De la mesure du cercle

De la mesure du cercle (grec ancien : Κύκλου μέτρησις, Kuklou metrēsis) est un traité d'Archimède composé de trois propositions. Ce traité est seulement une partie de ce qui était une œuvre plus importante.

Propositions

Proposition une

Le cercle et le triangle ont la même aire.

Tout cercle équivaut au triangle rectangle pour lequel on a le rayon égal à l'un des côtés adjacents à l'angle droit et le périmètre égal à la base.

Tout cercle de circonférence c et de rayon r est de même aire qu'un triangle rectangle de cathètes c et r. Cette proposition peut se prouver par exhaustion.

Proposition deux

Le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est celui de 11 à 14.

Autrement dit, 22/7 est une bonne approximation du nombre pi.

Proposition trois

Exemples de la manière dont Archimède calcule π. Archimède utilise un polygone de 96 côtés pour son approximation.

Le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à $3 + \tfrac{10}{70}$ mais supérieur à $3 + \tfrac{10}{71}$.

Cette proposition revient à fournir un encadrement au nombre π. Archimède a trouvé des majorants et minorants de π en inscrivant et en circonscrivant un cercle à deux polygones réguliers similaires de 96 côtés.

Approximation de racines carrées

Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de √3 et d'autres approximations supérieures de racines carrées.

$\tfrac{1351}{780} > \sqrt{3} > \tfrac{265}{153}\,.$

Cependant Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations.

Sources

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Measurement of a Circle » (voir la liste des auteurs)

Liens externes

• De la mesure du cercle : traduction littérale et commentée par François Peyrard, version image numérique sur le site Gallica de la BNF
• De la mesure du cercle : traduction littérale et commentée par François Peyrard, version texte numérisé sur le site de Philippe Remacle qui contient aussi les traductions des Éléments d'Euclide par le même auteur.