Déterminant de Hurwitz

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Les déterminants de Hurwitz sont nommés en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

Soit P un polynôme en la variable \lambda de la forme:


P(\lambda)= a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + a_1 \lambda + a_0

a_i est un nombre réel, pour tout i dans \{1,\dots,n\}.

La matrice de Hurwitz (matrice carrée) associée à P est la matrice H donnée ci-dessous ou sa transposée:


H=
\begin{pmatrix}
a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \dots & \dots & 0 & \dots & 0 \\
a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & & & \vdots & & \vdots \\
0 & a_{n-1} & a_{n-3} & & & 0 & & \vdots \\
\vdots & a_n & & \ddots & & a_0 & \vdots & \vdots \\
\vdots & 0 & & & \ddots & a_1 & 0 & \vdots \\
\vdots & \vdots  & 0 & & & a_2 & a_0 & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & & & a_3 & a_1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \dots & \dots & a_4 & a_2 & a_0
\end{pmatrix}.


Le ième déterminant de Hurwitz est le déterminant du ième mineur principal de la matrice de Hurwitz H donnée ci-dessus. Il y a n déterminants de Hurwitz pour un polynôme caractéristique de degré n.

Notes et références[modifier | modifier le code]