Dérivées usuelles

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Cet article énumère les fonctions dérivées de la plupart des fonctions usuelles.

Domaine de définition D_f Fonction f(x) Domaine de dérivabilité D_{f'} Dérivée f'(x) Condition ou remarque
\R k \R 0 k\in\R, constante
\R x \R 1 Cas n = 1 de xn
\R x^2 \R 2x Cas n = 2 de xn
\R_+ \sqrt{x} \R_+^* \frac{1}{2\sqrt{x}} Cas α = 1/2 de xα
\R^* \frac{1}{x} \R^* -\frac{1}{x^2} Cas n = 1 de 1/xn, cas α = –1 de xα
\R x^n \R nx^{n-1} n \in \N
\R^* \frac{1}{x^n} \R^* -\frac{n}{x^{n+1}} n \in \N , cas α = –n de xα
\R_+ \sqrt[n]{x} \R_+^* \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} n\in\N~, cas α = 1/n de xα
\R_+^* x^{\alpha} \R_+^* \alpha x^{\alpha - 1} Regroupe les cas précédents, valable pour tout réel si l'exposant est entier positif, pour tout réel non nul si l'exposant est entier négatif, prolongeable par continuité en 0 si l'exposant est positif, et de prolongée dérivable en 0 si l'exposant est plus grand que 1.
\R^* \ln |x| \R^* \frac{1}{x} Cas a = e de \log_a |x|
\R^* \log_a |x| \R^* \frac{1}{x \ln a} a > 0 et a \neq 1
\R {\rm e}^x \R {\rm e}^x Cas a = e de ax
\R a^x \R a^x \ln a a > 0
\R \sin x \R \cos x
\R \cos x \R - \sin x
\R \backslash\left(\frac\pi2+\pi\Z\right) \tan x \R \backslash\left(\frac\pi2+\pi\Z\right) \frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x
\R \backslash\left(\pi\Z\right) \cot x \R \backslash\left(\pi\Z\right) - \frac{1}{\sin^2 x} = -1-\cot^2 x
[ -1 , 1 ] \arcsin x ] -1 , 1 [ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
[ -1 , 1 ] \arccos x ] -1 , 1 [ -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\R \arctan x \R \frac{1}{1+x^2}
\R \operatorname{sinh} x \R \operatorname{cosh} x
\R \operatorname{cosh} x \R \operatorname{sinh} x
\R \operatorname{tanh} x \R \frac{1}{\operatorname{cosh}^2 x} = 1 - \operatorname{tanh}^2 x
\R^* \operatorname{coth} x \R^* \frac{-1}{\operatorname{sinh}^2 x} = 1 - \operatorname{coth}^2 x
\R \ \operatorname{arsinh}\, x \R \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
 [  1 , +\infty [ \ \operatorname{arcosh}\, x  ]  1 , +\infty [ \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}
 ]  -1 , 1 [ \ \operatorname{artanh}\, x  ]  -1 , 1 [ \frac{1}{1-x^2}

Si g est l'une de ces fonctions, la dérivée de la fonction composée x\mapsto g(cx) (où c est un réel fixé) sera x\mapsto cg'(cx).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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