Dés non transitifs

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Des dés non transitifs sont un ensemble de dés où, si un premier dé a plus de chances de donner un plus grand résultat qu'un deuxième et si celui-ci a plus de chance qu'un troisième, ce dernier peut tout de même avoir plus de chance de l'emporter sur le premier. En d'autres termes, la relation « a une plus grande probabilité de donner un plus grand nombre » n'y est pas transitive.

Cette situation est similaire à celle du jeu pierre-feuille-ciseaux où chaque élément gagne par rapport à l'un des deux autres et perd par rapport au dernier.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple général[modifier | modifier le code]

Un exemple de dés non transitifs (les faces cachées ont les mêmes valeurs que celles affichées)

Soit le jeu de trois dés à 6 faces A, B, C suivant :

  • le dé A porte les numéros {2,2,4,4,9,9} sur ses faces ;
  • le dé B porte {1,1,6,6,8,8} ;
  • le dé C porte {3,3,5,5,7,7}.

Alors :

  • la probabilité que A donne un plus grand nombre que B est 5/9 (sur les 36 résultats possibles, le dé A l'emporte 20 fois) ;
  • la probabilité que B donne un plus grand nombre que C est 5/9 ;
  • la probabilité que C donne un plus grand nombre que A est 5/9.

Dans cet exemple, A a plus de chances de gagner sur B, qui a lui-même plus de chances de l'emporter sur C, lequel a à son tour plus de chances de donner un plus grand résultat que A.

Dés d'Efron[modifier | modifier le code]

Dés d'Efron

Les dés d'Efron[1] sont un jeu de quatre dés non transitifs inventés par Bradley Efron. Les quatre dés A, B, C, D portent les numéros suivants sur leurs six faces :

  • A : 4, 4, 4, 4, 0, 0 ;
  • B : 3, 3, 3, 3, 3, 3 ;
  • C : 6, 6, 2, 2, 2, 2 ;
  • D : 5, 5, 5, 1, 1, 1.

La probabilité que A batte B, B batte C, C batte D et D batte A est égale à 2/3.

Les autres probabilités varient suivant les dés :

  • la probabilité que A batte C est 4/9 ;
  • la probabilité que B batte D est égale à 1/2 ;
  • la probabilité que C batte A vaut 5/9 ;
  • la probabilité que D batte B est 1/2.

En revanche, la probabilité qu'un dé en batte un autre pris au hasard parmi les trois restants n'est pas égale suivant les dés :

  • dans le cas de A, elle vaut 13/27 ;
  • pour B, 1/2 ;
  • pour C, 14/27 ;
  • pour D, 1/2.

Globalement, le meilleur dé pour gagner un jeu totalement aléatoire est donc C, qui gagne dans près de 52 % des cas.

Dés numérotés de 1 à 18[modifier | modifier le code]

Un jeu de trois dés utilisant tous les nombres de 1 à 18 peut être rendu non transitif avec la combinaison suivante :

  • A : 1, 6, 11, 12, 13, 14
  • B : 2, 3, 4, 15, 16, 17
  • C : 5, 7, 8, 9, 10, 18

B bat A, C bat B et A bat C avec la probabilité de 7/12[2].

Dés numérotés de 1 à 24[modifier | modifier le code]

Un jeu de quatre dés utilisant tous les nombres de 1 à 24 peut être rendu non transitif avec la combinaison suivante :

  • A : 1, 2, 16, 17, 18, 19
  • B : 3, 4, 5, 20, 21, 22
  • C : 6, 7, 8, 9, 23, 24
  • D : 10, 11, 12, 13, 14, 15

B bat A, C bat B, D bat C et A bat D avec la probabilité de 2/3.

Dés de Miwin[modifier | modifier le code]

Dés de Miwin

Les dés de Miwin (en)[3] ont été inventés en 1975 par le physicien Michael Winkelmann et sont répartis de la sorte :

  • A : 1, 2, 5, 6, 7, 9
  • B : 1, 3, 4, 5, 8, 9
  • C : 2, 3, 4, 6, 7, 8

B l'emporte sur A, C sur B et A sur C avec la probabilité 17/36.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nontransitive dice » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Efron's Dice », MathWorld
  2. Jean-Paul Delahaye : "Le dé le plus fort" dans "Les Nouvelles d'Archimède" n°59 (jan-fév-mars 2012) pp22-23
  3. (en) Miwin's Dice sur miwin.com

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Martin Gardner, The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems, 1re éd., New York, Norton, 2001 (ISBN 0-393-02023-1), p. 286-311