Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique idéal constitué de quatre processus réversibles : une détente isotherme, une détente adiabatique (donc isentropique car réversible), une compression isotherme, et une compression adiabatique. C'est le cycle le plus efficace pour obtenir du travail à partir de deux sources de chaleur de températures constantes ; le cycle inverse est le moyen le plus efficace de transférer de la chaleur d'une source froide à une source chaude à partir d'une source de travail. L'efficacité des autres cycles et des machines réelles est comparée à celle du cycle de Carnot par le biais du rendement, un nombre sans dimension compris entre 0 (efficacité nulle) et 1 (efficacité parfaite).

Il fut publié par Sadi Carnot en 1824 dans son unique ouvrage Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance et permit d'ouvrir la voie à la formulation du second principe de la thermodynamique.

Cycle de Carnot dans le diagramme de Clapeyron. AB : détente isotherme ; BC : détente adiabatique ; CD : compression isotherme ; DA : compression adiabatique.

Cycle de Carnot dans un diagramme température-entropie. AB : détente isotherme ; BC : détente adiabatique ; CD : compression isotherme ; DA : compression adiabatique.

Description du cycle

Carnot cherchait à faire un cycle avec la meilleure efficacité possible. Ainsi l'efficacité de toute machine thermodynamique peut être comparée avec l'efficacité du cycle de Carnot. Il sert de cycle de référence.

Le cycle est composé de quatre processus (deux processus isothermes réversibles et deux adiabatiques réversibles) :

• 1 : Compression isotherme réversible (C→D) / (3→4) (sur respectivement : figures du haut / du bas)
• 2 : Compression adiabatique réversible (D→A) / (4→1)
• 3 : Détente isotherme réversible (A→B) / (1→2)
• 4 : Détente adiabatique réversible (B→C) / (2→3)

Le deuxième principe de la thermodynamique permet d'établir pour une transformation réversible (car le fluide est à la température de la source) l'égalité de Clausius-Carnot :

$\frac{Q_f}{T_f}+\frac{Q_c}{T_c}=0$

avec:

• $Q_f$ transfert thermique avec la source froide (compté négativement).
• $Q_c$ transfert thermique avec la source chaude (compté positivement).
• $T_f$ température absolue de la source froide.
• $T_c$ température absolue de la source chaude.

L'efficacité de Carnot

Cycle de Carnot moteur d'un gaz parfait dans le diagramme de Clapeyron. 1-2 : isotherme réversible ; 2-3 : adiabatique réversible ; 3-4 : isotherme réversible ; 4-1 : adiabatique réversible. W est le travail total reçu par le système au cours d'un cycle et est représenté géométriquement par l'aire du cycle.

De nombreux systèmes thermodynamiques ont une efficacité définie à partir de celui du Cycle de Carnot, qui est un cycle purement théorique. En notant A l'aire géométrique de la transformation dans le diagramme de Clapeyron, c'est-à-dire l'opposé du travail W reçu par le système décrivant le cycle, on a :

$A = - W = A_{1,2} + A_{2,3} + A_{3,4} + A_{4,1}$ et $Q_c =$ transfert thermique avec la source chaude, toutes les deux définies positives.

Donc pour chaque processus, en supposant que le fluide décrivant le cycle est un gaz parfait avec $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ et en notant $T_1 = T_2 = T_c, T_3 = T_4 = T_f$ respectivement les températures des sources chaude et froide :

• 1-2 :
  • $Q_c = Q_{1,2} = A_{1,2} = p_2 V_2 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
  • $\Delta U_{1,2} = 0$ car isotherme

• 2-3 :
  • $Q_{2,3} = 0 = A_{2,3} + \Delta U_{2,3}$
  • d'où : $A_{2,3} = - \Delta U_{2,3} = - \frac{nR}{\gamma -1}\,(T_3 - T_2) = - \frac{nR}{\gamma -1}\,(T_f - T_c)$

• 3-4 :
  • $Q_f = Q_{3,4} = A_{3,4} = p_4 V_4 \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)$
  • $\Delta U_{3,4} = 0$ car isotherme

• 4-1 :
  • $Q_{4,1} = 0 = A_{4,1} + \Delta U_{4,1}$
  • d'où : $A_{4,1} = - \Delta U_{4,1} = - \frac{nR}{\gamma -1}\,(T_1 - T_4) = - \frac{nR}{\gamma -1}\,(T_c - T_f)$

Donc, en tenant compte de $p_2\,V_2 = n\,R\,T_c$, on a :

• $A_{tot} = nRT_c \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) + nRT_f \ln\left( \frac{V_4}{V_3} \right)$
• $Q_c = nRT_c \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

$\eta = \frac{A_{tot}}{Q_c}=\frac{nRT_c \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) + nRT_f \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}{nRT_c \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} = 1 + \frac{T_f}{T_c} \frac{\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}{\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} = 1 - \frac{T_f}{T_c} \frac{\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}{\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}$

Nous avons également les formules de Laplace pour les processus isentropiques (donc ici les adiabatiques réversibles) :

$T\,V^{\gamma -1} = Constante$ d'où :

• 4-1 : $T_f V_4 ^{\gamma -1} = T_c V_1 ^{\gamma -1}$
• 2-3 : $T_f V_3 ^{\gamma -1} = T_c V_2 ^{\gamma -1}$

Et donc le rapport : $\frac{T_f V_4 ^{\gamma -1}}{T_f V_3 ^{\gamma -1} } = \frac{T_c V_1 ^{\gamma -1}}{T_c V_2 ^{\gamma -1}}$ donc : $\frac{V_4}{V_3} = \frac{V_1}{V_2}$ et finalement $\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) = \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$

En incorporant ceci dans l'équation de l'efficacité on obtient :

$\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c}$

On voit donc qu'il est impossible d'obtenir une efficacité de 100 %, même pour le cycle de Carnot moteur entièrement réversible, sauf pour le cas théorique $T_f= 0\ \textrm{K}$

Articles connexes

• Sadi Carnot (1796-1832)

Liens externes

• Animation du cycle de Carnot Sur le site univ-lemans.fr
• Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance - Sadi Carnot (1796-1832) Sur le site bibnum.education.fr

Bibliographie

• P.W. ATKINS, Chaleur et désordre, le deuxième principe de la thermodynamique, Belin, 1987