De la sphère et du cylindre

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De la sphère et du cylindre (c. 225 Av. J.C.) est une œuvre écrite par Archimède en deux volumes[1]. Dans ce traité, il est le premier à décrire comment calculer la surface et le volume d'une boule et les surfaces et volume d'un cylindre[2].

Contenu[modifier | modifier le code]

Dans ce traité, Archimède montre que la surface d'un cylindre est :

A = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r ( r + h ).\,

et que son volume est :

V = \pi r^2 h. \,[3]

Il montre aussi que l'aire d'une sphère est égale à quatre fois l'aire du disque délimité par son grand cercle, c'est-à-dire en mathématiques modernes que la surface d'une sphère est :

4\pi r^2.\,

Il montre que le volume de la sphère est égal aux deux-tiers du volume du cylindre circonscrit à cette sphère. Le volume de la sphère est donc égal à :

\frac{4}{3}\pi r^3.

Pour trouver cette formule, Archimède a utilisé une moitié de polygone inscrite dans un demi-cercle ; puis il effectué des rotations de ces deux figures pour obtenir un ensemble de troncs dans une sphère. C'est cet ensemble de tronc qui lui permet de déterminer le volume[4]. Cette méthode a été simplifiée par les mathématiques modernes en utilisant la notion de limites notion qui n'existait pas à l'époque d'Archimède.

Archimède est si fier de ce dernier résultat qu'il demande que soit gravé sur sa tombe le dessin d'une sphère inscrite dans un cylindre. Le philosophe romain Marcus Tullius Ciceron découvre plusieurs années après la tombe qui a été envahie par la végétation[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « On the Sphere and Cylinder » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) William Dunham, Journey Through Genius, John Wiley and Sons,‎ 1990, 1e éd. (ISBN 0-471-50030-5), p. 99
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Sphère », MathWorld Dernier accès le 22 juin 2008
  3. (en) William Dunham, The Mathematical Universe, John Wiley and Sons,‎ 1994, 1e éd. (ISBN 0-471-53656-3), p. 227
  4. Dunham 1994, p. 226
  5. (en) Britannica Online, « Archimedes: His Works », Encyclopedia Britannica,‎ 2000 (consulté le 26 juin 2008)