Dipôle électrique d'une boule

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Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme, donc de moment dipôlaire \vec{p} = Vol \cdot \vec{P}. Le champ électrique créé par cette boule est le même que celui d'une sphère chargée en surface par une densité surfacique de révolution \sigma(\theta) = P cos\theta.

Champ et potentiel créés[modifier | modifier le code]

Comme la distribution est à support compact, le champ au loin (r>>R) comme celui créé par le dipôle p.

Il est extraordinaire de constater que cela est vrai pour tout r > R !

\vec{E}(M) = \frac{p}{4\pi\epsilon_0r^3}\cdot\bigl(2\cos\theta\vec{u_r} + \sin \theta  \vec{u_\theta}\bigr) = \frac{P}{3\epsilon_0} \frac{R^3}{r^3}\cdot\bigl(2\cos\theta\vec{u_r} + \sin \theta  \vec{u_\theta}\bigr)

ou encore :

\vec{E}(M)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0\cdot r^3}\cdot\bigl(3 \vec{u_r}(\vec{p} \cdot \vec{u_r}) - \vec{p}\bigr) = \frac{R^3}{\epsilon_0\cdot r^3}\cdot\bigl( \vec{u_r}(\vec{P} \cdot \vec{u_r}) - \frac{1}{3}\vec{P}\bigr)

Pour r < R , le champ est uniforme :

 \vec{E_0} = - \vec{P}/3\epsilon_o = \frac{P}{3\epsilon_0} \cdot\bigl( - cos\theta\vec{u_r} + \sin \theta  \vec{u_\theta}\bigr)

Le diagramme électrique est donc évident à tracer.

On obtient donc les potentiels suivants :

(r>R) :V(M)=\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} = \frac{R^3}{r^3} \frac{\vec{P}\cdot\vec{r}}{3 \varepsilon_0}

(r<R) : V(M)= \frac{\vec{P}\cdot\vec{r}}{3\epsilon_o}

Démonstration[modifier | modifier le code]

On peut faire le calcul ; mais la démonstration la plus rapide est "bluffante" : la solution existe et est unique ; il suffit donc de vérifier que div E = 0 et rot E = 0 , et que les conditions limite à l'infini sont réalisées (c'est exact) et sur la sphère aussi :

 E_{ext} - E_{int}  = \frac{P cos(\theta)}{\epsilon_o}. \vec{u_r} = \frac{\sigma (P)}{\epsilon_o}.\vec{n} (P)  (c'est exact aussi).

Cas-limite R tendant vers zéro[modifier | modifier le code]

On a, à ce moment-là , pour le petit volume V, où l'intégrale du champ vaut Vol.Eo = - P/3\epsilon_o par -4\pi/3.p. \delta(r).

Au total \vec{E}(M) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o} [ \frac{1}{r^3}( 3(\vec{p}\vec{u})\vec{u} - \vec{p}) -\frac{4 \pi}{3}\vec{p} \cdot \delta(r)]

Voir aussi[modifier | modifier le code]