Dilatation (géométrie)

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Dessin d'origine
résultat de la dilatation


Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les transvections.

Dilatation vectorielle[modifier | modifier le code]

Une dilatation d'un espace vectoriel E est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul.

Les dilatations sont bijectives. L'ensemble des dilatations de base et direction fixées forme un sous-groupe du groupe linéaire GL(E), isomorphe au groupe multiplicatif du corps de base.

En dimension finie, un automorphisme de E est diagonalisable si et seulement s'il est produit commutatif de dilatations ; si de plus le corps de base a au moins 3 éléments, GL(E) est engendré par les dilatations.

Matrice de dilatation[modifier | modifier le code]

Dans une base de E\, formée de vecteurs de la base et de la direction de la dilatation, la dilatation a pour matrice une matrice du type diag(1,1,..,1,\lambda,1,..,1)=I_n+(\lambda -1) E_{ii}\,. Ces matrices sont donc appelées matrices de dilatation.

Dilatation affine[modifier | modifier le code]

Une dilatation d'un espace affine E\, est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul ; ce sont les applications affines de partie linéaire une dilatation vectorielle, sauf dans le cas du rapport 1.

Étant donné deux points A\, et A'\, tels que la droite (AA')\, n'est pas parallèle à un hyperplan H\,, il existe une unique dilatation de base H\, envoyant A\, sur A'\, ; on obtient facilement l'image M'\, d'un point M\, par la construction :

Dilatation.gif

En dimension finie, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe affine GA(E)\, est engendré par les dilatations.

Dilatation projective[modifier | modifier le code]

Si l'on plonge l'espace affine E\, dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini H'\,, on sait que l'on peut munir le complémentaire E'\, de l'hyperplan H\, d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de H\, dans E\, deviennent parallèles dans E'\, et celles qui sont parallèles dans E\, deviennent sécantes en un point de H'\,).

À toute dilatation d'hyperplan H\, de E\, est alors associée une application affine de E'\, qui n'est autre qu'une homothétie !

Les dilatations en perspective deviennent donc en fait des homothéties... Si l'on regarde par avion une dilatation de base parallèle à la ligne d'horizon, on voit une homothétie dont le centre est sur la ligne d'horizon :

Dilatation avion.gif

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que H\, et H'\, à l'infini, la dilatation devient une homologie non spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les homothéties, les dilatations, et les homologies non spéciales.

Dilatation orthogonale[modifier | modifier le code]

Ce sont, dans le cas euclidien, les dilatations dont la base est orthogonale à la direction. Elles contiennent comme cas particulier les réflexions.

Réalisation d'une dilatation par perspective parallèle[modifier | modifier le code]

Affinite perspective.png

Plongeons l'espace euclidien E_n\, de dimension n comme hyperplan d'un espace E_{n+1}\, de dimension n+1 et faisons tourner E_n\, autour de son hyperplan H\,, de façon à en obtenir une copie \tilde E_n\,.

Tout point M\, de E_n\, a une copie \tilde M dans \tilde E_n\,, donc aussi l'image M'\, de M\, par une dilatation de base H\,.

On montre que la droite (M\tilde M') garde une direction fixe D\,, ce qui montre que \tilde M' s'obtient par projection de M\, dans E_{n+1}\, (projection de base \tilde E_n\, et de direction D\,).

Voir ici une réalisation concrète de ce procédé.

Liens[modifier | modifier le code]

Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998