De la mesure du cercle

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De la mesure du cercle (grec ancien : / Ký́klou métrīsis) est un traité d'Archimède composé de trois propositions. Ce traité est seulement une partie de ce qui était une œuvre plus importante[1],[2] ; il a été redécouvert en 1906 dans le palimpseste d'Archimède.

Propositions[modifier | modifier le code]

Proposition une[modifier | modifier le code]

Le cercle et le triangle ont la même aire.

« Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle[3]. »

Autrement dit : tout cercle de circonférence c et de rayon r a même aire qu'un triangle rectangle de cathètes c et r. Cette proposition est démontrée par exhaustion[4].

Proposition deux[modifier | modifier le code]

« Un cercle est au carré construit sur son diamètre, à très peu de chose près, comme 11 est à 14[3]. »

Autrement dit : le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est presque celui de 11 à 14. Ou encore : 22/7 est une bonne approximation du nombre π.

Proposition trois[modifier | modifier le code]

Exemples de la manière dont Archimède calcule π. Archimède utilise un polygone de 96 côtés pour son approximation.

« La circonférence d'un cercle quelconque est égale au triple du diamètre réuni à une certaine portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre, et plus grande que les 10/71 de ce même diamètre[3]. »

Autrement dit : le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à 3 + \tfrac{10}{70} mais supérieur à 3 + \tfrac{10}{71}.

Cette proposition revient à fournir un encadrement de π. Archimède a trouvé des majorants et minorants de π en inscrivant et en circonscrivant un cercle à deux polygones réguliers similaires de 96 côtés[5].

Approximation de racines carrées[modifier | modifier le code]

Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de 3 et d'autres approximations supérieures de racines carrées.

\tfrac{1351}{780} > \sqrt{3} > \tfrac{265}{153}[4].

Cependant, Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Measurement of a Circle » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Thomas Little Heath, A History of Greek Mathematics, vol. 2 : From Aristarchus to Diophantus, Dover,‎ 2013 (1re éd. 1921) (ISBN 978-0-48616265-2, lire en ligne), page ?[réf. incomplète].
  2. a et b (en) « Archimede », Encyclopædia Britannica,‎ 2008.
  3. a, b et c Traduction par François Peyrard, cf. liens externes ci-dessous.
  4. a et b (en) Thomas Little Heath, « The Works of Archimedes », Cambridge University,‎ 1897, p. lxxvii ; 50.
  5. (en) Thomas Little Heath, « A Manual of Greek Mathematics », Cambridge University,‎ 1931 (ISBN 0486432319), p. 146.

Liens externes[modifier | modifier le code]