Discussion:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Renommage en « Somme des entiers naturels » ?

Bonjour,

Je trouve que l'article mériterait d'être renommé en « Somme des entiers naturels », ce titre étant plus adéquat je trouve.

Qu'en pensez-vous ?

— Iste ridiculum vitam est (discuter) 11 septembre 2016 à 12:16

à mon avis c'est inutile (on a déjà le redirect Somme de tous les entiers positifs, plus compréhensible pour le néophyte) et le titre actuel me semble meilleur pour une recherche par moteur. Anne, 11/9

Je vais faire une redirection depuis « Somme des entiers naturels ». — Iste ridiculum vitam est (discuter) 11 septembre 2016 à 13:17 (CEST)

 Anne Bauval : "Somme des entiers naturels" serait un titre autrement plus "propre", et la redirection dans le sens inverse n'est pas plus difficile à effectuer… Il n'y a absolument aucune raison que le titre actuel soit celui privilégié par les lecteurs (pourquoi s'arrêter à 4 ? Quid des espaces ? Des points de suspension, qui plus est des points centrés en hauteur ?). SenseiAC (discuter) 29 septembre 2016 à 21:08 (CEST)

La principale raison est : moindre surprise (si je parle à ma fille de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, elle comprendra ; si je lui parle de la somme des entiers naturels, non ; si je dis seulement 1 + 2 + 3 + ⋯, je pense qu'elle sera moins sure d'avoir compris). La seconde raison est : titre plus informatif (on précise l'ordre de sommation). Anne, 30/9/16, 0 h 12

P. S. Les espaces et points de suspensions centrés sont la typo correcte.

 SenseiAC,  Anne Bauval : C'est bizarre, je trouve, que de dire que le titre "1+2+3+4+..." est plus accessible au néophyte. C'est certes sûrement vrai, mais quid alors des articles d'animaux et de végétaux aux noms barbares ? En effet, Wikipédia est toujours, je le pense, très rigoureux et précis, et le titre actuel ne l'est pas trop. Par ailleurs, "Somme des entiers naturels" ne serait pas assez rigoureux, il vaudrait même mieux mettre "Somme des entiers naturels successifs". Et puis l'argument de la redirection marche aussi dans l'autre sens. Cordialement.— Iste ridiculum vitam est (discuter) 22 novembre 2016 à 23:21 (CET)

 Iste ridiculum vitam est : c'est exactement ce que je dis au-dessus, non ? Sur ton dernier point, l'addition étant commutative (autrement dit, on se fiche de l'ordre dans lequel on fait les additions), préciser "successif" n'apporte rien. Accessoirement, "Somme des entiers naturels" sous-entend qu'on les somme en les prenant tous une fois — autrement dit qu'on fait la somme des éléments appartenant à l'ensemble, $\sum _{x\in \mathbb {N} }x$.

 Anne Bauval : avec un symbole aussi peu accessible que "⋯", c'est bien raté pour la "moindre surprise". Pour le coup, "…" ("vrai" points de suspensions) voire "..." (3 points) seraient plus accessibles et moins surprenants. Ça n'en reste pas moins tout sauf rigoureux et, comme déjà dit, les redirections qui fonctionnent dans un sens peuvent aussi bien fonctionner dans l'autre sens. Pour rappel, le titre doit d'abord et avant tout définir précisément son sujet — ce qui n'est pas le cas ici. Par ailleurs, on notera qu'on a bel et bien Série alternée des entiers et pas 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, ou Série de Grandi et pas 1 − 1 + 1 − 1 + …, pour ne citer que ces deux exemples.

SenseiAC (discuter) 23 novembre 2016 à 00:33 (CET)

 SenseiAC oui en effet, très bon exemples d'articles pour rappeler que le titre doit d'abord et avant tout définir précisément son sujet. En ce qui concerne la commutativité de l'addition, en effet c'est vrai, mais pourtant : RIEN dans la définition usuelle de l’addition ne nous dit comment on peut sommer un nombre infini de termes (pour plus d'infos sur les méthodes de sommations et les séries divergentes, voir l'excellent billet de ScienceEtonnante : https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/). Donc, il faudrait préciser à mon sens « successif », quoique le renommage en "Somme des entiers naturels" serait déjà fort appréciable. Cdlt — Iste ridiculum vitam est (discuter) 23 novembre 2016 à 00:52

(conflit d'édit)

• Si le titre actuel 1 + 2 + 3 + ⋯ est conservé, mieux vaut ne pas dégrader sa typo qui, comme dit le 30/9, est correcte (pour l'accessibilité matérielle, le moteur de recherchesuffit et on peut éventuellement créer quelques (!) redirects supplémentaires).
• Le titre actuel est plus précis (donc plus « rigoureux ») que « Somme des entiers naturels », parce que, comme dit le 30/9, il précise l'ordre de sommation (détrompe-toi, SenseiAC : contrairement à une série commutativement convergente (en particulier une série convergente à termes positifs), l'ordre pour une série quelconque importe énormément, en particulier pour une série divergente) et de plus, parce qu'on part de 1 et pas de 0 (ça compte aussi, ici : cf. par exemple Sommation de Ramanujan).
• Pour la série alternée des entiers et la série de Grandi, le problème ne se pose pas parce qu'elles ont des noms consacrés par l'usage. Mais il ne nous incombe pas d'inventer un titre que nous trouverions « plus rigoureux » que l'actuel, comme « [somme/plus exactement : série] des [entiers naturels/entiers strictement positifs] [successifs/par ordre croissant] ».
• Mais je m'aperçois que Melchoir dit tout ça bien mieux que moi, et ajoute « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ is actually used in the cited scientific references, whereas "sum of the natural numbers" is only used in blogs referring to the Numberphile video ».

Anne, 23/11, 2 h 09

 Anne Bauval : Devant ces arguments, je ne peux qu’être d’accord avec vous. — Iste ridiculum vitam est (discuter) 24 novembre 2016 à 13:27 (CET)

Sous-titre : "Inefficacité des méthodes de sommation linéaires stables"

Je pense qu'il est inexact de parler d'inefficacité de ce genre de sommation.

On ne dit pas que 1+2+3+... = -1/12 ou encore 1-1+1-1+..= 1/2 mais qu'il serait "intéressant" de les considérer comme justes. C'est une question de point de vue. Le fait de les considérer comme justes apporte des informations qui peuvent être exploitées. On peut certes avoir des incohérences comme S=1-1+1-1... = 0 ou =1 mais ce sont pas vraiment des égalités mais plus des suppositions. Donc, les incohérences précitées ne se posent plus.

Donc, garder l'article, oui, bien sûr, mais juste changer le sous-titre. Qu'en pensez-vous ?

Athanatophobos 14 septembre 2016, 14:35 CEST

"math"

 Anne Bauval : pour les formules, "math" a un sens. Là, ce sont uniquement des chiffres : aucun intérêt ! Tout ce qui change, c'est le fait d'utiliser une police avec empattement au lieu d'une sans empattement : mais l'empattement n'a aucune signification mathématique ici ! SenseiAC (discuter) 29 septembre 2016 à 21:05

 SenseiAC :,  BerAnth : : si, l'empattement a la signification qu'il s'agit non pas de « pauvres chiffres avec les symboles des opérations de base » mais d'une vraie formule de maths (simple certes, mais pas, par exemple, d'une date). C'est normal d'harmoniser avec d'autres formules de l'article, qui sont en LaTeX. Vouloir supprimer cette mise en forme « n'apporte vraiment rien à part plutôt troubler le lecteur qui aurait de quoi se demander pourquoi ce changement soudain de police ». Anne (discuter) 30 septembre 2016 à 00:02 (CEST)

Proposition d'anecdote pour la page d'accueil

Une proposition d'anecdote pour la section « Le Saviez-vous ? » de la page d'accueil, et basée sur cet article, a été proposée sur la page dédiée.
N'hésitez pas à apporter votre contribution sur la rédaction de l'anecote, l'ajout de source dans l'article ou votre avis sur la proposition. La discussion est accessible ici.
Une fois l'anecdote acceptée ou refusée pour publication, la discussion est ensuite archivée là.
(ceci est un message automatique du bot GhosterBot le 09 novembre 2016 à 12:17)

nombre triangulaire.

l intégrale de la fonction du nombre triangulaire sur l intervalle -1 0 est égale a -1/12. et la fonction f(x)=-1/8 est tangent a cette fonction. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par GUITARD Thomas (discuter), le 22 mai 2017 à 18:14‎.

Comme disait un célèbre physicien :« ce n'est même pas faux » (not even wrong).--Dfeldmann (discuter) 22 mai 2017 à 18:17 (CEST)

il y a encore plain d autre façon de calculer -1/12 et -1/8 mais cette méthode est élégante car elle passe par les nombres triangulaire, elle est asse direct et cerise sur le gâteau non seulement elle donne -1/12 mais aussi -1/8 auquel je tiens. -1/12 est une aire négative.

oui, on avait compris : l'aire entre la parabole x(x+1)/2 et l'axe des abscisses est -1/12 (et le minimum vaut -1/8). Certes, par ailleurs, 1+2+3+... =infini(infini + 1)/2, si l'on peut dire. Et alors ? Ca donné une méthode de calcul pour autre chose ?--Dfeldmann (discuter) 22 mai 2017 à 22:08 (CEST)

non rien mais je suis tout de même fier pour mon niveau en math. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par GUITARD Thomas (discuter), le 22 mai 2017 à 22:33‎.

Erreur fondamentale sur la sommation d'une série divergente

Une série divergente n'a pas de limite finie. Dire que la somme de 1 à l'infini des entiers naturels est un nombre fini est un tour de passe-passe (qui revient à un moment à supposer que 0=1). Pour la complétude de l'article, dire que l'on trouve de nombreuses "démonstrations" (fausses) que cette somme est égale à -1/12 (ou à ce que vous voulez d'autre)peut être intéressant, mais il faut signaler que c'est faux. C'est comme intégrer une fonction non continue par morceaux ou diviser par zéro.--86.65.182.2 (discuter) 18 août 2017 à 16:25 (CEST)Trepide

Lire l'article série divergente (et ses références) pour un aperçu de la théorie développée afin d'étendre la notion de limite à certaines classes de séries divergentes. On parle d'opérateurs qui s'appliquent à un ensemble plus grand que les séries convergentes, et qui coïncident avec l'opérateur usuel "limite de la série" pour les séries convergentes. L'article n'affirme jamais "la série 1+2+3+... converge vers -1/12". Au contraire, de multiples passages précisent bien que la série n'est pas convergente au sens usuel. Si une formulation vous parait trompeuse, je vous propose de la modifier. --Vybduchene (discuter) 18 août 2017 à 17:02 (CEST)

+1 --Dfeldmann (discuter) 18 août 2017 à 17:28 (CEST)

Ce que l'article ne précise pas, c'est qu'il s'appuie sur des simplifications abusives:

• La formule "S - B = 4S" doit s'écrire S(2n) - B(2n) = 4S(n) et montre juste que S tend à quadrupler quand n double, le fait de considérer S(4n) et S(n) comme identiques lorsque n tend vers l'infini revient à dire dans le monde réel qu'il y a autant d'atomes que de galaxies dans l'univers puisque les 2 sont apparemment infinis.
• Dans "B - A = -B", le B de gauche ne contient qu'un nombre pair de membres et tend vers +inf, alors que celui de droite en contient un nombre impair et tend vers -inf. le fait de pouvoir formuler les 2 de manière apparemment proche ne justifie pas de considérer leur différence comme négligeable. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Franck Gambu (discuter), le 11 novembre 2018 à 10:35‎.

Vous êtes un peu péremptoire quand vous écrivez « La formule S - B ≡ 4S doit s'écrire S(2n) - B(2n) ≡4S(n) ». En effet, on ne s'intéresse pas aux élements des suites mais à leurs sommations. Dit autrement, on ne s'intéresse pas aux suites « lorsque n tend vers l'infini », mais à une propriété statique, à savoir la sommation. Mais nous n'allons pas nous faire la guerre pour cela . --Pierre de Lyon (discuter) 11 novembre 2018 à 12:13 (CET)

Le problème est que dans la "démonstration" de Ramanujan, le 4c est utilisé avec des trous. Or introduire des trous est invalide dans le cas général. Par exemple, si A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …, alors on peut écrire avec des trous: A = 1 [trou] [trou] − 1 + 1 [trou] [trou] − 1 + 1 … et −A = [trou] − 1 + 1 [trou] [trou] − 1 + 1 [trou] [trou] …, et si on les somme terme à terme, on obtient A, donc A = A − A = 0, au lieu de 1/2. Vincent Lefèvre (discuter) 11 novembre 2018 à 18:39 (CET)

Peut-être un peu plus clair comme ça, les deux séries avec des trous et leur somme terme à terme:

${\begin{array}{rccccccccccccccc}A&=&1&&&-1&+1&&&-1&+1&&&-1&+1&...\\-A&=&&-1&+1&&&-1&+1&&&-1&+1&&&...\\A-A&=&1&-1&+1&-1&+1&-1&+1&-1&+1&-1&+1&-1&+1&...\\\end{array}}$

La dernière ligne correspond à A = A − A = 0, alors que A vaut en fait 1/2. Vincent Lefèvre (discuter) 11 novembre 2018 à 18:58 (CET)

Pourquoi ne permuter que les () dans A ? Il suffit de commencer par les n premiers +1 puis de continuer en alternant les +1 et les -1. et magiquement, on obtient l'équation A=n+A et donc tous les nombres entiers sont égaux (n=0 pour tout n) ou alors A=n/2 pour toute valeur de n. Finalement tous les nombres de la terre sont égaux... --Dr ens (discuter) 3 juillet 2019 à 12:07 (CEST)

C'était juste un simple exemple de contradiction. Une fois une contradiction obtenue, on peut démontrer n'importe quoi. Vincent Lefèvre (discuter) 3 juillet 2019 à 13:08 (CEST)

Je suis tout à fait d'accord. Mais pourquoi un tel article reste en l'état dans Wikipédia ? Il devrait être estampillé "Fake!"

--Dr ens (discuter) 3 juillet 2019 à 14:33 (CEST)

Ben voyons. Et Euler, Abel, Ramanujan, Borel devraient être chassés de l'Université (ah non, on me souffle dans l'oreillette qu'ils sont morts). Bon, Ramis, alors...--Dfeldmann (discuter) 3 juillet 2019 à 14:45 (CEST)

J'écrivais d'ailleurs il y a un an : « Pensez-vous vraiment que des génies (pour une fois, le mot n'est pas galvaudé) du calibre d'Euler, Abel ou Ramanujan n'ont pas remarqué que C diverge grossièrement, et qu'aucun miracle ne peut le rendre négatif? Et quand Euler écrit 1+2+4+8+16+...= - 1 , vous pensez qu'il est devenu fou, ou vous vous émerveillez de voir qu'il a anticipé la notation des nombres négatifs en binaire dans nos ordinateurs ? » ; ma question reste ouverte...--Dfeldmann (discuter) 3 juillet 2019 à 14:50 (CEST)

Eurêka ! Je n'avais jamais fait le rapprochement (et j'avais loupé il y a un an). Intéressant. --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 3 juillet 2019 à 15:04 (CEST)

Je pense qu'Euler avait bien compris les séries divergentes. L’idée de base d’Euler consiste à identifier la fonction génératrice de la série, puis d’en prendre la valeur (ou la limite) en 1 lorsque c’est possible. C’est de cette manière qu’il justifie l’attribution (déjà proposée par Leibniz) de la valeur 1/2 à la somme : 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · en raison du développement géométrique

1/1 + x = 1 − x + x 2 − x3. Je pense qu'il ne faut pas sortir les travaux d'Euler de leur contexte qui consiste à proposer des interprétations des séries divergentes.

Pour Ramanujan, voir l'article sur Wikipédia: https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan, il est clair qu'il ne dit pas que la série converge vers -1/12, mais qu'il existe une autre sommation cohérente des séries divergentes. Il est dans le même état d'esprit que Césaro : Comment créer une nouvelle théorie où les séries divergentes seraient manipulables comme des outils mathématiques. --Dr ens (discuter) 3 juillet 2019 à 16:00 (CEST)

C'est gentil de nous expliquer tout ça (qui ne fait que répéter ce que nous disons depuis plusieurs années). Mais alors, que signifie votre "Fake!" ? Pour le reste, c'est vraiment sous-estimer Euler que de ne voir que cette méthode (qui serait déjà étonnante), alors qu'il invente aussi une forme faible du prolongement analytique, une variante de la sommation de Borel, et des idées originales utilisant les équations différentielles et les fractions continues.--Dfeldmann (discuter) 3 juillet 2019 à 16:23 (CEST)

Il est écrit dans l'article : "Srinivasa Ramanujan présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » C'est FAUX. Il présente une nouvelle définition de la sommation ! L'article laisse sous-entendre que le résultat est juste dans la théorie classique. Si vous prenez comme théorie ou définition que la somme d'une série est la somme de ses 10 premiers termes, vous obtenez que toute série quelque qu'elle soit est convergente. Dans ce cas, écrirez-vous un article disant tout simplement: "toute série est convergente" sans autre précision que de citer le mathématicien ? --Dr ens (discuter) 3 juillet 2019 à 16:52 (CEST)

Bon, ben je vais vous laisser parler tout seul. N'importe laquelle des pseudo-démonstrations présente ce problème. Le paradoxe de Banach et Tarski aussi. L'article plus précis Sommation de Ramanujan donne la citation suivante de Ramanujan lui-même : « Monsieur, je suis très heureux de lire attentivement votre lettre du 8 février 1913. J'attendais une réponse de vous semblable à celle qu'un professeur de mathématiques à Londres écrivit, m'invitant à étudier soigneusement les Séries Infinies de Thomas John I'Anson Bromwich et à ne pas tomber dans les pièges des séries divergentes. […] Je lui ai dit que la somme d'un nombre infini de termes de la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 d'après ma théorie. Si je vous dis cela, vous me direz tout de suite que je suis bon pour l'asile de fous. Je m'étends sur ce sujet simplement pour vous convaincre que vous ne pourrez pas suivre mes méthodes de preuve si je vous indique les lignes sur lesquelles je procède en une seule lettre. » Il parle bien de méthode de preuve... Il est inutile, comme je le répète depuis tant de temps, de nous expliquer à quel point Euler, Ramanujan et Borel sont stupides, incompétents, et tentent de nous faire croire qu'une somme de nombres positifs peut devenir négative si on la secoue assez longtemps. Vous ne parviendrez pas à nous en convaincre, ni à faire changer l'article à la seule force de votre incrédulité.--Dfeldmann (discuter) 3 juillet 2019 à 17:10 (CEST)

Le problème est qu'en utilisant d'autres méthodes, on peut trouver des valeurs différentes. Ces méthodes peuvent être considérées comme mauvaises, mais l'article WP ne permet pas de se faire une idée de pourquoi telle méthode est forcément bonne. Par exemple, une des méthodes données utilise le prolongement analytique de la fonction zêta de Riemann. Mais cette fonction est une fonction analytique parmi tant d'autres. Donc que se passerait-il si on choisissait une autre fonction analytique f pour laquelle l'expression de f(1) donnerait la série divergente 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ (de manière analogue à ζ(−1) en utilisant la définition de ζ par la série de Riemann), mais qui pourrait aussi être prolongée analytiquement en un domaine contenant 1? Obtiendrait-on aussi forcément −1/12? Bref, sans analyse plus poussée, cet article semble être juste anecdotique. Vincent Lefèvre (discuter) 4 juillet 2019 à 22:29 (CEST)

Pourquoi il faut préciser que la "démonstration" de S = -1/12 est fausse....

Pour bien comprendre d'où vient ce résultat paradoxal, il faut considérer la série A comme la somme de termes (1 - 1), qui peut s'écrire : A = (1 - 1)n = 0, avec n appartenant à N+. L'expression A ne peut valoir autre chose que 0, sauf à la condition d'ajouter 1 ou - 1 à ces termes. Auquel cas la série A avec un nombre quelconque de 1 ou de -1 peut valoir -1, 0 ou +1. Le cas A = 0 est le seul qui corresponde à "l'esprit" de la série proposée. Les réorganisations de A qui sont proposées dans la "démonstration" sont erronées puisque si A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1...) = 1 - A on ne tient pas compte du fait que A = 0 et que si on ajoute 1 à A, ce n'est pas négligeable, comme un 1 face à l'infini ! En fait il faut écrire : 1 + A = 1 - A, ce qui vrai puisque A = 0 !

Pour B on peut faire le même raisonnement : B = (x - y)n et si x = y alors B = 0. Si y = x + 1, on a B = - 1.n = -n (Remarque : c'est là qu'apparait le signe négatif qui est présent dans le reste de la "démonstration".) Il pourrait être intéressant de développer une étude de B pour la généraliser.

D'où il est facile de voir que pour un n fixé, positif (aussi grand qu'on le veut, n -> vers l'infini) A - B = 0 + n = - B Ce qui est toujours vrai puisque c'est une tautologie... Et les paradoxes disparaissent.

Ainsi toutes les étapes intermédiaires de la "démonstration" sont invalidées.

Il ne reste que le cas intéressant de "C", tel que dans les carnets de Ramanujan. La série -3C qu'il obtient est de la forme (x - y)n et donc sa valeur est -n si y = x + 1 (comme montré pour B). Et c'est là qu'on voit que le grand Ramanujan écrit une égalité C = -1/12 !!! Il faudrait que - n = - 1/12. Ce qui est absurde (n appartient à N+ et devrait être égal à un nombre fractionnaire...) Alors je m'interroge sur les trois points en triangle que Ramanujan a placés devant les expressions douteuses... ne serait-ce pas pour signaler qu'il y a avait là une contradiction, comme les linguistes mettent une * devant une structure litigieuse, non attestée ?

En conclusion, la "démonstration" aboutit à une absurdité, ce qui l'invalide totalement et valide la vraie valeur de S(n) = n(n + 1)/2.

(Remarque : l'utilisation de la valeur erronée dans les calculs de Casimir mériterait une plus grande attention, par exemple l'intervalle d'erreur définit un intervalle de variation de la constante et donc peut-être que -1/12 tombe par hasard dans cet intervalle ! Pour des raisons à trouver ailleurs !) Jean Delpuech

Le problème est que l'article n'explique pas quelles sont les règles de calcul. Et si on se contente de dire "on applique les règles usuelles", comme remplacer la somme de 2 termes consécutifs par sa valeur, alors on aboutit à des incohérences (A = 0 et A = 1, suivant le choix des regroupements). Bref, il y a certaines règles usuelles qui doivent être interdites, et si la liste des règles autorisées n'est pas fournie et qu'il n'y a pas de preuve que ces règles sont cohérentes (par exemple en prouvant que pour toute série, l'ensemble des résultats possibles obtenus en appliquant les règles contient au plus un élément), alors effectivement, la démonstration est fausse. Vincent Lefèvre (discuter) 23 août 2018 à 01:59 (CEST)

On dit qu'une proposition est fausse, mais on ne peut pas dire qu'une démonstration est fausse. Tout au plus peut-on dire qu'elle est erronée, quand l'une de ses étapes n'est pas en accord avec les règles de la logique. --Pierre de Lyon (discuter) 28 août 2018 à 18:10 (CEST)

« On pourrait dire...oh dieu, bien des choses en somme ». Commençons par un microscopique point de vocabulaire : certes, une démonstration est plutôt dite erronée que fausse (on parle aussi de pseudo-démonstration), mais on se comprend, et ce que veut dire le premier intervenant est que cette soi-disant démonstration est une escroquerie intellectuelle, presque un jeu de mot aussi douteux que celui du paradoxe du fromage à trous. Si le but était de démontrer que la série converge, il n'aurait pas tort, mais il n'en est rien. Disons plutôt qu'il suffit (après avoir préciser que sa limite (à n'importe quel sens usuel, y compris dans des ensembles de nombres bizarres) est infinie ou n'existe pas) d'expliquer que tout se passe néanmoins comme si le nombre -1/12 était attaché à cette série (au sens où on obtient le même nombre par des procédés (apparemment) très différents), et que c'est ce mystère (déjà repéré par Euler, et finalement éclairci seulement par Borel et ses continuateurs) qu'il conviendrait d'expliquer (par exemple en parlant de la fonction zeta, du prolongement analytique, des méthodes de sommations, etc.). Voilà pour les mathématiques. Pour la psychologie (ou peut-être pour la sociologie), on est plutôt dans la problématique du curieux avide de s'instruire, et qui est tout ébahi (on pense irrésistiblement à Bouvard et Pécuchet) des vessies qu'on veut lui faire prendre pour des lanternes aux quatre coins de Wikipédia (et tout particulièrement dans les Le Saviez-vous ? de l'accueil), ainsi, pour ne parler que de science, des paradoxes relativistes et quantiques, des mystères de la mat!ère noire et de l'énergie sombre, et donc, des étranges propriétés des êtres mathématiques qu'il pensait vaguement comprendre (autant d'entiers que de fractions, mais plus de réels ; l'hôtel de Hilbert ; le paradoxe de Banach et Tarski, etc., etc.) Bien sûr, il s'insurge, et tente de se raccrocher au bon sens, en soupçonnant une mystification de ces savants toujours un peu dérangés...--Dfeldmann (discuter) 28 août 2018 à 20:14 (CEST)

 Dfeldmann : Tu l'as très bien dit, je n'ai rien à ajouter. --Pierre de Lyon (discuter) 30 août 2018 à 10:16 (CEST)

Bien ! J'ai bien compris que la pseudo-démonstration est erronée, mais qu'elle est correcte si l'on considère la merveilleuse fonction zeta... pourquoi pas les nombres p-adiques si à la mode aussi... Il reste quand même à comprendre comment une série qui oscille, par construction d'une valeur entière 1 à 0 ou de -1 à 0 peut à un moment quelconque avoir pour limite un -1/12... J'ai beaucoup de respect pour Euler, mais quand même quel saut conceptuel faut-il faire pour trouver une égalité entre 1 , 0, -1 et -1/12. J'espère donc qu'il sera précisé dans l'article que la pseudo-démonstration est erronée ! Jean Delpuech

C'est indiqué noir sur blanc dans l'article. — Poulpy (discuter) 30 août 2018 à 22:41 (CEST)

On aurait tout aussi bien pu écrire $A=1-1+1-1+1-...=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+...=0$ noir sur blanc dans l'article et donc trouver un autre résultat pour 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Ce qui manque dans l'article, c'est pourquoi les règles utilisées pour trouver A = 1/2 sont "correctes", mais pas celles utilisées pour trouver A = 0. Vincent Lefèvre (discuter) 31 août 2018 à 00:21 (CEST)

Il ne "manque" rien du tout. Des explications beaucoup plus détaillées sont données dans l'article Série divergente, mais vous ne les lisez visiblement pas, ainsi que mon laïus précédent. Donc, résumons  : A =1/2 comme somme de Cesaro de la série de Grundy, parce que, par exemple, les sommes partielles oscillent entre 0 et 1 (d'où diable sortez-vous votre -1?) d'où une valeur moyenne de 1/2 ; on peut aussi (mais c'est juste pour être homogène avec ce qui va suivre) le voir comme prolongement (analytique) de la série (géométrique) 1+x+x^2+x^3+...=1/(1-x) en x=-1. En dérivant, on voit aisément que B =1+2x+3x^2+... vaut 1/(1-x)^2, et donc se prolonge en 1/4 en x=-1, puis le truc de Ramanujan donne C. En quoi diable tout ceci a-t-il un rapport avec la convergence au sens usuel? Pensez-vous vraiment que des génies (pour une fois, le mot n'est pas galvaudé) du calibre d'Euler, Abel ou Ramanujan n'ont pas remarqué que C diverge grossièrement, et qu'aucun miracle ne peut le rendre négatif? Et quand Euler écrit 1+2+4+8+16+...=-1 , vous pensez qu'il est devenu fou, ou vous vous émerveillez de voir qu'il a anticipé la notation des nombres négatifs en binaire dans nos ordinateurs ?--Dfeldmann (discuter) 31 août 2018 à 00:44 (CEST)

Justement dans l'article Série divergente, je ne vois aucune preuve ou référence à des preuves. Le 1+2+4+8+16+...=−1 est basé sur la convergence dans $\mathbb {Z} _{2}$. Mais là, on n'est plus sur la topologie usuelle. D'ailleurs, l'article Série divergente commence très mal en parlant de convergence/divergence sans mentionner le fait que ça dépend de la topologie. Vincent Lefèvre (discuter) 31 août 2018 à 01:09 (CEST)

??? Des preuves de quoi ? La validité des méthodes de sommation, leur cohérence ? Quand à la topologie, j'ai rajouté un paragraphe hier (avant votre message) à l'article Série divergente. Euler (comme Ramanujan) se base sur des manipulations algébriques formelles où la topologie ne joue aucun rôle ; il arrive d'ailleurs à sommer des séries qui ne convergent dans aucun univers numérique concevable, par exemple la série entière 1-x+2x^2-6x^3+...+n!(-x)^n+....--Dfeldmann (discuter) 31 août 2018 à 09:30 (CEST)

Si on choisit des méthodes de sommation arbitraires, on peut donner n'importe quelle valeur à une série divergente. L'article Série divergente donne certaines informations sur les propriétés satisfaites ou non (stabilité, linéarité, etc.). OK. Un des problèmes avec l'article 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est qu'on ne sait pas quelles propriétés les méthodes utilisées satisfont. Autre problème: le lien série de Grandi explique justement que la série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ n'a pas de somme, même si différentes méthodes de sommation "rigoureuses" peuvent donner la valeur 1/2 (mais on ne sait pas s'il existe d'autres méthodes aussi "rigoureuses" pouvant lui donner une valeur différente). Concernant 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, pour trouver −1/12, une combinaison de méthodes de sommation sont utilisées; mais même si chacune de ces méthodes de sommation ont des propriétés intéressantes, il n'est pas expliqué ce qu'il en est de la combinaison de ces méthodes (est-ce que cela a forcément un sens, ou peut-on en fait obtenir n'importe quoi?). La section "Limites des méthodes de sommation linéaires stables" fournit certaines réponses. Ce qu'il manque c'est un texte permettant de comprendre pourquoi la combinaison des méthodes utilisées est cependant acceptable, mais d'autres méthodes ne le seraient pas (cf ce qui permet d'obtenir 0 et 1 dans Série de Grandi); il faudrait peut-être un paragraphe introductif à la section "Sommabilité". Il faudrait peut-être aussi nuancer la phrase "La valeur qu'on lui donne est −1/12" dans la définition (le "on" n'est d'ailleurs pas très clair). Vincent Lefèvre (discuter) 1 septembre 2018 à 19:36 (CEST)

Ben non, une méthode de sommation "raisonnable" (une liste assez complète est donnée dans l'article "série divergente") ne produit que la valeur -1/12 (ou la divergence vers + infini) : Euler l'obtient par une forme primitive de prolongement analytique , Ramanujan en utilisant des manipulations purement formelles, Borel par utilisation d'intégrales... Que voudriez-vous de plus dans le cadre de cet article précis ?--Dfeldmann (discuter) 1 septembre 2018 à 21:13 (CEST)

Une preuve de cette affirmation, évidemment. A priori, ce n'est pas parce que plusieurs méthodes permettent d'obtenir −1/12 qu'il ne peut pas en exister une autre (pas encore connue) qui donnerait une valeur différente, vu que la compatibilité des différentes méthodes de sommation n'est pas assurée. Vincent Lefèvre (discuter) 8 septembre 2018 à 14:48 (CEST)

Vous êtes têtu, hein (mais je n'avais pas vu cette réponse). Bon, si je vous dit que Borel, puis beaucoup plus récemment, Ramis, par exemple, ont consacré des livres entiers à cette question et aux démonstrations qui vont bien, ça vous rassurera ? Après, comme souvent, c'est peut-être possible de donner une vague idée des raisons qui font que ça marche en agitant beaucoup les mains (ici, il s'agit de montrer que toutes ces méthodes se ramènent au prolongement analytique, mais par exemple la série somme des factorielles, ou le produit infini de tous les entiers, c'est un peu plus sportif encore), mais pour arriver à quelque chose de rigoureux, ce n'est sans doute pas un hasard si quelques décennies (voire siècles) ont été nécessaires et donc qu'une preuve (vraiment merveilleuse) tenant dans une marge pas trop étroite n'est pas à espérer de sitôt... --Dfeldmann (discuter) 11 novembre 2018 à 12:21 (CET)

Wikipédia n'est censé contenir que des choses correctes. Dans l'état actuel, l'article est trop vague. Je ne vois pas l'intérêt d'indiquer des méthodes non rigoureuses. Soit il y a une justification possible, alors la méthode devient rigoureuse (dans ce cas, il faut une preuve ou une référence), soit c'est simplement n'importe quoi, ou alors WP:OR. Concernant le prolongement analytique, il faut un résultat d'unicité, que je ne vois nulle part: si on a deux fonctions f et g définies par des séries F et G respectivement et qu'on prolonge analytiquement, s'il existe deux réels x et y tels que F(x) et G(y) sont des séries divergentes identiques (i.e. de même terme général), et si f(x) et g(y) sont définis (en tant que valeurs des fonctions prolongées analytiquement), alors nécessairement f(x) = g(y). Vincent Lefèvre (discuter) 11 novembre 2018 à 17:45 (CET)

-1/12, certes, mais par rapport à quoi ?

Il serait probablement intéressant de mentionner qu'on peut assigner -1/12 à cette série par rapport à une autre série divergente (ce qui est, je crois, la signification de ce nombre). Toutefois, je n'ai pas la moindre idée de comment expliquer ça, ni même d'ailleurs si ça a été fait dans des publications sérieuses.

Bref. — Poulpy (discuter) 10 juin 2019 à 17:37 (CEST)

??? Ben non : -1/12 est bien la somme à différents sens (Ramanujan, Borel, prolongement analytique). Où est le problème ? Quand aux explications, elles sont données dans les différents articles pertinents (sommation de Ramanujan, etc.)--Dfeldmann (discuter) 10 juin 2019 à 18:01 (CEST)

La sommation, pas la somme, svp. Quant aux explications... Disons que cet article est certes très technique (et nettement plus rigoureux que la plupart de ce qu'on trouve ailleurs), mais qu'il n'explique pas grand chose. — Poulpy (discuter) 10 juin 2019 à 18:08 (CEST)

Mais non. 1) La sommation, c'est le procédé, la « somme » (au sens de X ou de Y) le résultat de ce procédé appliqué à une série (divergente) donnée. 2) Qu'appelles-tu expliquer ? Quand j'en parle à mes élèves (en agitant beaucoup les mains), je leur dit qu'en gros, si on essaie de donner un sens à 1+2+3+4+..., on obtient le plus souvent +infini (encore heureux), mais que des méthodes plus étranges aboutissent inévitablement à -1/12 (c'est un mensonge éhonté dans ce cas précis, mais ce serait déjà plus vrai pour la somme d'une série géométrique : 1+x+x^2+... =(si on obtient une réponse) 1/(1-x)). L'explication, si on y tient, réside probablement, dans les cas les plus simples, dans la notion de prolongement analytique (mais des cas plus complexes demandent des théories plus élaborées ; voir les livres donnés en bibliographie : Borel, Ramis, etc.). Pour prendre un exemple plus simple, la fonction 1/(1-x^2) n'est égale à la série 1+x^2+x^4+... que pour -1<x<1, ce qui semble logique vu sa valeur infinie en -1 et 1 ; pour comprendre pourquoi 1/(1+x^2) se comporte de même, alors que le dénominateur ne s'annule jamais, l'explication est dans le passage aux complexes, qu'on aurait pu découvrir ainsi (par l'ombre qu'ils projettent à ce sens dans R). De nombreux phénomènes analogues ont mis longtemps à s'expliquer (distributions, analyse non-standard, etc.) ; est-ce à ce genre de choses que tu penses ? --Dfeldmann (discuter) 10 juin 2019 à 18:33 (CEST)

Là on entre dans des débats philosophiques sur le sens des mathématiques. Pour moi, les mathématiques démontrent des propositions (par exemple, elles démontrent que la « somme x de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, est -1/12) mais elles n'expliquent pas ces propositions. --Pierre de Lyon (discuter) 3 juillet 2019 à 15:38 (CEST)

??? Ah vraiment ? C'est totalement intenable comme position, sauf à dissocier mathématiques (un ensemble virtuel de théorèmes) et mathématiciens (des humains tentant péniblement d'explorer une infime partie de cet ensemble). Et même comme ça... Je peux démontrer une infinité de théorèmes passionnants tels que 42+1729=1729+42, et même de nombreuses façons différentes (par récurrence, en exhibant explicitement une bijection entre ces deux sommes,...) ; fais-je ainsi oeuvre de mathématicien ? Et d'où diable ta position permettrait-elle de distinguer la valeur de mon travail de celle du travail de Wiles ? D'autre part, l'explication d'un théorème (sans même parler de sa valeur pédagogique, ou de son intérêt pour en obtenir des généralisations par exemple) amène souvent à la découverte de nouvelles structures ; c'est à ce sens qu'un mathématicien vraiment exceptionnel comme Grothendieck explique et révolutionne littéralement les mathématiques entières en renversant complètement les points de vue, faisant apparaître des choses triviales (l'addition des entiers ou les points de l'espace) comme des ombres de choses infiniment plus abstraites (schémas, topos, etc.) Et enfin, justement, que peut bien vouloir dire "démontrer" que la somme 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est -1/12 si on ne précise pas déjà le sens de cet énoncé ? Une fois le sens précisé, effectivement, le rôle des maths est de montrer qu'à ce sens, la somme vaut bien -1/12 et non 42. Mais par exemple, donner un sens à 1-1+2-6+24-...+(-1)^n * n!+... est l'essentiel de la difficulté ; calculer ensuite le résultat (à ce sens) est un exercice presque taupinal (voir l'article série alternée des factorielles).--Dfeldmann (discuter) 3 juillet 2019 à 16:15 (CEST)

Théorème de réarrangement de Riemann

Le théorème de réarrangement de Riemann est clair et s'applique bien ici pour justifier les erreurs de cet article.

Une série simplement convergente dont on permute les termes, converge vers une autre limite.

Lorsque l'on développe 2 séries, en écrivant A = Σ(ai), B = Σ(bi) donc A+B = Σ(ai+bi) en sommant en colonne, on a tout simplement réordonner les termes.

On a écrit : Σ(ai) + Σ(bi) = Σ(ai+bi). On est passé de faire d'abord la somme de tous les a, puis la somme de tous les b à faire la somme alternativement d'un a puis d'un b etc... C'est une permutation des termes.

Cette égalité est tout simplement fausse d'après le théorème de Riemann et tout ce qui en découle est faux !

--Dr ens (discuter) 3 juillet 2019 à 11:46 (CEST)

Le théorème de Riemann ne s'applique qu'à des séries semi-convergentes, ce qui rend discutable (pour ne pas dire plus) le reste de votre critique.--Dfeldmann (discuter) 3 juillet 2019 à 14:42 (CEST)

Section "Heuristique" incohérente et arbitraire

La section Heuristique utilise une méthode de sommation se basant à la fois sur les propriétés de stabilité, linéarité et régularité. Or une telle méthode est nécessairement incohérente: on peut montrer 1 = 0. Note: la régularité se base sur une topologie, mais ce résultat d'incohérence est vrai quelle que soit la topologie choisie, y compris la topologie discrète, puisque la preuve de Rémy Peyre présentée dans cette vidéo ne fait intervenir la régularité que sur 1 + 0 + 0 + 0 + ⋯, qui converge vers 1 pour toute topologie.

Plus précisément, Ramanujan utilise la linéarité et une forme de stabilité pour introduire 4c. D'autre part, l'identification de la fonction 1/(1 + x)² à son développement en série entière utilise la régularité (qui est la seule façon d'identifier une série à un réel). Bref, Ramanujan se base sur une théorie incohérente.

Idem pour l'autre approche présentée dans cette section.

Évidemment, en choisissant bien les manipulations, on peut obtenir −1/12. Mais en utilisant les mêmes règles de base, on peut aussi obtenir n'importe quelle autre valeur. Donc les choix présentés sont construits juste pour "marcher" avec la valeur −1/12. Je ne vois pas vraiment ce que font ces raisonnements faux et arbitraires sur Wikipédia. Vincent Lefèvre (discuter) 5 juillet 2019 à 00:24 (CEST)

C´est bien, vous êtes bien plus compétent et rigoureux que Ramanujan, Borel, etc. ; certain également que ce résultat est parfaitement arbitraire (au fait, montrez-nous comment on obtient pi ou 42). Mais êtes-vous sûr de maitriser les regles de Wikipédia dans ce cas précis ?--Dfeldmann (discuter) 5 juillet 2019 à 00:46 (CEST)

La vidéo montre comment on obtient 0 = 1. En résumé:

${\begin{alignedat}{6}S&{}={}&1&+2&{}+{}&3+4+5+\cdots \\-2S&{}={}&&-2&{}-{}&4-6-8-\cdots \\S&{}={}&&&&1+2+3+\cdots \\\end{alignedat}}$

Si on fait la somme, on obtient 0S = 1 + 0 + 0 + 0 + ⋯, puis 0 = 1 par régularité. À partir de là, obtient que tous les nombres sont égaux entre eux, et si S a une valeur, alors cette valeur est n'importe quel nombre, comme pi ou 42, puisqu'ils sont tous égaux entre eux. Vincent Lefèvre (discuter) 5 juillet 2019 à 01:59 (CEST)

Spectaculaire. D'ailleurs, cette vidéo est étonnamment sérieuse pour quelque chose d'aussi idiot. Normal, son bt est d'éblouir l'auditeur, puis de lui montrer qu'il y a quand même quelque chose. Bon, passons sur le fait que cette égalité n'est pas dans la lettre à Hardy (et que ce n'est pas cette formule qui l'a stupéfié). Il y a plus simple : posons T=1+1+1+... =1+(1+1+...)=1+T, donc 0=1. Et alors ? Il n'empêche qu'on a le résultat (empirique) suivant : toute manipulation de la somme aboutit à l'infini (le plus souvent) ou à -1/12. Les manipulations "logiques" de la forme 0.S=1 donc 0=1 donc 1=pi=S (par le principe d'explosion) sont évidemment exclues. Un peu plus haut, vous disiez : avec une autre fonction analytique, on obtiendrait n'importe quel résultat. C'est faux, on démontre même que pour une vaste classe de fonctions, la régularisation zêta aboutît toujours à -1/12 (voir la vidéo, justement). Je ne peux désormais que répéter que les règles de Wikipédia sont simples : nous avons des sources secondaires de qualité parlant de cette somme et répétant (en mieux) ce que je viens de tenter d'expliquer, à commencer par les ouvrages de Hardy, Borel, etc. Pour pouvoir balayer tout cela, ou du moins écrire un paragraphe du style "malgré tout, certains mathématiciens pensent que Ramanujan disait n'importe quoi", il vous faut une source de même qualité. Tant que vous ne l'aurez pas...--Dfeldmann (discuter) 5 juillet 2019 à 06:46 (CEST)

Juste un truc. Si un physicien trouvait une telle somme lors d'une expérience, il testerait les deux résultats (infini et -1/12) en se disant l'un est bon et l'autre est faux. Et il aurait de bonnes chances de conclure que le bon résultat est -1/12 (voir l'effet Hendrik Casimir). Donc on ne peut plus dire de nos jours que Ramanujan se soit fourvoyé. --Dimorphoteca (discuter) 5 juillet 2019 à 09:12 (CEST)

La physique ne prouve rien, et noter qu'une expérience physique peut mener à un résultat sans que ce soit le seul résultat possible (e.g. multiplicité de points d'équilibre). D'ailleurs +∞ est la seule limite correcte suivant la définition classique de convergence avec la topologie usuelle. Le −1/12 peut être obtenu à partir d'axiomes menant à une théorie a priori cohérente (on ne pourra jamais prouver la cohérence), ou bien à partir d'axiomes menant à une théorie que l'on sait incohérente (e.g. régularité + linéarité + stabilité), ce qui est le cas de la section "Heuristiques" (idem dans cette vidéo, qui aboutit à −1/9, en utilisant le même genre de transformations que Ramanujan). Note: au moins, la page du WP anglais en:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est claire sur ce point: "Generally speaking, it is incorrect to manipulate infinite series as if they were finite sums. [...] can lead to inconsistent results." D'autre part, même si diverses méthodes donnent −1/12 comme résultat, cela ne prouve pas que c'est le seul résultat possible. Dans un même ordre d'idée, ce n'est pas parce qu'une suite récurrente semble converger vers une valeur unique sur ordinateur (quelle que soit la machine utilisée, même à très grande précision) que c'est la valeur correcte. Des preuves rigoureuses sont indispensables. Vincent Lefèvre (discuter) 5 juillet 2019 à 13:05 (CEST)

Je n'ai jamais affirmé "avec une autre fonction analytique, on obtiendrait n'importe quel résultat". Je posais juste la question de savoir si c'est possible. Je ne parle pas de la régularisation zêta, mais d'une régularisation plus générale, en considérant toutes les fonctions analytiques possibles. La question est de savoir si, dans les cas où on obtient un résultat, c'est forcément −1/12 ou éventuellement une autre valeur. Si vous avez une source sur cela, il faudrait l'indiquer et citer le théorème correspondant. Les sources mentionnées actuellement ne donnent que des résultats partiels, ce que ne reflète pas l'article WP tel qu'il est écrit. Vincent Lefèvre (discuter) 5 juillet 2019 à 13:05 (CEST)

Mais pourquoi ce sujet semble-t-il rendre tout le monde dingue ? — Poulpy (discuter) 5 juillet 2019 à 09:52 (CEST)

Parce qu'une simple somme peut produire plusieurs résultats. Réclamez à votre patron la somme de 1 + 2 + 3 + ... euros comme salaire. Il accepte et vous envoie tous les mois une facture (de 1/12 d'euro). --Dimorphoteca (discuter) 5 juillet 2019 à 10:39 (CEST)

Non,  Poulpy : J'ai écrit au-dessus quelque chose de plus général; je le recopie :

[...] tout se passe comme si le nombre -1/12 était attaché à cette série (au sens où on obtient le même nombre par des procédés (apparemment) très différents), et que c'est ce mystère (déjà repéré par Euler, et finalement éclairci seulement par Borel et ses continuateurs) qu'il conviendrait d'expliquer (par exemple en parlant de la fonction zeta, du prolongement analytique, des méthodes de sommations, etc.). Voilà pour les mathématiques. Pour la psychologie (ou peut-être pour la sociologie), on est plutôt dans la problématique du curieux avide de s'instruire, et qui est tout ébahi (on pense irrésistiblement à Bouvard et Pécuchet) des vessies qu'on veut lui faire prendre pour des lanternes aux quatre coins de Wikipédia (et tout particulièrement dans les Le Saviez-vous ? de l'accueil), ainsi, pour ne parler que de science, des paradoxes relativistes et quantiques, des mystères de la mat!ère noire et de l'énergie sombre, et donc, des étranges propriétés des êtres mathématiques qu'il pensait vaguement comprendre (autant d'entiers que de fractions, mais plus de réels ; l'hôtel de Hilbert ; le paradoxe de Banach et Tarski, etc., etc.) Bien sûr, il s'insurge, et tente de se raccrocher au bon sens, en soupçonnant une mystification de ces savants toujours un peu dérangés...

Et au fond, le sujet attire aussi des gens, qui sans être au niveau crank qui les pousseraient à montrer qu'ils sont plus malins que Wiles (et que Fermat ?), plus rusés que Cantor, plus observateurs qu'Einstein, etc. pensent que tout peut s'expliquer plus simplement que ces versions paradoxales, pour ne pas dire mystificatrices. Hélas, outre l'effet Dunning-Kruger, ils illustrent ainsi le célèbre formule de H. L. Mencken : « Pour chaque problème complexe, il y a une réponse qui est claire, simple et fausse. »--Dfeldmann (discuter) 5 juillet 2019 à 11:10 (CEST)

C'est marrant que vous citiez Fermat. Par exemple, je crois qu'on peut raisonnablement penser qu'il n'a jamais réellement prouvé son "grand théorème", contrairement à ce qu'il a dit dans la fameuse marge. Je suppose qu'il avait une démonstration erronée. Bref, tous les grands mathématiciens peuvent faire des erreurs. Donc pourquoi serait-il interdit de mettre en doute leurs résultats? Vincent Lefèvre (discuter) 5 juillet 2019 à 13:05 (CEST)

C'est de pire en pire. Ca vous arrive de vous documenter avant d'écrire ? Evidemment que sa démonstration était erronée (on a même pas mal d'idées sur ce qu'elle devait être) Evidemment qu'il s'en était rendu compte (voir ses lettres à Freniscle). Evidemment qu'il n'allait pas se mettre à la recherche de ses notes marginales sur son Diophante, pour corriger des erreurs dont il ne soupçonnait pas qu'elles risquaient de tromper quelqu'un (et évidemment que son fils n'avait aucune raison de soupçonner quoi que ce soit). Donc, oui, tous les grands mathématiciens font des erreurs, ça fait même partie de la formation des professionnels d'apprendre à les repérer et à les corriger ; il y a d'ailleurs à ce sujet une citation de Bourbaki que j'aime bien :

« En résumé, nous croyons que la mathématique est destinée à survivre, et qu’on ne verra jamais les parties essentielles de ce majestueux édifice s’écrouler du fait d’une contradiction soudain manifestée ; mais nous ne prétendons pas que cette opinion repose sur autre chose que l’expérience. C’est peu, diront certains. Mais voilà vingt-cinq siècles que les mathématiciens ont l’habitude de corriger leurs erreurs et d’en voir leur science enrichie, non appauvrie ; cela leur donne le droit d’envisager l’avenir avec sérénité. »

Déjà, des erreurs qui passent le crible des publications à comité de lecture, on en compte beaucoup moins. Mais des erreurs du genre de "Euler a démontré que 1+2+4+8+... = -1, et tout le monde l'a cru et s'est extasié, parce que c'était Euler, mais moi qui suis malin, j'ai tout de suite vu le piège, ; quel crétin, cet Euler", ça ne risque pas de bouleverser l'Histoire (pas même celle des mathématiques). Accessoirement, avec des méthodes du même genre, Euler a démontré que 1+1/4+1/9+...=pi^2/6 (le problème de Bâle), sauf que, comme c'est Euler, il est sûr du résultat, mais pas de sa démonstration (et il a bien raison, elle est fausse), alors il passe dix ans a en trouver une qui soit correcte. Voilà. Pour en finir avec tout ça, une seule réponse : l'effet Dunning-Kruger.--Dfeldmann (discuter) 5 juillet 2019 à 13:42 (CEST)

 Vincent Lefèvre : Votre remarque ci-dessus "La physique ne prouve rien" est erronée, du moins sur ce sujet précis. L'expérience de Casimir prouve au contraire que les considérations de Ramanujan et autres sur ce -1/12 sont fondées. Je comprends vos réticences, mais personnellement en voyant sur ce cas précis que l'infini donne un résultat insensé et que le -1/12 "marche", je me dis qu'il y a bien là un sujet plus vaste que ce l'on peut envisager au départ. A votre place, je regarderais ce qui tout ce qui concerne l'expérience de Casimir. Je suis persuadé que cela infléchira votre position. --Dimorphoteca (discuter) 5 juillet 2019 à 14:04 (CEST)

Trouver des résultats absurdes en physique en considérant l’infini, c’est normal. L’infini, ça n’appartient pas au domaine de la physique.

Même en mathématiques on trouve des résultats absurdes en faisant des considérations imprudentes sur des nombres infinis (ou des sommes non convergentes), comme illustré dans cet article. L’erreur est d’écrire, devant quelque-chose qui n’est pas un nombre, « S = … » puis de le manipuler comme s’il s’agissait d’un nombre. Il y a nécessairement des postulats masqués qu’il faut respecter.

Par exemple dans l’article, on a écrit A = 1 − 1 + 1 − 1 ···. Il faut alors garder à l’esprit que A n’est pas un nombre. A est quelque-chose qui saute de 0 à 1 à 0 infiniment. Lorsqu’on fait des opérations sur A, il convient de vérifier qu’elles donnent les résultats qu’on imagine.

Le raisonnement déroulé est le suivant :

1. Par reconnaissance du motif, on pose A = 1 − A, en d’autres termes « [1 puis 0 puis 1] = 1 − [1 puis 0 puis 1] ».
2. Étape d’après, on rajoute A de part et d’autre : A + A = 1 − A + A, ou autrement « [1 puis 0 puis 1] + [1 puis 0 puis 1] = 1 − [1 puis 0 puis 1] + [1 puis 0 puis 1] ».
3. Étape finale, on simplifie "A + A" en 2A et "A − A" en 0, ce qui donne après une division par 2, A = 1/2.

Mais A n’est pas un nombre. A est une entité qui alterne entre 0 et 1 infiniment, si on admet qu’il y a un temps. Pour pouvoir affirmer que A + A = 2A, et que A − A = 0, il faut introduire le postulat suivant : A oscille en phase, c’est-à-dire que toutes les références à A utilisées dans la formule alternent entre 0 et 1 en même temps. Sinon, on ne peut pas affirmer qu’ajouter « quelque-chose qui saute de 0 à 1 à 0 infiniment » à « quelque-chose qui saute de 0 à 1 à 0 infiniment » donne « quelque-chose qui saute de 0 à 2 à 0 infiniment ».

(Si on refuse d’introduire une notion de temps, alors on peut dire "A vaut 0 ou 1", et retrouver le même problème pour pouvoir affirmer "A+A vaut 0 ou 2".)

Le postulat introduit pour pouvoir réaliser les simplifications de l’étape 3, en revanche, doit être valable tout le temps si c’est un postulat. Donc lors de l’étape 1, on a affirmé par reconnaissance du motif que « [1 puis 0 puis 1] = 1 − [1 puis 0 puis 1] ». Or, si la "phase" est imposée, alors le motif reconnu, déphasé, n’est pas A. Il s’agit de Abis, qui vaut 0 lorsque A vaut 1 et 1 lorsque A vaut 0. Donc A+Abis vaut 1 et A-Abis vaut [1 puis −1 puis 1]. La démonstration doit donc être, en fait :

1. A = 1 − Abis
2. A + Abis = 1 (ou 2A = 1 − Abis + A)
3. [1 puis 0 puis 1] + [0 puis 1 puis 0] = 1 => c’est vrai grâce à notre postulat (ou [2 puis 0 puis 2] = 1 − [0 puis 1 puis 0] + [1 puis 0 puis 1], donc [2 puis 0 puis 2] = 1 + [1 puis −1 puis 1] => c’est vrai aussi.)

Bien sûr on n’aboutit pas à une valeur numérique unique pour A. Mais aboutir à une valeur numérique unique repose sur une erreur d’application d’un postulat masqué.--2001:861:3384:74D0:FCB7:AD5E:6525:8FFF (discuter) 29 août 2019 à 20:42 (CEST)

Certaines de vos remarques sont justifiées, mais vous n'avez pas saisi l'importance de l'expérience de Casimir. Pire, vous dites le contraire de ce qu'elle montre ! Le résultat physique n'est pas absurde : l'énergie est finie. Et c'est justement le fameux -1/12 qui donne un résultat mathématique conforme aux observations. --Dimorphoteca (discuter) 30 août 2019 à 08:45 (CEST)

−1/12 n'est pas la seule valeur possible par régularisation!

Quelqu'un a montré que si on considère une méthode de sommation par régularisation, on peut obtenir d'autres valeurs que −1/12: https://math.stackexchange.com/a/2190184/459608

Au lieu de la fonction zêta de Riemann, il considère la fonction $f_{n}(z,a)={\frac {n}{(n+a)^{z}}}$, où $a$ est un paramètre que l'on fixe. Il considère le prolongement analytique de la somme de la série quand $z\to 0$ et obtient: $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(z,a)=-a\cdot \zeta (z,1+a)-(z-1)\cdot \zeta (z-1,1+a)$ où $\zeta$ est la fonction zêta de Hurwitz. Puis $\lim _{z\to 0^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(z,a)={\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}$.

Cela signifie que si ce résultat est effectivement correct (vous pouvez aller voir la preuve au lien ci-dessus), ceux qui disaient que −1/12 était la seule valeur possible ont raconté n'importe quoi. Vincent Lefèvre (discuter) 27 mai 2020 à 02:17 (CEST)

Bonjour Vincent Lefèvre J'aime beaucoup votre style : vous partez d'un obscur résultat dont vous ignorez s'il est correct, et vous concluez que nous (Euler, Borel, Ramis, et les malheureux moines copistes de Wikipédia) racontons n'importe quoi. Je vais vous rassurer : la régularisation proposée donne en effet un terme supplémentaire, mais du coup, cette méthode se trompe sur les séries convergentes (comme vous le verriez si vous lisiez jusqu'au bout votre lien). Bref, ce combat un peu d'arrière garde ne va pas remettre en cause notre article dans l'immédiat.--Dfeldmann (discuter) 27 mai 2020 à 07:33 (CEST)

Bonjour. Ceci montre donc qu'une méthode de sommation par régularisation est une mauvaise méthode, en tout cas dans l'absolu, et l'article passe cela sous silence. Peut-être que la régularisation zêta est particulière, mais rien n'est dit dans l'article à ce propos: l'article explique juste qu'on peut trouver une valeur en étendant ζ par prolongement analytique, mais n'explique pas pourquoi c'est ici valide pour la fonction ζ, mais qu'on ne peut pas faire ce raisonnement avec d'autres fonctions. Le genre de choses que je reproche à l'article depuis le début. Vincent Lefèvre (discuter) 27 mai 2020 à 08:48 (CEST)

Quel talent vous avez... Non, une méthode de régularisation doit prioritairement donner la bonne valeur pour une série convergente. Et donc votre le contre-exemple ne prouve rien. Accessoirement, il ya d'autres méthodes pour obtenir cette valeur, par exemple la sommation de Ramanujan, qui (et pour cause) n'ont absolument pas besoin d'introduire une fonction arbitraire, même privilégiée. En tout état de cause, on va vous laisser à vos certitudes, et à vos critiques ; tant que vous ne touchez pas à l'article, et que vous n'avez rien de précis à reprocher à Euler, Riemann, Ramanujan, Borel, Ramis..., tout ira bien.--Dfeldmann (discuter) 27 mai 2020 à 10:12 (CEST)

J'approuve le point de vue de Dfeldmann. S'il y avait plusieurs résultats possibles (ce que je veux bien croire), la valeur -1/12 resterait à privilégier. Cette valeur surprend, certes, mais a des bases solides.--Dimorphoteca (discuter) 27 mai 2020 à 09:10 (CEST)

Bonjour, Je lis que ce certaines illustrations/démonstrations ne sont pas rigoureuses, est-il possible d'expliquer ce que ca veut dire pour profane quelque par dans l'article ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 82.65.105.59 (discuter), le 14 avril 2022 à 22:03 (CEST)