Dérivées usuelles

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Cet article énumère les fonctions dérivées de la plupart des fonctions usuelles.

Domaine de définition D_f \,\! Fonction f(x) \,\! Domaine de dérivabilité D_{f'} \,\! Dérivée f'(x) \,\! Condition ou remarque
\R \,\! k \,\! \R \,\! 0 \,\! k\in\R, constante
\R \,\! x \,\! \R \,\! 1 \,\! Cas n = 1 de xn
\R \,\! x^2 \,\! \R \,\! 2x \,\! Cas n = 2 de xn
\R_+ \,\! \sqrt{x} \,\! \R_+^* \,\! \frac{1}{2\sqrt{x}} \,\! Cas α = 1/2 de xα
\R^* \,\! \frac{1}{x} \,\! \R^* \,\! -\frac{1}{x^2} \,\! Cas n = 1 de 1/xn, cas α = –1 de xα
\R \,\! x^n \,\! \R \,\! nx^{n-1} \,\! n \in \N \,\!
\R^* \,\! \frac{1}{x^n} \,\! \R^* \,\! -\frac{n}{x^{n+1}} \,\! n \in \N \,\!, cas α = –n de xα
\R_+ \,\! \sqrt[n]{x} \,\! \R_+^* \,\! \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \,\! n\in\N~, cas α = 1/n de xα
\R_+^* \,\! x^{\alpha} \,\! \R_+^* \,\! \alpha x^{\alpha - 1} \,\! Regroupe les cas précédents, valable pour tout réel si l'exposant est entier positif, pour tout réel non nul si l'exposant est entier négatif, prolongeable par continuité en 0 si l'exposant est positif, et de prolongée dérivable en 0 si l'exposant est plus grand que 1.
\R^* \,\! \ln |x| \,\! \R^* \,\! \frac{1}{x} \,\! Cas a = e de \log_a |x|
\R^* \,\! \log_a |x| \,\! \R^* \,\! \frac{1}{x \ln a} \,\! a > 0 et a \neq 1 \,\!
\R \,\! {\rm e}^x \,\! \R \,\! {\rm e}^x \,\! Cas a = e de ax
\R \,\! a^x \,\! \R \,\! a^x \ln a \,\! a > 0 \,\!
\R \,\! \sin x \,\! \R \,\! \cos x \,\!
\R \,\! \cos x \,\! \R \,\! - \sin x \,\!
\R \backslash\left(\frac\pi2+\pi\Z\right) \,\! \tan x \,\! \R \backslash\left(\frac\pi2+\pi\Z\right) \,\! \frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x \,\!
\R \backslash\left(\pi\Z\right) \,\! \cot x \,\! \R \backslash\left(\pi\Z\right) \,\! - \frac{1}{\sin^2 x} = -1-\cot^2 x \,\!
[ -1 , 1 ] \,\! \arcsin x \,\! ] -1 , 1 [ \,\! \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \!
[ -1 , 1 ] \,\! \arccos x \,\! ] -1 , 1 [ \,\! -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \!
\R \,\! \arctan x \,\! \R \,\! \frac{1}{1+x^2} \,\!
\R \,\! \operatorname{sh} x \,\! \R \,\! \operatorname{ch} x \,\!
\R \,\! \operatorname{ch} x \,\! \R \,\! \operatorname{sh} x \,\!
\R \,\! \operatorname{th} x \,\! \R \,\! \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} = 1 - \operatorname{th}^2 x \,\!
\R^* \,\! \operatorname{coth} x \,\! \R^* \,\! \frac{-1}{\operatorname{sh}^2 x} = 1 - \operatorname{coth}^2 x \,\!
\R \,\! \ \operatorname{argsh}\, x \,\! \R \, \! \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, \!
 [  1 , +\infty [ \,\! \ \operatorname{argch}\, x \,\!  ]  1 , +\infty [ \,\! \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, \!
 ]  -1 , 1 [ \,\! \ \operatorname{argth}\, x \,\!  ]  -1 , 1 [ \,\! \frac{1}{1-x^2} \, \!

Si g est l'une de ces fonctions, la dérivée de la fonction composée x\mapsto g(cx) (où c est un réel fixé) sera x\mapsto cg'(cx).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :