donner cette référence, mais noter et démontrer que tout anneau euclidien est factoriel, même dans la théorie sans axiome du choix. C'est une bonne illustration de la force de la notion de "stathme croissant" par rapport à celle de "stathme tout court" (préstathme selon certains auteurs) et explique sans doute pourquoi les auteurs choisissent des définitions différentes.

Si personne n'y voit d'inconvénient, je vais rétablir le développement que j'avais mis sur l'axiome du choix.

Marvoir (d) 26 mars 2008 à 17:26 (CET)

Je reviens avec un peu plus de détails : j'ai consulté plus précisément le livre, qui est surtout une compilation diablement bien faite de toute la littérature sur le sujet, et auquel il n'est pas forcément très raisonnable de se référer. Outre des trucs fort techniques, j'y ai retenu d'une part que la version "choix dépendant" permet de montrer que "principal => factoriel" (avec référence à un bouquin d'algèbre élémentaire - c'est ce que nous avions nous même compris et que Marvoir pointait ; ça justifie tout juste d'être sourcé, ce qui nécessite de trouver un livre qui donne la démonstration en pointant expressément l'axiome du choix, entreprise probablement faisable), et d'autre part, ce qui est évidemment beaucoup plus difficile, qu'il n'existe un modèle de Zermelo-Fraenkel dans lequel il existe un anneau principal non factoriel (et donc qu'il est indispensable d'avoir une version du choix sous la main pour le montrer). Ce fait difficile étant attribué à Hodges (zut j'ai pas noté les initiales du prénom) Läuchli's algebraic closure of Q, Math. Proc. Cambridge. philos. soc. 79, 289-297 (que je ne suis pas allé consulter). Sauf si j'ai mal vu, le bouquin de référence consulté ne signale pas de forme de l'axiome du choix précisément équivalente au théorème "principal => factoriel". Touriste ✉ 26 mars 2008 à 18:01 (CET)

Merci Touriste. Je n'ai pas l'habitude des reverts, aussi je pose la question : serait-il possible de revenir à la version de l'article qui avait été produite par ma dernière intervention ?

Marvoir (d) 26 mars 2008 à 18:12 (CET)

J'ai préféré écrire une version plus brève que la tienne, il me semble que les idées (qui ont leur place ailleurs) sur le rôle de l'axiome du choix pour les anneaux principaux sont plutôt inutiles dans ce présent article. Cette version te convient-elle ? Si non, n'hésite pas à continuer à la remanier. Touriste ✉ 26 mars 2008 à 18:57 (CET)

J'avais déjà rétabli la forme ancienne quand j'ai vu le mot qui précède... Je crois que j'ai supprimé une référence à Paul Howard et Jean E. Rubin, mais il me semble que nous étions d'accord pour mettre cette référence dans l'article Anneau principal plutôt que dans l'article Anneau euclidien.

Marvoir (d) 26 mars 2008 à 19:40 (CET)

J'ai finalement toujours une gène. Indiscutablement, le théorème utilisé pour les anneaux principaux fait appel à une forme faible de l'axiome du choix, en revanche la version proposée ici pour les anneaux euclidiens fait aussi appel à cette même version, elle n'est pas non plus effective. Comment choisir x de stathme le plus petit possible ? Comment choisir y ? Je sais que les anneaux euclidiens proposent souvent des algorithmes effectifs, mais celui là ne me semble pas en être un. Il fait finalement appel à la même forme de l'axiome du choix que celui utilisé dans l'article anneau principal. Il faudrait introduire la notion d'algorithme effectif avec l'identité de Bezout, le théorème des facteurs invariants et si possible une démonstration de la factorialité effective.

Partagez vous mon opinion ?Jean-Luc W (d) 26 mars 2008 à 18:28 (CET)

Je viens de regarder - ça n'a pas de rapport avec l'axiome du choix  : il y a en tout et pour tout deux choix à faire (celui de x parmi les contre-exemples de stathme minimal, celui de y parmi les deux diviseurs résultant de la réductibilité de x), la preuve donnée actuellement dans l'article suffit pour ma part à me convaincre que "eucliden => factoriel" dans ZF, même si une source c'est toujours mieux au fond. L'« effectivité » est une problématique bien différente de celle de l'axiome du choix, et que je ne connais pas du tout (je n'ai pas même d'intuition de ce que ça peut vouloir dire, à supposer que ça veuille dire quelque chose, dans un contexte aussi abstrait qu'un anneau sur lequel on ne sait presque rien). En tous cas ça pose pas du tout le même problème que pour les anneaux principaux, où, d'une façon ou d'une autre, il y a besoin de faire une infinité de choix. Touriste ✉ 26 mars 2008 à 18:50 (CET)

Oups, je ne comprend plus. Dans la preuve sur les anneaux principaux, il n'y a qu'un nombre fini de choix à faire, puisque au bout d'un temps n pour tout p > n J_p = J_p+1, j'ai raté un virage! Jean-Luc W (d) 26 mars 2008 à 19:00 (CET)

Avant de prouver que la suite (J_n) est stationnaire, il faut la construire.... C'est là tout le problème. Touriste ✉ 26 mars 2008 à 19:08 (CET)

J'ai enfin compris.Jean-Luc W (d) 26 mars 2008 à 19:18 (CET)

Clarifications

Je suis un peu gêné sur l'idée de clarification :

1. Le principe de Wikipedia est d'éviter les je, nous, il est préciser Les articles de Wikipédia n’ont en principe pas d’auteur unique cf convention de style. Pourquoi remettre les Nous disons « à valeurs dans N », ce que nous avons appelé stathme croissant, nous avons appelé stathme croissant, ce que nous appelons , Nous appellerons « stathme croissant ». Par de là la lourdeur, j'ai du mal à comprendre la signification du nous. Autant dans un livre d'un auteur important comme Serre, Bourbaki (qui l'évite) ou Perrin on peut comprendre. Sur WP je m'interroge sur l'autorité présupposée d'un auteur anonyme.
2. Pourquoi cacher certaines définitions ou démonstrations à l'intérieur de remarques ? Un lecteur trouvant stathme croissant dans un autre article comme Anneau principal n'aura-t-il pas plus de mal à retrouver la définition ?
3. Pourquoi citer une troisième fois que la division n'est pas unique ? Si les deux exemples précédents ne suffisent pas, à quoi servent-il ?
4. Pourquoi reverter pour réintroduire des formes de style déconseillés par WP ? En effet, il est indiqué Évitez également les formulations du type « il est à noter que », elles alourdissent inutilement la phrase. Reverter pour remettre un Notons toutefois que la preuve générale apporte-t-il un plus notable ? Jean-Luc W (d) 27 mars 2008 à 12:36 (CET)

Tout d'abord, je rappelle que, comme vous aviez fait des modifications que nous avons finalement convenu d'abandonner (question de l'axiome du choix), je suis retourné chercher les versions antérieures dans l'article. Je les ai en général laissées telles quelles, d'où la reprise de formules que vous aviez modifiées entre-temps.

Nous n'avons parlé que d'une modification, que j'avais déjà partiellement corrigé sur l'usage de l'axiome du choix et sur lequel nous sommes effectivement tous d'accord. Je ne comprend que mal le rapport avec les questions posées ici.

Le "Nous" peut être considéré comme associant l'auteur et le lecteur. C'est une sorte de fiction rédactionnelle, qui ne désigne pas la personne de l'auteur, mais plutôt le texte, en tant qu'écrit et lu. Cet usage de "nous" ne me semble donc pas contraire au fait que les articles ne sont pas censés avoir d'auteur.

WP est clair sur ce point :

1. Évitez les « nous allons voir », « n’oubliez pas que », « soulignons que » et, d’une manière générale, le je, le nous, le vous.
2. Les articles de Wikipédia ... ne sont pas des dialogues mettant en scène un auteur s’adressant à son lecteur.

La fiction rédactionnelle est une technique spécifiquement décrit comme à l'encontre du style encyclopédique.

La formule Nous disons « à valeurs dans N » parce que... ne me semble pas lourde, et elle me semble claire.

Ce qui me semble lourd est de répéter à chaque occurrence du mot stathme croissant le fait que ce choix n'est finalement que celui d'un contributeur. La difficulté est que d'autres articles utilisent déjà et utiliseront demain ce concept. Doivent-ils tous redévelopper cette problématique? Les quelques démonstrations que j'ai regardé utilisant la notion de "stathme" le choisissent croissant et normalisé, c'est tout de même beaucoup plus pratique pour montrer le caractère euclidien ou non euclidien d'un anneau. Que faire pour ces autres articles faisant usage d'un stathme croissant et normalisé ?

ce que nous avons appelé stathme croissant et formules analogues. Le problème, c'est que je ne sais pas si cette expression stathme croissant est standard. Elle mériterait de l'être (et, en fait, n'a vraiment pas besoin de justification, car un stathme est croissant selon mon usage de l'expression si et seulement si c'est une application croissante d'un certain ensemble préordonné dans un autre), mais je ne l'ai pas rencontrée dans mes lectures (qui, il est vrai, ne sont pas encyclopédiques). Il me semble donc préférable de rappeler que l'expression "stathme croissant" a une portée limitée à notre article.

Évidemment, si je suis tombé par hasard sur une expression utilisée par une autorité, on peut supprimer les "nous appellerons" etc.

S'il n'y a pas d'autorité qui emploie "stathme croissant" et qu'on ne veut pas de "nous appellerons" etc., on pourrait changer la terminologie : appeler "préstathme" ce que nous avons appelé "stathme" et appeler "stathme" ce que nous avons appelé "stathme croissant". Il y a des autorités en faveur de cette terminologie (par exemple F. Dress). Pour ma part, j'aime mieux parler de "stathme croissant", qui exprime très clairement ce que ce "stathme" a de particulier.

Le problème cité ici est général aux mathématiques, il n'existe pas de dogme sur les définitions. Rien que pour cet article, les définitions ambigus sont légion : un corps est plus ou moins commutatif, un anneau plus ou moins unitaire, l'identité de Bézout, l'unicité du théorème fondamental de l'arithmétique, la relation d'ordre utilisée dans la définition des ppcm et pgcd varient au gré des auteurs et des besoins. L'usage du nous pour justifier d'un choix de définition ne me semble peu praticable, surtout à travers les différents articles utilisant ces notions. Je comprend la raison des choix de WP sur cette question.

Cacher une définition dans une remarque : la notion de "stathme croissant" mérite-t-elle vraiment d'être citée en dehors de l'article "Anneau euclidien" ?

Comment alors montrer le caractère euclidien ou non euclidien d'un anneau sans usage d'un stathme croissant. Doit-elle est citée? probablement pas, utilisée ailleurs ? Assurément oui et tel est déjà le cas.

"Pourquoi citer une troisième fois que la division n'est pas unique ? Si les deux exemples précédents ne suffisent pas, à quoi servent-il ?" Soit. On peut se contenter de renvoyer à l'exemple déjà donné.

Quant à la prohibition de "il est à noter" etc., je ne suis pas le seul à penser que c'est une lubie. Cette formule me semble bien convenir quand on signale un fait qui risquerait de passer inaperçu ou d'être sous-estimé.

Nous avons tous nos gouts, je respecte les vôtres et n'ai aucune raison de penser que les miens seraient meilleur. Néanmoins, est-il sage de reverter une correction dans le sens des règles de WP ? elle précise en effet : Évitez également les formulations du type « il est à noter que », elles alourdissent inutilement la phrase et relèvent du commentaire personnel.

J'avoue que ces questions formelles ne m'intéressent pas beaucoup. Il est déjà si difficile d'être correct sur le fond...

Je reconnais que ces question formelles sont moins importantes que le fond sur lequel nous sommes d'accord, mais je ne comprend pas la raison de vos dernières modifications, qui ne sont que formelles (réintroduction des nous et autres notonsetc...) et dans un sens qui ne me semble pas être celui de la clarification. Jean-Luc W (d) 27 mars 2008 à 16:35 (CET)

Marvoir (d) 27 mars 2008 à 14:24 (CET)

Proposition

Je propose donc de choisir comme définition de Stathme celle de Bourbaki, et d'indiquer dans les propriétés que l'existence d'une fonction vérifiant la propriété (1) celle maintenant retenu comme définition de stathme, implique l'existence d'un stathme au sens de Bourbaki. Cette approche est celle Chambert-Loir dans son traité d'algèbre commutative. Cela vous convient-il ?

Je propose biensur de laisser l'analyse des différentes définitions trouvées dans la littérature en mentionnant de plus celle de Jauge euclidienne, au moins aussi fréquemment utilisé. Etes-vous d'accord ?

Je reste convaincu que vos deux choix éditoriaux :

• (1) retirant à l'article les parties en redondance avec les pages anneau principal et anneau factoriel
• (2) corrigeant les informations erronées sur les valuations et apportant une précision salutaire sur les stathmes

apportent un plus clairement supérieur en importance par rapport aux remarques que je vous soumets. Mettre en lumière et en cohérence les autres articles en fonction de l'évolution de celui ci ne me semble néanmoins pas totalement négligeable.Jean-Luc W (d) 27 mars 2008 à 16:35 (CET)

Faites comme vous l'entendez.

Marvoir (d) 27 mars 2008 à 17:29 (CET)

"exactement la même division"

Que signifie "définissant exactement la même division" dans cette phrase de la section "Définitions" :

"si un préstathme existe, il est possible d'équiper l'anneau d'un stathme définissant exactement la même division" ?

Marvoir (d) 27 mars 2008 à 19:45 (CET)

Merci pour ces remarques. Si ces phrases ne sont pas claires pour vous, je crains qu'elles ne le soient pas pour de nombreux lecteurs. Je n'aurais pas le temps de m'en occuper ce soir, si vous n'avez pas trouvé d'ici là une meilleure formulation je proposerais quelque chose demain. Jean-Luc W (d) 27 mars 2008 à 19:54 (CET)

Je pense qu'il n'y a pas de meilleure formulation, parce que je ne vois pas ce que pourraient être deux divisions différentes dans un même anneau, si ce n'est deux stathmes différents, et dans ce cas, on ne pourrait pas dire que deux stathmes distincts définissent la même division.

Par exemple, on peut montrer que l'anneau Z admet pour plus petit stathme l'application v de Z - {0} dans N telle que

- les éléments x pour lesquels v vaut 0 sont 1 et -1

- les éléments x pour lesquels v(x) = 1 sont 2, 3 et leurs opposés;

- les éléments x pour lesquels v(x) = 2 sont 4, 5, 6, 7 et leurs opposés;

- etc.

- les éléments x pour lesquels v(x) = n sont $2^{n},...,2^{n+1}-1$ et leurs opposés.

Comme division de 5 par 3 avec le stathme usuel, nous pouvons prendre 5 = 1 x 3 + 2, avec reste 2. En revanche, cela ne convient pas pour le stathme v, puisque v(2) = v(3) = 1, de sorte que le reste r = 2 ne satisfait pas à la condition v(r) < v(3). Comme division de 5 par 3 selon le stathme v, nous devons prendre 5 = 2x 3 + (-1); ici, r = -1, avec v(r) = 0 < v(3) = 1.

Ceci me semble montrer que deux stathmes distincts ne définissent pas la même division (euclidienne).

Marvoir (d) 27 mars 2008 à 20:22 (CET)

L'exemple est limpide, il permet de fait de mieux comprendre le sens de votre remarque. La correction proposée vous semble-t-elle répondre à l'objection que vous avez formulée et que je partage ? Jean-Luc W (d) 28 mars 2008 à 11:53 (CET)

Anneaux factoriels et anneaux de Dedekind

Dans le paragraphe formalisation il est écrit que les anneaux factoriels sont un cas particuliers des anneaux de Dedekind, ce qui est faux car les anneaux de Dedekind sont noetheriens mais pas les anneaux factoriels. Pourrait-on changer la formulation.--Cbigorgne (d) 28 mars 2008 à 14:11 (CET)

Oups, parfaitement exact, les anneaux factoriels ne sont pas nécessairement de Dedekind (s'ils le sont ils sont principaux). Merci de la remarque. Jean-Luc W (d) 28 mars 2008 à 15:10 (CET)

Le préstathme est-il vraiment moins commode que le stathme ?

Dans la section "Définitions", on lit :
"En revanche un préstathme est moins commode à utiliser, la compatibilité de la relation de pré-ordre introduite par la division et celle de l'ensemble d'arrivé du stathme s'avère bien pratique, comme on peut le constater dans la démonstration du caractère non euclidien d'un anneau principal dans l'article Anneau principal"

Il ne me semble pas qu'on gagne quelque chose à utiliser un stathme (préstathme croissant) plutôt qu'un préstathme dans la démonstration donnée dans l'article Anneau principal du fait que l'anneau $\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}]$ n'est pas euclidien. Soit, par absurde, v un préstathme sur cet anneau. Parmi les éléments non nuls non inversibles de l'anneau, choisissons-en un, soit x, tel que v(x) soit minimal. Alors tout élément de l'anneau est congru modulo x à 0 ou à un élément inversible. En effet, soit a un élément de l'anneau. Il existe q et r dans l'anneau tels que a = qx + r avec r = 0 ou v(r) < v(x). Par minimalité de v(x), il en résulte que r est nul ou inversible. Comme dans la démonstration donnée par Perrin, on en tire une contradiction.

Marvoir (d) 28 mars 2008 à 18:10 (CET)

Comme d'habitude, vous avez raison. J'ai pris en compte la remarque.Jean-Luc W (d) 28 mars 2008 à 20:52 (CET)

Incohérences.

J'ai supprimé des choses qui ne me semblent pas avoir de signification ou n'en avoir qu'une fausse et j'ai rendu la terminologie de certaines démonstrations conforme aux nouvelles démonstrations.

Dans la nouvelle présentation, on est obligé d'utiliser dans la section "Propriétés d'un anneau euclidien" des propriétes des stathmes qui ne seront démontrées que plus loin. Cela ne me semble pas un gain.

Marvoir (d) 29 mars 2008 à 09:31 (CET)

Peut-on vraiment choisir le stathme w comme indiqué ?

Dans l'article, section "Propriétés", sous-section "Stathme", on lit :
"Soient a et b deux éléments non nuls de A, le stathme w peut être choisi tel que tout couple (q, r ), solution de la division de a par b par rapport à w soit aussi solution de la division par rapport à v."

Cela ne me semble pas évident à première vue.

Considérons l'application v de Z - {0} dans N telle que v(n) = n si n > 0 et v(n) = 2 |n| si n < 0. C'est un préstathme (noter que, dans la division euclidienne usuelle dans Z, on peut toujours prendre le reste supérieur ou égal à 0).
Le stathme w construit comme dans l'article à partir du préstathme v est le stathme usuel (valeur absolue) sur Z.
Dans ce cas-ci, il n'est pas vrai que "tout couple (q, r ), solution de la division de a par b par rapport à w soit aussi solution de la division par rapport à v". Par exemple, pour a = 13 et b = 3, le couple q = 5 et r = -2 convient pour le stathme w (valeur absolue), mais pas pour le préstathme v, car v(r) = v(-2) = 4 et v(b) = v(3) = 3, donc il n'est pas vrai que v(r) < v(b).

Il me semblerait donc utile de démontrer l'assertion citée ou d'en donner une référence. (Pour ma part, j'ignore si elle est vraie.)

Marvoir (d) 29 mars 2008 à 10:56 (CET)

Le contre exemple me semble trop limpide pour tenter de rechercher une référence d'une démonstration qui s'annonce à la fois bien technique pour un intérêt bien mineur. J'ai corrigé. Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 11:49 (CET)

PS: L'article me semble gagner en clarté après vos retouches. Les retraits d'informations ne concernent que des questions non pertinentes. Cette fois, nous sommes parfaitement en phase. Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 11:53 (CET)

Autre imprécision

Tant mieux. Il y a encore quelque chose qui me gêne. Dans la section "Propriétés", sous-section "Stathme", on lit :

"Le stathme w peut être choisi plus petit que le préstathme v, cela signifie qu'une solution au moins d'une division par rapport à w est aussi solution de la division par rapport à v :

Soient a et b deux éléments non nuls de A, le stathme w peut être choisi tel qu'il existe un couple (q, r ), solution de la division de a par b par rapport à w qui soit aussi solution de la division par rapport à v."

Le "cela signifie" me semble risqué. Il semble dire que si un stathme w est inférieur (ou égal) à un préstathme v, alors pour tout a dans A et tout b dans A - {0}, il existe un r congru à a modulo b tel que (si r est non nul) on ait à la fois v(r) < v(b) et w(r) < w(b). C'est vrai pour le stathme w qu'on construit à partir de v dans l'article, mais je ne sais pas si c'est forcément vrai pour tout stathme w tel que $w\leq v$.

Parfaitement d'accord, je l'ai écrit en ayant une idée fausse en tête.

Ensuite, le second alinéa que j'ai cité me semble faire double emploi avec le premier. De plus, ce second alinéa me semble mal rédigé. Il donne l'impression que le stathme w dépend des éléments a et b, et qu'un autre choix de a et b fournirait un autre w. Il me semble qu'il faudrait plutôt dire

"Le stathme w peut être choisi tel que pour tout a dans A et tout b dans A - {0}, il existe un couple (q, r ), solution de la division de a par b par rapport à w qui soit aussi solution de la division par rapport à v."

Encore un point de convergence. Si la question du choix du stathme est manifestement importante, par exemple pour des questions de vitesse de convergence d'algorithme. En revanche, la propriété décrite me semble d'un apport trop faible pour éclairer la lanterne d'un lecteur curieux.

Enfin, ce fait ne me semble pas très important. Ne suffirait-il pas de le noter après la démonstration de l'existence du stathme w ? (On mettrait : "Remarque : nous avons vu que $v(r_{0})<v(bc_{0})=w(b)$; comme $w\leq v$, nous avons donc $v(r_{0})<v(b)$; ceci montre que w peut être choisi tel que pour tout a dans A et tout b dans A - {0}, il existe une division de a par b euclidienne à la fois pour v et pour w.")

La solution que vous préconisez me semble meilleure que l'état actuel. Je me demande néanmoins si la solution de reverter totalement le second alinéa n'est pas une meilleure idée.

Ceci dit, pour ma part, je ne relèverais pas ce fait.

En conclusion, je partage votre analyse. Ma tendance naturelle serait plus drastique. Je vous propose d'agir comme vous le sentez, si votre position n'est pas modifiée nous choisirons votre point de vue, si vous être convaincu de l'inutilité du second alinéa, autant le supprimer carrément. Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 15:41 (CET)

Marvoir (d) 29 mars 2008 à 13:40 (CET)

Phonétique stathme

Bonjour,

je ne suis pas habitué aux discussions de pages Wikipedia, alors j'espère que je ne publie pas ce commentaire n'importe où. Après avoir parcouru le net, je me suis rendu compte qu'énormément de gens se demandaient comment doit se prononcer le mot "stathme" ; c'est pourquoi je propose de rajouter la phonétique de ce mot dans l'article, ou de créer un bref article sur les stathmes, où on donnerait cette phonétique.

Cordialement,

Florent

« conjecturalement une infinité »

(de d > 0 tels que l'anneau des entiers de ℚ(√d) soit euclidien, pour une autre norme) : OK, mais que penser alors de ceci : « there exists an infinite number of real quadratic fields which are Euclidean » ? Anne 24/6/2013

Multiplicativité

A-t-on un exemple anneau euclidien dans lequel aucun stathme n'est multiplicatif ? Anne (d) 24 juin 2013 à 19:30 (CEST)

C'est une question ouverte, si on en croit stackexchange, où il y a une référence à "the remark following Proposition 2.2 in Franz Lemmermeyer's excellent survey The Euclidean algorithm in algebraic number fields.". La référence est d'ailleurs sur Internet, voir page 5. Marvoir (d) 25 juin 2013 à 10:06 (CEST)

Merci ! je vais le rajouter ici et dans Norme de Dedekind-Hasse. Anne (d) 25 juin 2013 à 11:35 (CEST)

Avis de lecteur

Je me permet de laisser un avis un peu abrupt de simple lecteur qui souhaitait rafraîchir ses connaissances : cet article est pénible à lire car il se perd dans le hors sujet. L'article en: est simple et efficace, j'ai d'ailleurs assez rapidement basculé sur celui-ci. Ici la définition n'apparaît qu'en milieu d'article, et je ne pense pas que quelqu'un qui s'intéresse aux anneaux euclidiens ait besoin de longs rappels sur la division euclidienne entière ou polynomiale. Je ne suis pas sûr par ailleurs que l'exposé historique, qui n'a quasiment pas de sources hors sources primaires soit pertinent ici (commencer à Diophante ?). Proz (discuter) 31 décembre 2019 à 12:27 (CET)

Je ne me prononce pas car cette critique porte sur un certain style d'écriture qui a fleuri sur Wp vers 2006-2010 et qui consistait à créer un article complet et culturel et pas seulement un aide mémoire pour matheux. A cet époque, ce style d'article a été accepté, même s'il flirtait parfois un peu trop avec le TI. Qu'en 2019, il ne soit plus à l'ordre du jour, c'est possible - comme semble prouver cette même critique sur équation du second degré - mais il faudrait plus d'un contributeur pour le dire. Si c'est le cas, je laisserai opérer, avec une pensée attristée, le détricotage d'articles élaborés par quelqu'un dont j'ai apprécié l'enthousiasme. HB (discuter) 31 décembre 2019 à 14:13 (CET)

Je proposerais de mettre la section Histoire à la fin. Une fois qu'on aurait dit que Gauss a montré que l'anneau des entiers de Gauss est euclidien, on ajouterait qu'il s'en est servi pour démontrer la loi de réciprocité quadratique. On pourrait dire ensuite que Lejeune-Dirichlet a utilisé l'euclidianité (?) de l'anneau des entiers de $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ et de $\mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]$ pour prouver le grand théorème de Fermat dans le cas où l'exposant est égal à 5 ou à 14. L'article dit "Celui où l'exposant est 3 est prouvé de façon parfaitement rigoureuse", mais est-ce bien exact à ce stade de l'exposé (avant l'exposant 5) ? Si cela vise la démonstration d'Euler, je crois savoir qu'elle est incomplète. Legendre a donné une démonstration dont je ne sais pas si elle vaut mieux. En tout cas, il me semble qu'à peu près tout le second alinéa de la section Origine pourrait être supprimé.

J'aurais une chicane à faire. Dans la section Émergence du concept, on lit "[Pour le grand théorème de Fermat,] les cas d'un exposant 5, puis 14, puis 7, sont démontrés, avec l'apport massif d'autres idées." Pour l'exposant 7, il ne me semble pas qu'un apport massif d'autres idées ait été nécessaire (à moins qu'on ne considère des manipulations ingénieuses comme un apport d'idées), car la première démonstration pour l'exposant 7, qui est celle de Lamé, ne fait intervenir que les propriétés élémentaires de divisibilité dans $\mathbb {Z} .$ (Voir Dernier théorème de Fermat#Premières approches, avec référence à un article de Catherine Goldstein.) Je supprimerais donc "puis 7".

Enfin, la section Émergence du concept semble dire que c'est Gauss qui a montré que l'anneau des polynômes d'une variable à coefficients dans un corps commutatif (ou plutôt, j'imagine, dans les corps commutatifs qu'il connaissait) est euclidien et qu'il en a déduit les propriétés classiques de divisibilité. Il me semble que cela devrait être sourcé. Marvoir (discuter) 31 décembre 2019 à 16:31 (CET)

Pour être clair, je ne pense pas qu'il faille non plus réduire à un aide-mémoire, ni abandonner tout exposé historique, ni tout abandonner des apports des contributeurs précédents, ni le remplacer par une traduction de l'article en anglais. Pour moi il y a un gros problème d'organisation et de hiérarchisation du contenu dans cet article (ce qui effectivement est le cas également à mon avis pour "équation du second degré"). Il me paraît par ailleurs écrit pour un lecteur hypothétique qui n'existe pas, une critique que je ne ferai pas à "équation du second degré". Des articles complets et culturels sont utiles, mais ici il s'agit d'un sujet technique, qui intéresse uniquement une petite minorité de personnes ayant déjà des connaissances mathématiques, les autres n'ont aucune raison de s'intéresser à ce qu'est un anneau euclidien. Par ailleurs c'est un avis de lecteur, pas une intention d'intervenir, du moins dans l'immédiat. Il manque dans les pdd de "retours de lecteur", qui sont une bonne façon à mon avis d'améliorer des articles, une tâche qui se fait sur des années, car il n'y a pas tant de rédacteurs que ça. Proz (discuter) 31 décembre 2019 à 16:45 (CET)

Je pense effectivement que de placer la section historique à la fin est une bonne chose (il vaut mieux savoir de quoi on parle avant d'en faire l'histoire). Pour Euler : j'avais regardé, mais j'ai pas mal oublié, il utilise une propriété qui se déduirait facilement de ce que l'anneau des entiers de Q[i√3] est euclidien, mais ça me semble de toute façon abusif de préjuger qu'il voyait les choses de cette façon, ce n'est pas la seule façon de procéder. Ça me semble difficile de remonter avant Gauss. Pour les polynômes je ne sais pas non plus. Il manque par ailleurs de savoir quand le concept a été abstrait, qui a donné la définition d'anneau euclidien ? Proz (discuter) 31 décembre 2019 à 17:02 (CET)

oups... Merci pour la correction, je retrouve où j'étais intervenu : Démonstration du dernier théorème de Fermat pour les exposants 3, 4 et 5##Cas_où_n_est_égal_à_trois, en résumé il n'y a aucune de raison de parler d'Euler dans le présent article (sauf à vouloir refaire l'histoire de l'arithmétique à partir des origines), par contre le "Celui où l'exposant est 3 est prouvé de façon parfaitement rigoureuse" peut faire référence à la démonstration de Gauss (non publiée à l'époque), référence là bas. Proz (discuter) 31 décembre 2019 à 18:08 (CET)

Ah, en effet. J'ignorais (ou j'avais oublié) que Gauss avait donné une démonstration à l'aide des entiers d'Eisenstein. La phrase en question pourra donc rester dans l'article. Marvoir (discuter) 31 décembre 2019 à 19:07 (CET)

En tout cas c'est une constante, les articles mathématiques anglais sont systématiquement plus lisibles. Les articles Français sont soit extrêmement formels, soit mal hiérarchisés comme ici, soit trop abstraits. La démonstration de la principalité d'un anneau euclidien ne me paraît absolument pas claire, et il existe une démonstration plus calculatoire que j'ai ici sous les yeux en lisant le grand combat. Enfin, ça semble être la même, sauf qu'elle est compréhensible dans le livre. il suffit d'effectuer la division euclidienne d'un élément a de l'ideal par l'élément minimal de l'idéal. On en déduit que le reste est soit nul soit un élément de l'idéal inférieur à l'élément minimal, d'où contradiction, il est donc nul. La démonstration ressemble à d'autres démonstrations qu'on rencontre en arithmétique et vue l'importance de cette partie de l'Algèbre dans la théorie des nombres, ça me paraît important de mettre des démonstrations de ce type. Klinfran (discuter) 14 novembre 2021 à 23:55 (CET)

En fait l'article de WP ne propose pas de dem mais une piste de dem. et renvoie sur Norme de Dedekind-Hasse pour présenter une dem. En gros, c'est le défaut bourbakiste : économie de moyen pour le spécialiste mais anti-pédagogique car cela oblige à passer par un niveau de compétence supérieure pour accéder à une connaissance plus basique. De plus la dem. figurant sur Norme de Dedekind-Hasse oublie, amha, un argument de taille : l'existence d'un élément minimal, assuré par le fait que tout partie de N possède un plus petit élément. La question est ici récurrente : quelles sont les démonstrations à exposer sur WP? Je partage l'avis de Klinfran. La démonstration est ici suffisamment courte et suffisamment classique pour figurer dans son intégrité sans devoir monter de niveau de compétence. Des oppositions? HB (discuter) 15 novembre 2021 à 09:31 (CET)

En accord avec la proposition d'Anne de renvoyer plutôt vers des sources accessibles. HB (discuter) 15 novembre 2021 à 17:21 (CET)