Déplacement virtuel

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En mécanique lagrangienne, un déplacement virtuel est un déplacement théorique d'un système physique qui est atemporel, infinitésimal, ne respecte pas obligatoirement les forces appliquées au système, mais respecte ses contraintes.

Respecter les contraintes signifie que si la position \ \lbrace {q_1},{q_2}, ..., {q_n}, t \rbrace est réaliste (est conforme aux hypothèses) pour le système, alors la position \ \lbrace {q_1 + \delta q_1},{q_2 + \delta q_2}, ..., {q_n + \delta q_n}, t \rbrace aussi.

Dans le cas d'une contrainte holonome on a donc \ f(q_1,q_2,...,q_{n},t)=0 et \ f \left( q_1 + \delta q_1 , q_2 + \delta q_2 , ... , q_n + \delta q_n , t \right) = 0, d'où, au premier ordre, \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial q_i}.\delta q_i = 0, ce qui est une contrainte entre les \ \delta q_j . On peut justifier que le vecteur \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \right)_i est proportionnel à la force de contrainte généralisée associée, le coefficient de proportionnalité étant nommé multiplicateur de Lagrange.

Avec le principe de D’Alembert, les déplacements virtuels permettent de ne tenir compte, dans les équations, que des forces appliquées au système et d'éliminer celles dues aux contraintes. Toutefois, dans certains cas, il est préférable de tenir compte de ces dernières en utilisant les multiplicateurs de Lagrange.

En termes mathématiques, un déplacement virtuel est un vecteur tangent à la variété, imposée par les contraintes, dans laquelle évolue le système au cours du temps. Si le système est décrit par N vecteurs positions de l'espace physique, cette variété est plongée dans \ \R^{3N}, si le système est décrit par n coordonnées généralisées, alors cette variété est plongée dans \ \R^{n}.

Si les coordonnées sont données par N vecteurs \ \vec r_i, un déplacement infinitésimal est noté \left( d \vec r_i \right)_{i=1,...,N} et nécessite un temps infinitésimal \ dt. Un déplacement virtuel est noté \left( \delta \vec r_i \right)_{i=1,...,N} et nécessite un temps nul.
Si les coordonnées sont données par n coordonnées généralisées \ \lbrace {q_1},{q_2}, ..., {q_n} \rbrace, un déplacement infinitésimal est noté \left( d q_j \right)_{j=1,...,n} et nécessite un temps infinitésimal \ dt, et on a \ d \vec r_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} . dq_j ~+ \frac{ \partial \vec r_i}{\partial t} .dt. Un déplacement virtuel est noté \left( \delta q_j \right)_{i=1,...,N} et nécessite un temps nul, et on a \ \delta \vec r_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} . \delta q_j.

Le travail d'un déplacement virtuel est lui aussi virtuel.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages ISBN 2868835848.