Croix de Malte (mécanisme)

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Animation du mécanisme de la croix de Malte à six rainures.

La croix de Malte est un dispositif mécanique permettant de transformer un mouvement de rotation continu en une rotation saccadée. Son nom provient de sa ressemblance avec la croix de Malte (✠, symbole de l'Ordre de Malte). En anglais et en espagnol, ce mécanisme tire son nom la ville de Genève (Geneva drive, Rueda de Ginebra) — mais en anglais, le terme Maltese cross est également utilisé.

La croix de Malte désigne une came entraînée par son « suiveur », permettant l'indexation.

Historique[modifier | modifier le code]

L'inventeur Jules Carpentier en France, qui travaillait avec les frères Lumière, et Oskar Messter, l'un des pionniers du cinéma allemand, ont fait breveter des appareils à croix de Malte dès 1896. Mais c'est la croix de Malte de Pierre-Victor Continsouza qui fut ensuite la plus largement utilisée dans les appareils cinématographiques.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Il est notamment utilisé pour le cinéma argentique (non-numérique) dans les caméra et projecteurs pour l'avance de la pellicule : la pellicule qui doit s'arrêter à chaque image devant l'obturateur (prise de vue) ou devant la lampe (projection).

On retrouve ce mécanisme dans les compteurs mécaniques (kilométrage automobile, consommation d'eau ou gaz, etc.) où il garantit l'alignement des chiffres et leur basculement à chaque retenue. Il est également utilisé dans des machines mettant en œuvre un transfert de produit avec la nécessité d'un temps d'attente au moment de l'introduction de celui-ci (ce que le système bielle-manivelle ne permet pas). Par exemple, on le retrouve à la base de mouvements utilisés sur des machines de conditionnement : les produits sont introduits dans un magasin d'alimentation suivant une quantité prédéfinie (phase d'arrêt), puis sont enveloppés pendant le mouvement de transfert (phase en mouvement).

Fonctionnement[modifier | modifier le code]

Le fonctionnement du mécanisme à croix de Malte est le suivant : un cylindre, appelé manivelle ou roue menante, tourne de manière continue, avec une vitesse régulière, et porte un doigt. Le doigt pénètre dans une rainure de la croix de Malte (la roue menée), provoquant sa rotation de 1/n tour, où n est le nombre de rainures de la croix (n = 4 sur la figure ci-contre, 6 dans l'animation ci-dessus).

Puis, le doigt sort de la rainure, le cylindre moteur continue sa course tandis que la croix de Malte reste immobile. Le cylindre central, partiellement évidé, est complémentaire de l'arrondi de la croix de Malte ; ceci sert à stabiliser la position du dispositif lorsque le doigt n'est pas engagé dans une rainure.

Le nombre de rainure peut prendre des valeurs paires ou impaires ; on a typiquement des valeurs comprises entre 4 et 10.

Variantes[modifier | modifier le code]

Croix de Malte interne.
Fonctionnement d'une croix de Malte interne.
Croix de Malte sphérique.

Il existe deux variantes : la croix de Malte interne, et la croix de Malte sphérique, « en tulipe » (système à axes concourants).

Dans le cas de la croix de Malte interne, l'axe moteur (portant la roue menante) est montée sur un arbre en porte-à-faux (en cantilever, il n'est tenu que d'un côté). L'arbre est donc plus sensible à la flexion, ce qui peut poser un problème si la charge est importante.

Par ailleurs, le temps d'entraînement est supérieur à une demie période : il faut plus d'un demi-tour de roue menante pour faire tourner la roue menée d'un incrément. La durée d'entraînement (temps moteur) est donc supérieure à la durée de repos, contrairement à une croix de Malte externe. Par conséquent, l'accélération maximale est plus faible, mais présente toujours des discontinuités en début et fin de mouvement.

Dans le cas de la croix de Malte sphérique, l'arbre doit également être en porte-à-faux. Le temps d'entraînement est d'une demie période ; la durée d'entraînement est égale à la durée de repos.

Hommages[modifier | modifier le code]

Logo original de Cinemeccanica

Certains cinéastes ont rendu hommage à ce mécanisme, fondamental pour la prise de vue et la projection sur pellicule :

La croix de Malte était le logo de la marque de projecteurs Cinemeccanica (it). Le logo actuel ainsi que le logo de sa marque CineCloud sont une croix de Malte stylisée (voir le logo sur la page officielle).

Étude mécanique[modifier | modifier le code]

Contraintes géométriques[modifier | modifier le code]

La contrainte d'absence de choc détermine la relation entre l'entraxe E et le rayon de la manivelle R.

Le point critique du fonctionnement est le moment où le doigt entre dans la rainure. Cela impose une relation entre le rayon de la manivelle R, c'est-à-dire la distance entre le centre du doigt et le centre de la roue menante qui le supporte, et l'entraxe E, c'est-à-dire la distance entre le centre de la roue menante et le centre de la croix de Malte. Pour qu'il n'y ait pas de choc, le vecteur vitesse doit être dans l'axe de la rainure.

On appelle α la moitié de l'angle de rotation de la roue menée par tour de roue menante

α = π/n en radians

soit α = π/4 = 45° pour quatre rainures, et α = π/6 = 30° pour six rainures. On a alors les relations suivantes entre l'entraxe E, le rayon de la roue menante R1 et le rayon de la roue menée R2 :

R1 = E⋅sin α
R2 = E⋅cos α.

Entre 0 et π/4 (0 et 90°), la fonction sinus est croissante et la fonction cosinus est décroissante en α. On en déduit que pour un entraxe donne, plus on a de rainures (plus n est grand), plus α est petit donc plus plus R1 est petit et plus R2 est grand.

Par ailleurs, la largeur nominale de la rainure doit être égale au diamètre nominal 2r du doigt : plus petite, le doigt ne pourrait pas entrer, trop grande, il y aurait un choc. Dans la pratique, il existe un jeu : la rainure doit être légèrement plus large que le doigt pour permettre le mouvement. On peut utiliser un ajustement dit « glissant sans jeu », ou plus précisément « guidage précis », noté H7/g6, pour limiter les chocs, mas celui-ci coûte cher à réaliser.

Article détaillé : Système ISO d'ajustements.
Détermination du rayon maximal du cylindre immobilisateur.

L'extrémité des branches doit avoir une largeur non nulle. Il faut de fait imposer une largeur minimale e1, qui dépend de la résistance souhaitée. Cela impose un rayon maximum pour le cylindre immobilisateur. Par ailleurs, le contact doit être effectif, il y a donc un rayon minimum, soit :

R1(1/sin α + 1/tan α) < R3 < R1 - r - e1

la dimension e1 étant l'épaisseur que l'on désire garder en bout de branche pour avoir une résistance suffisante.

Longueur de la rainure.

La longueur minimale de la rainure L s'obtient en considérant la position pour laquelle le doigt est le plus engagé. On a alors, en orientant les longueurs vers la gauche :

Lmin = R1 - E + R2

soit

Lmin = R1(1 - 1/sin α + 1/tan α).

La longueur maximale est celle laissant suffisamment de matière pour que la croix de Malte résiste aux contraintes. Si l'on appelle ra le rayon de l'arbre de la croix de Malte et e2 l'épaisseur minimale de matière que l'on veut, alors on a :

Lmax = R2 - ra - e2 = R1/tan α - ra - e2

Étude cinématique[modifier | modifier le code]

Relation entre les angles.
Chronogrammes sur une période (un tour complet de la roue menante).

On suppose que la roue menante (manivelle) tourne avec une vitesse angulaire ω constante (mouvement de rotation uniforme). La figure ci-contre représente le mécanisme en cours de fonctionnement. Si l'on note comme précédemment

  • n le nombre de rainures que comporte la croix de Malte (roue menée) ;
  • α = 2π/n l'angle entre deux rainures

et que l'on introduit le rapport

k = E/R1 = 1/sin α

alors on relève que :

  • la vitesse angulaire maximale de la roue menée vaut
    \omega_0 = \frac{\omega (k - 1)}{k^2 - 2k + 1} ;
  • l'accélération angulaire maximale vaut, selon le nombre de rainures :
    • n = 4 : α0 ≃ 3,82 × ω2,
    • n = 6 : α0 ≃ 0,375 × ω2,
    • n = 8 : α0 ≃ 0,268 × ω2 ;
  • l'accélération angulaire initiale et finale ne sont pas nulles, ce qui signifie que la roue menée subit des à-coups angulaires infinis (diracs), dans la pratique limités par l'élasticité et les frottements du système.

Ces pics d'à-coup ne posent pas de problème tant que l'on reste dans des vitesses et des inerties faibles. Ils deviennent par contre rédhibitoires pour des système à haute cadence et à forte charges.

Application numérique

Considérons un projecteur de cinéma muni d'une croix de Malte à quatre rainures. Nous avons donc :

  • une fréquence de rotation de la roue menante N = 24 Hz (24 images par seconde), soit ω = 2πN ≃ 151 rad/s ;
  • un rapport valant k = 1/sin(π/4) = √2 ≃ 1,41 ;

et donc

  • ω0364 rad/s ; N0 = 57,9 tr/s ;
  • α08,69⋅104 rad/s2.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) John H. Bickford, Mechanisms for intermittent motion, New York, Industrial Press inc.,‎ 1972 (ISBN 0-8311-1091-0, lire en ligne), chap. 9 (« Geneva Mechanisms »), p. 127-138