D-module

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En mathématiques, un D-module est un module sur un anneau D d'opérateurs différentiels. L'intérêt principal des D-modules réside en son utilisation dans l'étude d'équations aux dérivées partielles.

D-modules sur des variétés algébriques[modifier | modifier le code]

La théorie générale des D-modules nécessite une variété algébrique lisse X définie sur un corps K algébriquement clos de caractéristique nulle, par exemple K = C. Le faisceau des opérateurs différentiels DX est défini comme la OX-algèbre générée par les champs de vecteurs sur X, interprétés comme des dérivations. Un DX-module (à gauche) M est un OX-module avec une action de groupe (à gauche) de DX. Se donner une telle action est équivalent à avoir une application K-linéaire

\nabla: D_X \rightarrow End_K(M), v \mapsto \nabla_v

satisfaisant :

\nabla_{f v}(m) = f \nabla_v (m)
\nabla_v (f m) = v(f) m + f \nabla_v (m) (c'est la règle de Leibniz)
\nabla_{[v, w]}(m) = [\nabla_{v}, \nabla_{w}](m)

f est une application régulière sur X, v et w sont des champs de vecteurs, m une section locale de M et où [−, −] désigne le commutateur.

Références[modifier | modifier le code]

  • S. C. Coutinho (1995), A primer of algebraic D-modules, London Mathematical Society Student Texts 33, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-55119-9)
  • Armand Borel, (1987), Algebraic D-Modules, Perspectives in Mathematics 2, Boston, MA: Academic Press, (ISBN 978-0-12-117740-9)