Critère d'Eisenstein

En mathématiques, le critère d'Eisenstein donne des conditions suffisantes pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible sur le corps des nombres rationnels. Si ce polynôme est aussi primitif (c'est-à-dire s'il n'a pas de diviseurs constants non triviaux), alors il est également irréductible sur l'anneau des entiers (en fait c'est cette irréductibilité que le critère affirme, l'irréductibilité sur les nombres rationnels en découle par le lemme de Gauss).

Énoncé

Considérons un polynôme $P(X)$ à coefficients entiers, que l'on note

$P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0.$

Supposons qu'il existe un nombre premier $p$ tel que

• $\forall i\in \{0,1,\ldots,n-1\}, ~ p$ divise $a_i$
• $p$ ne divise pas $a_n$,
• $p^2$ ne divise pas $a_0$.

Alors $P(X)$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels. Si de plus $P(X)$ est primitif, alors d'après le lemme de Gauss, $P$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients entiers.

Démonstration

On réduit les coefficients de $P(X)$ modulo $p$. On obtient un polynôme de $\mathbb{F}_p[X]$ de la forme $cX^n$ avec $c \in \mathbb{F}_p$ non nul.

Raisonnons par l'absurde et supposons que $P=P(X)$ se factorise en $P=QR$, où $Q$ et $R$ sont des polynômes de $\mathbb{Q}[X]$ de degrés non nuls. D'après le lemme de Gauss on peut supposer que $Q$ et $R$ sont à coefficients entiers. En réduisant modulo $p$, on voit que $Q\ \text{mod}\ p$ et $R\ \text{mod}\ p$ sont nécessairement des monômes $dX^k$ et $eX^{n-k}$, où $de=c$. En particulier $Q(0)$ et $R(0)$ sont divisibles par $p$, donc $a_0=Q(0)R(0)$ est divisible par $p^2$, ce qui est une contradiction. Donc $P$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.

Exemples

Considérons le polynôme $P(X)= 3X^4 + 15X^2 + 10$.

Nous examinons différents cas pour les valeurs de $p$ suivantes

• $p=2$. 2 ne divise pas 15, on ne peut pas conclure
• $p=3$. 3 ne divise pas 10, on ne peut pas conclure
• $p=5$. 5 divise 15, le coefficient de $X^2$, et 10 le coefficient constant. 5 ne divise pas 3, le coefficient dominant. En outre, 25 = 5² ne divise pas 10. Ainsi, nous concluons grâce au critère d'Eisenstein que $P(X)$ est irréductible.

Dans certains cas le choix du nombre premier peut ne pas être évident, mais peut être facilité par un changement de variable de la forme $Y=X+a$, appelé translation.

Par exemple considérons $H(X)=X^2+X+2$. L'application du critère semble compromise puisque qu'aucun nombre premier ne divisera 1, le coefficient de $X$. Mais si nous translatons $H$ en $H(X+3)=X^2+7X+14$, nous voyons immédiatement que le nombre premier 7 divise le coefficient de $X$ et le coefficient constant, et que 49 ne divise pas 14. Ainsi en translatant le polynôme nous l'avons fait satisfaire le critère d'Eisenstein.

Un autre cas connu est celui du polynôme cyclotomique d'indice un entier premier $p$, c’est-à-dire le polynôme

$\frac{X^p - 1}{X - 1} = X^{p - 1} + X^{p - 2} + \cdots + X + 1.$.

Ici, le polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, dans une nouvelle variable $Y$ après une translation $X=Y+1$. Le coefficient constant est alors égal à $p$, le coefficient dominant est égal à 1 et les autres coefficients sont divisibles par $p$ d'après les propriétés des coefficients binomiaux.

Généralisation

Soit $A$ un anneau intègre et soit $P$ un polynôme à coefficients dans $A$, noté

$P(X)=\sum_{i=0}^n a_i X^i.$

On suppose qu'aucun élément non inversible de $A$ ne divise (tous les coefficients de) $P$, et qu'il existe un idéal premier $I$ de $A$ tel que

• $a_i \in I$ pour tout $i \in \{0,1,\ldots,n-1\}$,
• $a_n \notin I$,
• $a_0 \notin I^2$, où $I^2$ est le produit de l'idéal I par lui-même.

Alors $P(X)$ est irréductible dans $A[X]$. La démonstration est similaire à celle donnée ci-dessus, en réduisant modulo $I$ une supposée décomposition de $P(X)$ comme produit de polynômes non constants ; l'argument central étant que sur l'anneau intègre $A/I$, un polynôme à un seul terme ne peut se décomposer qu'en polynômes qui sont eux aussi à un seul terme.

Dans le cas où $A$ est un anneau factoriel, on pourra prendre pour $I$ l'idéal engendré par un élément irréductible quelconque. Dans ce cas on pourra également conclure que $P(X)$ est irréductible dans $K[X]$ où $K$ est le corps des fractions de $A$, grâce au lemme de Gauss. Pour cette conclusion la condition que $P(X)$ ne soit divisible par aucune constante non inversible devient superflue, car une telle constante (qui rend $P$ réductible dans $A[X]$) est inversible dans $K[X]$, et y n'empêche donc pas l'irréductibilité. Ainsi on retrouve la version de base du critère pour $A=\Z$. En fait, Gotthold Eisenstein a formulé son critère pour les cas où $A$ est soit l'anneau des entiers relatifs, soit celui des entiers de Gauss.

Articles connexes

• Factorisation des polynômes
• Critère d'irréductibilité de Cohn
• Racine évidente