Covariant et contravariant

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En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire.

La notion est étroitement liée au concept de dualité: les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

La manipulation de grandeurs covariantes et contravariantes est facilitée par la convention de sommation d'Einstein, qui sera largement utilisée dans cet article.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un espace vectoriel \mathcal{V} de dimension finie n.

Soient deux bases (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n) et (\mathbf{e'}_1,\mathbf{e'}_2,\ldots, \mathbf{e'}_n) telles que le changement de base de \mathbf{e} vers \mathbf{e}' s'écrit:

\mathbf{e'}_i = A_i^j\mathbf{e}_j

Soit une famille de fonctions (X(i))_{i=1\ldots n} chacune de \mathcal{V}^n vers un espace vectoriel de même corps que \mathcal{V}.

Les familles de vecteurs (X(i)(\mathbf{e}'))_{i=1\ldots n} et (X(i)(\mathbf{e}))_{i=1\ldots n} sont alors notées respectivement (x'(i))_{i=1\ldots n} et (x(i))_{i=1\ldots n}.

X est dite covariante lorsque:

x'(i) = \sum_{j=1}^n A_i^j x(j)

L'indice est alors noté en bas, et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

x_i' = A_i^j x_j

X est dite contravariante lorsque:

x(j) = \sum_{i=1}^n A_i^j x'(i)

L'indice est alors noté en haut et la convention d'Enstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

x^j = A_i^j x'^i

Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs (x_i)_{i=1\ldots n} et (x^i)_{i=1\ldots n}, la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue.

Exemples[modifier | modifier le code]

Décomposition dans une base[modifier | modifier le code]

Tout vecteur \mathbf{x} s'écrit de manière unique dans une base (\mathbf{e}_i)_{i=1\ldots n}:

\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x(i)\mathbf{e}_i

Les scalaires (x(i))_{i=1\ldots n} forment alors une famille de fonctions de \mathcal{V}^n vers \R. Il s'avère que cette famille est contravariante.

Ces coefficients x(i) sont alors notés x^i et sont appelés coordonnées contravariantes de \mathbf{x} dans la base \mathbf{e}_i. Il est alors écrit:

\mathbf{x} = x^i\mathbf{e}_i

Produits scalaires dans une base[modifier | modifier le code]

À partir de tout vecteur \mathbf{x} peuvent être calculés les produits scalaires:

x(i) = \mathbf{x}\cdot\mathbf{e}_i

Ces scalaires forment une famille de fonctions de \mathcal{V}^n vers \R. Il s'avère que cette famille est covariante.

Ces coefficients x(i) sont alors notés x_i et sont appelés coordonnées covariantes de \mathbf{x} dans la base \mathbf{e}_i. Il est alors écrit:

x_i = \mathbf{x}\cdot\mathbf{e}_i

Dérivées directionnelles[modifier | modifier le code]

En analyse vectorielle, il est possible de définir l'opérateur de dérivation directionnelle selon une direction \mathbf{d} ainsi:

\begin{array}{rccl}
\partial_{\mathbf{x}} : & \mathcal{E}^\mathcal{V} & \rightarrow & \mathcal{E}^\mathcal{V}\\
 & f & \mapsto & (\mathbf{x}\mapsto \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{f(\mathbf{x} + \epsilon\mathbf{d}) - f(\mathbf{x})}{\epsilon})
\end{array}

Il est possible de définir une famille d'opérateurs de dérivation directionnelle selon les directions indiquées par les vecteurs d'une base (\mathbf{e}_i)_{i=1\ldots n}. Cette famille dépend du choix de la base, et s'avère covariante.

Cette famille est notée (\partial_i)_{i=1\ldots n}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Lien avec les bases duales[modifier | modifier le code]

Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

\mathbf{x} = (\mathbf{x}\cdot\mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i = (\mathbf{x}\cdot\mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i

C'est-à-dire:

\begin{array}{c}
x^i = \mathbf{x}\cdot\mathbf{e^i}\\
\mathbf{x} = x_i\mathbf{e}^i
\end{array}

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean Hladik , Le calcul tensoriel en physique , Masson 1995

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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