Cycle de Carnot

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Cycle de Carnot dans le diagramme de Clapeyron. AB : détente isotherme ; BC : détente adiabatique ; CD : compression isotherme ; DA : compression adiabatique.
Cycle de Carnot dans le diagramme de entropique. AB : détente isotherme ; BC : détente adiabatique ; CD : compression isotherme ; DA : compression adiabatique.

Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique idéal constituée de quatre processus réversibles : une détente isotherme, une détente adiabatique (isentropique), une compression isotherme, et une compression adiabatique. C'est la méthode la plus efficace pour obtenir du travail à partir de deux sources chaleur de températures constantes ; le cycle inverse est le moyen le plus efficace de transférer de la chaleur d'une source froide à une source chaude à partir d'une source de travail. L'efficacité des autres cycles et des machines réelles est comparé à celui du cycle de Carnot par le biais du rendement, un nombre sans dimension entre 0 (efficacité nulle) et 1 (efficacité du cycle de Carnot).

Il fut publié par Sadi Carnot en 1824 dans son unique ouvrage Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance et permit d'ouvrir la voie à la formulation du second principe de la thermodynamique.

Sommaire

[modifier] Description du cycle

Carnot cherchait à faire un cycle avec la meilleure efficacité[1] possible. Ainsi chaque efficacité d'une machine thermodynamique peut être comparée avec l'efficacité du cycle de Carnot. Il sert de cycle de référence.

Le cycle est composé de 4 processus ( 2 isothermes et 2 isoentropiques) :

  • 1 : Compression adiabatique réversible
  • 2 : Détente isotherme
  • 3 : Détente adiabatique réversible
  • 4 : Compression isotherme

Le deuxième principe de la thermodynamique permet d'établir pour une transformation réversible (car le fluide est à la température de la source), l'égalité de Clausius-Carnot :

\frac{Q_f}{T_f}+\frac{Q_c}{T_c}=0 (notons aussi qu'un moteur thermique necessite deux sources de chaleur, notées ici Qf et Qc ( source froide et source chaude) avec:

  • Qf transfert thermique avec la source froide (compté négativement).
  • Qc transfert thermique avec la source chaude (compté positivement).
  • Tf température absolue de la source froide.
  • Tc température absolue de la source chaude.

[modifier] L'efficacité de Carnot

De nombreux systèmes thermodynamiques ont une efficacité définie à partir de celui du Cycle de Carnot, qui est un cycle purement théorique :

Atot = A1,2 + A2,3 + A3,4 + A4,1 et Qc = chaleurs positives

Donc pour chaque processus :

  • 1-2 :
    • Q1,2 = 0 = A1,2 + δU1,2
    • d'où : A_{1,2} = - \delta U_{1,2} = - \frac{i}{2}nR(T_2 - T_1), T_2 > T_1
  • 2-3 :
    • Q_{2,3} = A_{2,3} = p_2 V_2 \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)
    • δU2,3 = 0 car isotherme
  • 3-4 :
    • Q3,4 = 0 = A3,4 + δU3,4
    • d'où : A_{3,4} = - \delta U_{3,4} = - \frac{i}{2}nR(T_4 - T_3), T_3 = T_2 = T_c, T_4 = T_1 = T_f
  • 4-1 :
    • Q_{4,1} = A_{4,1} = p_4 V_4 \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)
    • δU4,1 = 0 car isotherme

Donc :

  • A_{tot} = nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right) + nRT_f \ln\left( \frac{V_1}{V_4} \right)
  • Q_c = nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)

\eta = \frac{A_{tot}}{Q_c}=\frac{nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right) + nRT_f \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)}{nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)} = 1 + \frac{T_f}{T_c}  \frac{\ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)}{\ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)} = 1 - \frac{T_f}{T_c}  \frac{\ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)}{\ln\left(\frac{V_2}{V_3}\right)}

Mais nous avons l'équation d'état du processus adiabatique :  T \times V^{\gamma -1} = Constante d'où :

  • 1-2 : T_f V_1 ^{\gamma -1} = T_c V_2 ^{\gamma -1}
  • 3-4 : T_f V_4 ^{\gamma -1} = T_c V_3 ^{\gamma -1}

Et donc le rapport : \frac{T_f V_1 ^{\gamma -1}}{T_f V_4 ^{\gamma -1} } = \frac{T_c V_2 ^{\gamma -1}}{T_c V_3 ^{\gamma -1}} donc : \frac{V_1}{V_4} = \frac{V_2}{V_3} et finalement \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right) = \ln\left(\frac{V_2}{V_3}\right)

En incorporant ceci dans l'équation de l'efficacité on obtient :

\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c} donc pour obtenir une efficacité de 100%, il faut que \frac{T_f}{T_c} soit égal à 0 donc que Tf soit égal à 0K soit -273,15°C.

[modifier] Notes et références

  1. L'efficacité thermodynamique est le rapport de ce qui est récupéré sur ce qui a été dépensé. Elle est très souvent confondue avec le rendement qui est le rapport entre l'efficacité réelle et l'efficacité théorique maximale de la machine.

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

Le cycle de Carnot


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