De la mesure du cercle

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De la mesure du cercle (grec ancien : / Ký́klou métrīsis) est un traité d'Archimède composé de trois propositions. Ce traité est seulement une partie de ce qui était une œuvre plus importante[1],[2] ; il a été redécouvert en 1906 dans le palimpseste d'Archimède.

Propositions[modifier | modifier le code]

Proposition une[modifier | modifier le code]

Le cercle et le triangle ont la même aire.

Tout cercle équivaut au triangle rectangle pour lequel on a le rayon égal à l'un des côtés adjacents à l'angle droit et le périmètre égal à la base.

Tout cercle de circonférence c et de rayon r est de même aire qu'un triangle rectangle de cathètes c et r. Cette proposition peut se prouver par exhaustion[3].

Proposition deux[modifier | modifier le code]

Le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est celui de 11 à 14.

Autrement dit, 22/7 est une bonne approximation du nombre pi.

Proposition trois[modifier | modifier le code]

Exemples de la manière dont Archimède calcule π. Archimède utilise un polygone de 96 côtés pour son approximation.

Le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à 3 + \tfrac{10}{70} mais supérieur à 3 + \tfrac{10}{71}.

Cette proposition revient à fournir un encadrement au nombre π. Archimède a trouvé des majorants et minorants de π en inscrivant et en circonscrivant un cercle à deux polygones réguliers similaires de 96 côtés[4].

Approximation de racines carrées[modifier | modifier le code]

Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de √3 et d'autres approximations supérieures de racines carrées.

\tfrac{1351}{780} > \sqrt{3} > \tfrac{265}{153}\,.[3]

Cependant Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations[2].

Sources[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Thomas Heath, « A History of Greek Mathematics » (ISBN 0543968774, consulté le 30 juin 2008)
  2. a et b (en) « Archimede », Encyclopædia Britannica,‎ 2008 (consulté le 30 juin 2008)
  3. a et b (en) Thomas Little Heath, « The Works of Archimedes », Cambridge University,‎ 1897 (consulté le 30 juin 2008), p. lxxvii ; 50
  4. (en) Thomas Little Heath, « A Manual of Greek Mathematics », Cambridge University,‎ 1931 (ISBN 0486432319, consulté le 30 juin 2008), p. 146